第5讲 两条直线的位置关系 讲义 -2025-2026学年北师大版数学七年级下册(寒假预习)

第5讲 两条直线的位置关系 一、核心知识点 （一）同一平面内两条直线的位置关系 1. 分类与定义 核心前提：必须限定“同一平面内”（空间中存在不相交也不平行的“异面直线”，初中阶段不涉及）。 两类位置关系： 相交线：两条直线有且只有一个公共点（这个公共点叫做交点）。 · 示例：教室的墙角线、十字路口的道路。 平行线：两条直线没有公共点，且在同一平面内永不相交。 · 示例：黑板的对边、铁轨（理想状态下）。 关键结论：同一平面内，两条直线要么相交，要么平行，二者必居其一。 2. 平行的表示方法 符号：用“”表示平行，读作“平行于”。 · 示例：直线与直线平行，记作“”，读作“平行于”。 注意：平行是相互的， 也可写作 。 （二）相交线形成的角——对顶角与邻补角 1. 邻补角 定义：两条直线相交时，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 核心特征： 有公共顶点； 有一条公共边； 另一边互为反向延长线（构成平角，即）。 性质：邻补角互补（和为）。 · 示例：直线与相交于点，则与是邻补角，。 2. 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且有公共顶点的两个角叫做对顶角。 核心特征： 有公共顶点； 两边互为反向延长线（无公共边）。 性质：对顶角相等（这是七年级几何证明的重要基础，需理解推导过程）。 · 推导：由邻补角互补可知，，，故（同角的补角相等）。 示例：直线与相交于点，与是对顶角，与是对顶角，因此，。 （三）相交线的特殊情况——垂直 1. 垂直的定义 文字表述：如果两条直线相交成直角（夹角为），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号表示：用“”表示垂直，读作“垂直于”。 · 示例：直线与直线垂直，垂足为，记作“”，读作“垂直于”。 注意：垂直是相互的， 也可写作 ；垂直是相交的特殊形式，满足相交的所有特征，但相交不一定垂直。 2. 垂直的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“有且只有”强调唯一性和存在性，是作图的重要依据）。 · 示例：过直线上一点，只能画一条直线与垂直；过直线外一点，也只能画一条直线与垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 3. 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是“长度”（数量），而非垂线段本身（图形），不可混淆。 示例：过点作直线的垂线，垂足为，则线段是垂线段，的长度就是点到直线的距离。 （四）垂线的画法（直尺与三角板配合） 1. 过直线上一点画已知直线的垂线 步骤： 把三角板的一条直角边与已知直线重合； 使三角板的直角顶点与直线上的已知点重合； 沿着三角板的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线（注意标注垂足和垂直符号）。 2. 过直线外一点画已知直线的垂线 步骤： 把三角板的一条直角边与已知直线重合； 使三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； 沿着这条直角边画一条直线，即为已知直线的垂线（标注垂足和垂直符号）。 二、常见易错知识 1. 忽略“同一平面内”判断直线位置关系 错误表现：认为“两条直线要么相交，要么平行”，忽略“同一平面内”的前提，未考虑空间中异面直线的情况（初中阶段虽不涉及，但定义必须严谨）。 · 示例：错说“不相交的两条直线就是平行线”（错误，需补充“同一平面内”）。 正确分析：直线位置关系的分类是基于“同一平面内”的，脱离该前提，不相交的直线可能是异面直线，而非平行线。初中阶段所有关于直线平行、相交的讨论，均默认在同一平面内，但表述定义时需完整。 2. 混淆对顶角与邻补角的定义和性质 错误表现： 误将有公共顶点的角当作对顶角（忽略“两边互为反向延长线”）； 误将邻补角的“互补”性质当作对顶角的性质，或反之。 · 示例1：错认为“有公共顶点的两个角是对顶角”（如与有公共顶点，但不是对顶角）； · 示例2：错说“对顶角互补”（错误，对顶角相等）或“邻补角相等”（错误，邻补角互补）。 正确分析： 区分对顶角与邻补角的关键：对顶角“无公共边，两边互为反向延长线”，邻补角“有公共边，另一边互为反向延长线”； 牢记性质：对顶角相等，邻补角互补（和为），二者不可混淆。 3. 垂直定义中忽略“夹角为”的核心条件 错误表现：认为“相交的两条直线就是垂直”，或“看起来垂直的直线就是垂直”，未以“夹角为”为依据。 · 示例：错将相交成的两条直线称为垂直（错误，必须是）。 正确分析：垂直是相交的特殊情况，核心判定条件是“相交成直角（）”，不能仅凭视觉判断，需通过测量或证明夹角为。 4. 混淆“垂线段”与“点到直线的距离” 错误表现：将“垂线段”等同于“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”（数量）而非“线段”（图形）。 · 示例：错说“过点作直线的垂线段，则是点到直线的距离”（错误，的长度才是距离）。 正确分析：垂线段是连接直线外一点与垂足的“图形”，而点到直线的距离是这个图形的“长度”，是一个数值，二者本质不同。 5. 垂直性质的应用错误 错误表现： 忽略“同一平面内”，认为“过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直）； 误将“垂线段最短”理解为“垂线段是最短的线段”，未明确“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中”这一前提。 · 示例1：错说“过点（空间中）有且只有一条直线与直线垂直”（错误，空间中不唯一）； · 示例2：错用“垂线段最短”比较任意两条线段的长度（如比较直线上两点、到点的线段、，不能直接用该性质，需、中有垂线段）。 正确分析： 垂直性质1的“唯一性”仅适用于同一平面内； “垂线段最短”的适用范围是“直线外一点与直线上各点的所有连线”，超出该范围不成立。 6. 垂线画法步骤错误 错误表现： 过点画垂线时，未用三角板的直角边与已知直线重合，导致画出的直线与已知直线不垂直； 忘记标注垂足或垂直符号，作图不规范。 · 示例：过点画直线的垂线时，三角板的直角边未与完全重合，画出的直线与夹角不是。 正确分析： 垂线画法的核心是“利用三角板的直角边保证夹角为”，步骤需严格遵循“重合—对准—画线”； 作图题需规范标注：垂足用“”表示，垂直符号用“”表示，不标注视为作图不完整。 7. 对顶角相等的性质逆用错误 错误表现：认为“相等的角是对顶角”，将对顶角相等的性质逆用，忽略对顶角的定义条件。 · 示例：错说“因为，所以和是对顶角”（错误，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角）。 正确分析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，“对顶角相等”是单向性质，不能逆用。判断两个角是否为对顶角，必须依据定义（有公共顶点、两边互为反向延长线），而非仅仅看角度是否相等。 8. 邻补角的“互补”与“相邻”关系理解错误 错误表现： 只看到“互补”（和为），忽略“相邻”（有公共顶点和公共边），误将任意两个互补的角当作邻补角； 只看到“相邻”，忽略“互补”，误将有公共顶点和公共边但和不为的角当作邻补角。 · 示例1：错认为“，，则和是邻补角”（错误，无公共顶点和公共边）； · 示例2：错将有公共顶点和公共边但和为的两个角当作邻补角（错误，不满足互补）。 正确分析：邻补角必须同时满足“相邻”（有公共顶点、公共边）和“互补”（和为）两个条件，缺一不可。 【知识点结合练】 一、单选题 1．如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，补角的定义，由补角的定义得，由余角的定义得，即可求解；理解余角的定义，补角的定义是解题的关键． 【详解】解：因为， ， 所以， 因为， 所以， 所以 ． 故选B． 2．如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角、补角的计算，掌握其概念及计算，数形结合分析是解题的关键． 根据已知，，可得，再根据互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 3．太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器提供能源．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【答案】B 【分析】本题主要考查“垂线段最短”．村庄听到宣传车内容最清晰即点O与汽车的距离最近． 【详解】解：由图可知：最短， 所以当汽车行驶到处时村庄听到宣传车内容最清晰， 故选：B． 4．若与互余，与互余，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角的性质，掌握余角的性质是解答本题的关键． 根据等角的余角相等即可求解． 【详解】解：与互余，与互余，，， ． 故选：B． 5．如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 6．下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 7．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 8．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为 根据题意列方程： 故选：C ． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解题关键是设出这个角的度数，根据余角与补角的数量关系列出方程求解． 二、填空题 9．在数学课上，老师提出问题：需要在公路和公路L之间修地下管道，如图所示的方案最节省材料，这样做的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，根据垂线段最短进行回答即可． 【详解】解：需要在公路和公路L之间修地下管道，如图所示的方案最节省材料，这样做的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 10．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 11．如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑球撞入袋中，此时，并且，如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘夹角，那么应等于 度，才能保证黑球能直接入袋，此时的与的关系是 ． 【答案】 60 互余 【分析】根据和可以得出，再根据即可得出的度数．再结合，得与的关系是互余．本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角度的计算，根据题意正确得出角度之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴， 此时的与的关系是互余． 故答案为：60，互余． 12．如图所示，与都是直角，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，解题的关键是确定的余角，再计算即可． 【详解】解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，平面内，平分，则以下结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由根据同角的余角相等得到，即可判断①； 由，即可判断② 由，即可判断③ 由平分，得出，再结合①，即可判断④ 【详解】解：∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵不一定等于，所以②不正确； ∵，所以③正确； ∵平分， ∴， 由①知， ∴， ∴，所以④正确． ∴平分 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义，熟练掌握补余角的性质和角平分线的定义是关键． 14．已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据余角和补角的定义直接列式计算即可． 【详解】解：， 的余角， 的补角， 故答案为：，． 15．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数 ． 【答案】108° 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角．正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．由垂直定义得，根据，可得，得，由角平分线定义，得．即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】见解析 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短．理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 18．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，以及对顶角相等这一性质，正确进行角度的计算是解题的关键． 根据，即可求得的度数，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 19．如图，直线相交于点O，，过点O做射线，且是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，根据对顶角相等，得到，角平分线得到，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：， 又平分， ， ． 20．如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查对顶角相等，互余，互补的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求解； （2）根据垂直得到，由即可求解； （3）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：如图所示，延长到点， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分． 21．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度的和差、余角和补角等知识． （1）根据平角的定义，角平分线的意义进行计算即可； （2）根据互余的意义和等量代换可得答案； （3）根据补角的定义和等量代换得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）∵分别是的角平分线 ∴， ， 又∵， ∴， ∴的余角为， 故答案为： ； （3）∵， ∴， 即的补角为， 故答案为：． 22．如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)图形见解析，的度数为或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：分两种情况： 当在直线的上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在直线的下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． 23．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)的度数不变，值为 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键． （1）由对顶角的性质，得到，再由角平分线的定义即可求解； （2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，，，从而求出的度数； （3）由角平分线的定义推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， （2）解：平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：的度数不变， 平分，平分， ，， ， ． 24．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 试卷第6页，共20页 试卷第7页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 两条直线的位置关系 一、核心知识点 （一）同一平面内两条直线的位置关系 1. 分类与定义 核心前提：必须限定“同一平面内”（空间中存在不相交也不平行的“异面直线”，初中阶段不涉及）。 两类位置关系： 相交线：两条直线有且只有一个公共点（这个公共点叫做交点）。 · 示例：教室的墙角线、十字路口的道路。 平行线：两条直线没有公共点，且在同一平面内永不相交。 · 示例：黑板的对边、铁轨（理想状态下）。 关键结论：同一平面内，两条直线要么相交，要么平行，二者必居其一。 2. 平行的表示方法 符号：用“”表示平行，读作“平行于”。 · 示例：直线与直线平行，记作“”，读作“平行于”。 注意：平行是相互的， 也可写作 。 （二）相交线形成的角——对顶角与邻补角 1. 邻补角 定义：两条直线相交时，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 核心特征： 有公共顶点； 有一条公共边； 另一边互为反向延长线（构成平角，即）。 性质：邻补角互补（和为）。 · 示例：直线与相交于点，则与是邻补角，。 2. 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且有公共顶点的两个角叫做对顶角。 核心特征： 有公共顶点； 两边互为反向延长线（无公共边）。 性质：对顶角相等（这是七年级几何证明的重要基础，需理解推导过程）。 · 推导：由邻补角互补可知，，，故（同角的补角相等）。 示例：直线与相交于点，与是对顶角，与是对顶角，因此，。 （三）相交线的特殊情况——垂直 1. 垂直的定义 文字表述：如果两条直线相交成直角（夹角为），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号表示：用“”表示垂直，读作“垂直于”。 · 示例：直线与直线垂直，垂足为，记作“”，读作“垂直于”。 注意：垂直是相互的， 也可写作 ；垂直是相交的特殊形式，满足相交的所有特征，但相交不一定垂直。 2. 垂直的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“有且只有”强调唯一性和存在性，是作图的重要依据）。 · 示例：过直线上一点，只能画一条直线与垂直；过直线外一点，也只能画一条直线与垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 3. 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是“长度”（数量），而非垂线段本身（图形），不可混淆。 示例：过点作直线的垂线，垂足为，则线段是垂线段，的长度就是点到直线的距离。 （四）垂线的画法（直尺与三角板配合） 1. 过直线上一点画已知直线的垂线 步骤： 把三角板的一条直角边与已知直线重合； 使三角板的直角顶点与直线上的已知点重合； 沿着三角板的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线（注意标注垂足和垂直符号）。 2. 过直线外一点画已知直线的垂线 步骤： 把三角板的一条直角边与已知直线重合； 使三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； 沿着这条直角边画一条直线，即为已知直线的垂线（标注垂足和垂直符号）。 二、常见易错知识 1. 忽略“同一平面内”判断直线位置关系 错误表现：认为“两条直线要么相交，要么平行”，忽略“同一平面内”的前提，未考虑空间中异面直线的情况（初中阶段虽不涉及，但定义必须严谨）。 · 示例：错说“不相交的两条直线就是平行线”（错误，需补充“同一平面内”）。 正确分析：直线位置关系的分类是基于“同一平面内”的，脱离该前提，不相交的直线可能是异面直线，而非平行线。初中阶段所有关于直线平行、相交的讨论，均默认在同一平面内，但表述定义时需完整。 2. 混淆对顶角与邻补角的定义和性质 错误表现： 误将有公共顶点的角当作对顶角（忽略“两边互为反向延长线”）； 误将邻补角的“互补”性质当作对顶角的性质，或反之。 · 示例1：错认为“有公共顶点的两个角是对顶角”（如与有公共顶点，但不是对顶角）； · 示例2：错说“对顶角互补”（错误，对顶角相等）或“邻补角相等”（错误，邻补角互补）。 正确分析： 区分对顶角与邻补角的关键：对顶角“无公共边，两边互为反向延长线”，邻补角“有公共边，另一边互为反向延长线”； 牢记性质：对顶角相等，邻补角互补（和为），二者不可混淆。 3. 垂直定义中忽略“夹角为”的核心条件 错误表现：认为“相交的两条直线就是垂直”，或“看起来垂直的直线就是垂直”，未以“夹角为”为依据。 · 示例：错将相交成的两条直线称为垂直（错误，必须是）。 正确分析：垂直是相交的特殊情况，核心判定条件是“相交成直角（）”，不能仅凭视觉判断，需通过测量或证明夹角为。 4. 混淆“垂线段”与“点到直线的距离” 错误表现：将“垂线段”等同于“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”（数量）而非“线段”（图形）。 · 示例：错说“过点作直线的垂线段，则是点到直线的距离”（错误，的长度才是距离）。 正确分析：垂线段是连接直线外一点与垂足的“图形”，而点到直线的距离是这个图形的“长度”，是一个数值，二者本质不同。 5. 垂直性质的应用错误 错误表现： 忽略“同一平面内”，认为“过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直”（空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直）； 误将“垂线段最短”理解为“垂线段是最短的线段”，未明确“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中”这一前提。 · 示例1：错说“过点（空间中）有且只有一条直线与直线垂直”（错误，空间中不唯一）； · 示例2：错用“垂线段最短”比较任意两条线段的长度（如比较直线上两点、到点的线段、，不能直接用该性质，需、中有垂线段）。 正确分析： 垂直性质1的“唯一性”仅适用于同一平面内； “垂线段最短”的适用范围是“直线外一点与直线上各点的所有连线”，超出该范围不成立。 6. 垂线画法步骤错误 错误表现： 过点画垂线时，未用三角板的直角边与已知直线重合，导致画出的直线与已知直线不垂直； 忘记标注垂足或垂直符号，作图不规范。 · 示例：过点画直线的垂线时，三角板的直角边未与完全重合，画出的直线与夹角不是。 正确分析： 垂线画法的核心是“利用三角板的直角边保证夹角为”，步骤需严格遵循“重合—对准—画线”； 作图题需规范标注：垂足用“”表示，垂直符号用“”表示，不标注视为作图不完整。 7. 对顶角相等的性质逆用错误 错误表现：认为“相等的角是对顶角”，将对顶角相等的性质逆用，忽略对顶角的定义条件。 · 示例：错说“因为，所以和是对顶角”（错误，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角）。 正确分析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，“对顶角相等”是单向性质，不能逆用。判断两个角是否为对顶角，必须依据定义（有公共顶点、两边互为反向延长线），而非仅仅看角度是否相等。 8. 邻补角的“互补”与“相邻”关系理解错误 错误表现： 只看到“互补”（和为），忽略“相邻”（有公共顶点和公共边），误将任意两个互补的角当作邻补角； 只看到“相邻”，忽略“互补”，误将有公共顶点和公共边但和不为的角当作邻补角。 · 示例1：错认为“，，则和是邻补角”（错误，无公共顶点和公共边）； · 示例2：错将有公共顶点和公共边但和为的两个角当作邻补角（错误，不满足互补）。 正确分析：邻补角必须同时满足“相邻”（有公共顶点、公共边）和“互补”（和为）两个条件，缺一不可。 【知识点结合练】 一、单选题 1．如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器提供能源．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 4．若与互余，与互余，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 6．下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 8．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在数学课上，老师提出问题：需要在公路和公路L之间修地下管道，如图所示的方案最节省材料，这样做的依据是 ． 10．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 11．如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑球撞入袋中，此时，并且，如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘夹角，那么应等于 度，才能保证黑球能直接入袋，此时的与的关系是 ． 12．如图所示，与都是直角，如果，则 ． 13．如图，平面内，平分，则以下结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 14．已知，则的余角为 ，的补角为 ． 15．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 16．如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数 ． 三、解答题 17．如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 18．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    19．如图，直线相交于点O，，过点O做射线，且是的平分线，求的度数． 20．如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 21．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 22．如图，直线交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 23．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 24．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $