精品解析：广西壮族自治区贵港市覃塘区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期期中教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从贵港乘车到南宁，路程一定，行车的速度和行车时间之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 已知，与的面积比为，则和的相似比为（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是（ ） A. 0.5米 B. 0.4米 C. 0.125米 D. 0.6米 10. 俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在AI三维建模的直角三角形建筑模型中，，为斜边的高．若建模数据显示，，则的实测长度为（ ） A. B. 3 C. D. 12. 如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知，若，，则的值是_____． 14. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是_____．（用“”号连接） 15. 如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____． 16. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 19. 在垃圾分类宣传活动中，志愿者发现某类垃圾的分类准确率可通过一元二次方程来模拟，其中是宣传力度参数，方程的两个实数根，． （1）若该方程的判别式为4，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 21. 学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； （1）求铅垂高度的长； （2）求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； （3）如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 22. 项目学习 背景 近年来，贵港市以“环境秀美、生活甜美、乡村和美”为主题打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元/天，所有客房都会住满；每把定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的维护费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的倍数） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报边框的宽． 任务2 ①提价后房间价格为_____元，入住的房间数量为_____间．（用的代数式表示） ②要使民宿每天纯收入为8600元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？ 任务3 请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 23. 新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． （2）如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （3）如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期期中教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（k为常数且）的函数是反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的标准形式为． A．，分母为，不是反比例函数，不符合题意； B．是正比例函数，不符合题意； C．是正比例函数，不符合题意； D．符合形式，且，是反比例函数． 故选D． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的各项系数的确定方法是解题的关键． 将方程化为一般形式 后，一次项系数即为，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程化为一般式为，即一次项系数为． 故选C． 3. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，掌握两内项之积等于两外项之积成为解题的关键． 将已知等式变形为比例形式，据此逐项验证即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 两边同除以，得，即，与选项B一致． A．由 得 ，错误； C．交叉相乘得 ，与 矛盾，错误； D．交叉相乘得 ，与 无关，错误． 故选B． 4. 从贵港乘车到南宁，路程一定，行车的速度和行车时间之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式、反比例函数图象等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 先根据题意列出函数解析式，然后结合解析式以及实际意义即可解答． 【详解】解：设从贵港乘车到南宁的距离为常数S，则， ∴，是反比例函数，且图象为双曲线在第一象限的那一支． 故选A． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 已知，与的面积比为，则和的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此由面积比可求相似比即可． 【详解】解：∵与的面积比为， ∴和的相似比为：，即． 故选D． 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的意义，将已知两根代入方程，建立方程组求解系数b． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴代入得：，即①， 代入得：，即②， 由得：， 化简得：， ∴， ∴． 故选：B． 9. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是（ ） A. 0.5米 B. 0.4米 C. 0.125米 D. 0.6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 依题意，把，代入反比例函数， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， 则镜片焦距是0.5米， 故选：A． 10. 俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清等量关系、列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为（用小数表示），则每天剩余比例为．根据两天后剩余49分，据此建立方程求解． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为（用小数表示），则每天剩余比例为， 根据题意可得：， ∴ ∴ ∴或(舍）， ∴每天遗忘的百分比为． 故选B． 11. 如图，在AI三维建模的直角三角形建筑模型中，，为斜边的高．若建模数据显示，，则的实测长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，证明，求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【详解】解：设， ∵，为斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 故选：C． 12. 如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质． 过点D作于点E，根据矩形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可． 【详解】如图所示，过点D作于点E， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， 又∵反比例函数图像在第四象限， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知，若，，则的值是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵直线，， ，即， 解得：， 故答案为：10． 14. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是_____．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：因为反比例函数，， 所以函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 因为，在第三象限，点在第一象限， 所以，而 和 ，故 最大， 在第三象限内，随的增大而减小，由于 ， 所以 ， 所以 ． 故答案为：． 15. 如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 16. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 先证明可得，再证明，结合可证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、位似变换、轴对称的性质等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）再将点B、C绕点A顺时针旋转得到其对应点，然后首尾顺次连接即可解答； （2）根据位似图形的性质，分别画出点，然后首尾顺次连接即可解答； （3）如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求；然后再求得直线的解析式为，进而确定点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由（2）作图可知： 如图：作关于x轴的对称点，连接与x轴的交点P即为所求． ∴， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即． 19. 在垃圾分类宣传活动中，志愿者发现某类垃圾的分类准确率可通过一元二次方程来模拟，其中是宣传力度参数，方程的两个实数根，． （1）若该方程的判别式为4，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3，求的值． 【答案】（1）3 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、勾股定理、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据根的判别式列关于m的方程求解即可； （2）由根与系数的关系可得、，再结合，列关于m的方程求解即可； （3）由根与系数的关系可得、，再结合勾股定理可得，然后根据完全平方公式可得，最后将、代入得到关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的判别式为4， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵，是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为3， ∴，即， ∴，即， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，x的取值范围或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据一次函数与反比例函数的图像交于，可得，进而可求反比例函数的表达式； （2）解析式联立，解方程组求得B的坐标，根据图象可得当或时，直线在双曲线的上方，即可求解； （3）由一次函数的解析式求得C的坐标，设，然后根据得出关于x的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像过点， ∴， ∴． 将代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 联立，整理得， 解得或， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的上方， ∴当时，x的取值范围或； 【小问3详解】 解：在中，令，解得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 21. 学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； （1）求铅垂高度的长； （2）求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； （3）如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 【答案】（1）铅垂高度的长为； （2）的长； （3）此时的长． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）利用相似三角形的判定与性质即可求解； （3）先根据勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 答：铅垂高度的长为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 答：的长； 【小问3详解】 解：∵铅垂高度的长缩短为， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：的长． 22. 项目学习 背景 近年来，贵港市以“环境秀美、生活甜美、乡村和美”为主题打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元/天，所有客房都会住满；每把定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的维护费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的倍数） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报边框的宽． 任务2 ①提价后房间价格为_____元，入住的房间数量为_____间．（用的代数式表示） ②要使民宿每天纯收入为8600元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？ 任务3 请为提升家乡旅游的知名度提一条合理的建议． 【答案】任务1： 任务2：①，； ②无法达到 任务3：建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）民宿宣传海报边框的宽为，然后根据题意列一元二次方程求解即可； （2）①设每间客房的定价提高了元，再根据题意列代数式即可；②根据题意列一元二次方程，并运用根的判别式判断根的情况即可解答； （3）根据意境解答，合理即可． 【详解】解：（1）民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． （2）①设每间客房的定价提高了元，则提价后房间价格为元，入住的房间数量为间． ②由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴此方程为无实数根，即无法满足要求． （3）建议加强宣传推广，建议融合特色文化等合理即可． 23. 新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． （2）如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （3）如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】（1）正确；正确；正确 （2） ①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ； （3）的长为6或． 【解析】 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ②连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明，求得；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． 【小问2详解】 ①略 ②连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， ①若，，如图2， 在与中， ， ； ②若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $