江苏省启东中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

江苏省启东中学2025-2026学年度高二第一学期第一次月考(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过，两点的直线斜率为(    ) A. B. C. D. 2 【答案】B  【解析】解：根据直线斜率的两点式公式， 。 2.圆的半径为(    ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】A  【解析】解：原的标准方程为， 圆的半径为 故选 3.焦点为，，且经过点的双曲线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：焦点在y轴上，故双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点，将其代入标准方程得： ，化简为②。 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 4.设a为实数，已知直线，，若，则(    ) A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题． 由题可得  ，据此可得 a 的可能值，验证后可得答案. 【解答】 解：因  ，则  . 则  或  .当  ，  ：  ，  ：  ，满足  ； 当  ，  ：  ，  ：  ，两直线重合，不合题意. 则  . 故选： 5.经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设经过两圆与交点的圆的方程 为， 即， 故圆心坐标为 由于所求圆经过点， 则，解得， 因此所求圆的圆心坐标为 6.“”是“点，到直线的距离相等”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 【答案】A  【解析】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 7.已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于，两个动点，则点的轨迹为(    ) A. 对称轴为x轴的抛物线 B. 对称轴为y轴的抛物线 C. 圆心在y轴上的圆 D. 圆心在直线上的圆 【答案】B  【解析】解：设圆心为， 因为圆C过定点，故半径， 则圆C的方程为： 由圆C与x轴交于，得，即①， 由圆C与y轴交于，得，即②， 联立①②，得点的轨迹方程为，这是对称轴为y轴的抛物线. 8.已知M为椭圆上的一点，则点M到直线的距离的最小值为(    ) A. 0 B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意，与l：平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l的距离最小． 令切线为，联立椭圆方程得， 整理得， 所以，则 对于，其切点到l的距离为， 对于，其切点到l的距离为， 显然点M到直线l：距离的最小值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线 AB的方程为，则与 AB边垂直的两条边所在的直线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】CD  【解析】解：因为直线AB的方程为， 则直线AB的斜率为，故所求直线的斜率为， 设其方程为为常数， 因为正方形中心到直线AB边的距离为， 则，解得或， 则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为或 10.设方程，则下列说法正确的是(    ) A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 【答案】ABD  【解析】解：选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，故B正确； 选项C：当时，方程C化为， 当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误； 选项D：当时，、， 方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、， 方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 11.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是(    ) A. ，，则 B. O为坐标原点，动点 R满足，则R的轨迹为圆 C. 对任意A，B，C三点，都有 D. 已知点和直线，则 【答案】ACD  【解析】解：因为在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”， 又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作， 所以对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设， 若，则，且等号至少有一个成立， 可得R的轨迹如图所示，为正方形，故B错误； 对于选项C：设，，， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线l：上一点， 则， 当，即或时，则， 没有最小值; 当，即时，， 可知当时，取得最小值； 综上可得：，故D正确． 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为          . 【答案】  【解析】解：根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为 故答案为： 13.已知圆上至少有三点到直线的距离等于1，则b的取值范围是          . 【答案】  【解析】解：圆的圆心为，直线到圆心的距离为： 若圆上至少有三点到直线的距离等于1，因此。 已知，故，即：，解得。 14.已知点P是椭圆上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，线段          . 【答案】  【解析】解：由椭圆的方程可知，， 圆的圆心为也为椭圆的左焦点，半径 如图，因为，所以四边形PACB的面积， 当最小时，四边形PACB的面积S最小， 又， 所以当取到最小值时，四边形PACB的面积S最小，即最小， 又点P是椭圆上的动点， 所以当点P为椭圆的左顶点时，取得最小值，最小值为， 此时，， 由对称性可知，，所以， 所以为等边三角形，所以 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为 求点B的坐标; 若入射光线经过点，经直线CM反射后过点，求反射光线所在的直线方程. 【答案】解由题意可设点 ， 因为  ，则 AB 的中点  在直线 上， 可得 ，解得 ， 所以点B的坐标为； 设 关于直线  的对称点为 ， 则 ，解得  ，即 ， 所以反射光线所在的直线方程为 ，可得   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题12分 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 求C的标准方程. 设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又，，即， ，又，，， 由此可得，即线段AB关于x轴对称， 轴垂直于AB，且，， ，，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 已知双曲线的离心率为，且过点 求双曲线的标准方程; 过双曲线C右焦点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，若线段AB的长为8，求直线l的方程. 【答案】解：因为双曲线C的离心率为，且过点， 所以，解得， 因此双曲线C的标准方程为； 右焦点为，当直线无斜率时，此时，代入双曲线方程可得，满足， 当直线有斜率时，此直线l的方程为， 由，可得， 设、，，， 由根与系数的关系可得：，， ， 解得，故， 故直线的方程为 综上所述，直线l的方程为或  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 已知圆 求过点且与圆O相切的直线的方程; 若点，B，C是圆O上两点， ⅰ若A，B，C共线，求的面积最大值及此时直线AB的方程; ⅱ若直线BC斜率存在，且直线AB与AC斜率互为相反数，证明：直线BC经过定点. 【答案】解：圆的圆心，半径为， 显然过点且与圆O相切的直线的斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 故切线方程为； ⅰ设O到直线l的距离为d，则， 所以的面积， 当且仅当，即时，等号成立. 显然此时直线AB的斜率存在，设方程为，即， 所以，解得， 所以此时直线AB的方程为：或 ⅱ设，， 因为直线BC的斜率存在，设其方程为， 代入，得， 则，， 所以， 因为，即， 所以， 即，整理得， 所以直线BC的方程为，经过定点  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为 步骤把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为 步骤把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为 步骤不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点 现取半径为8的圆形纸片，设点 F到圆心E的距离为，按上述方法折纸.以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线 求C的方程; 若Q为C上的一点，过点Q作C的切线交圆于不同的两点M， ⅰ点Q到点的距离是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由; ⅱ求面积的最大值. 【答案】解：由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆， 且， 所以曲线C的方程为； ⅰ联立方程， 消去y可得， 因为直线与曲线C相切， 则， 整理可得， 则原方程为，解得， 将代入直线， 可得， 可知，且， 则，为定值； ⅱ由题意可知：圆的圆心为，半径，    因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得 则面积， 可知当，即时，取到最大值   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年度高二第一学期第一次月考(数学) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过，两点的直线斜率为(    ) A. B. C. D. 2 2.圆的半径为(    ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 3.焦点为，，且经过点的双曲线方程为(    ) A. B. C. D. 4.设a为实数，已知直线，，若，则(    ) A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5.经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为(    ) A. B. C. D. 6.“”是“点，到直线的距离相等”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 7.已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于，两个动点，则点的轨迹为(    ) A. 对称轴为x轴的抛物线 B. 对称轴为y轴的抛物线 C. 圆心在y轴上的圆 D. 圆心在直线上的圆 8.已知M为椭圆上的一点，则点M到直线的距离的最小值为(    ) A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线 AB的方程为，则与 AB边垂直的两条边所在的直线方程为(    ) A. B. C. D. 10.设方程，则下列说法正确的是(    ) A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 11.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是(    ) A. ，，则 B. O为坐标原点，动点 R满足，则R的轨迹为圆 C. 对任意A，B，C三点，都有 D. 已知点和直线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为          . 13.已知圆上至少有三点到直线的距离等于1，则b的取值范围是          . 14.已知点P是椭圆上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，线段          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为 求点B的坐标; 若入射光线经过点，经直线CM反射后过点，求反射光线所在的直线方程. 16.本小题12分 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 求C的标准方程. 设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 17.本小题12分 已知双曲线的离心率为，且过点 求双曲线的标准方程; 过双曲线C右焦点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，若线段AB的长为8，求直线l的方程. 18.本小题12分 已知圆 求过点且与圆O相切的直线的方程; 若点，B，C是圆O上两点， ⅰ若A，B，C共线，求的面积最大值及此时直线AB的方程; ⅱ若直线BC斜率存在，且直线AB与AC斜率互为相反数，证明：直线BC经过定点. 19.本小题12分 “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为 步骤把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为 步骤把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为 步骤不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点 现取半径为8的圆形纸片，设点 F到圆心E的距离为，按上述方法折纸.以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线 求C的方程; 若Q为C上的一点，过点Q作C的切线交圆于不同的两点M， ⅰ点Q到点的距离是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由; ⅱ求面积的最大值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $