精品解析：湖南省岳阳市云溪区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期期中质量检测试卷 九年级 数学 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 3. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，中，，，， 则边的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 根据题意知，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 6. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A. B. 4 C. 或4 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 8. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，由反比例函数的系数的几何意义可得，，进而根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 9. 我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过作于点，过作于点，证明，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， 由题意得，厘米，厘米，厘米，， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， 即蜡烛火焰的实际高度为厘米， 故选：． 10. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 二、填空题．（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，是边上的一点，若则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，解得， 故答案为：． 13. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比为． 故答案为：． 14. 已知，且，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 15. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 16. 反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键．依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积可得，从而可得，即可判断得解． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线，轴． 设点，则， ， ． ， 直线：． ， 直线：． ，． 的面积． ． ． ． 故答案为：． 18. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 三、解答题．（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 21. 如图，点D，C分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，已知：反比例函数的图象与一次函数y=mx＋b的图象交于点A（1，4），点B（-4，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积． 【答案】（1）y=x＋3；，（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据点A求出k值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）利用三角形的面积差求解． 试题解析：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数， 得k=1×4，反比例函数的解析式是， 当x=﹣4时，y=﹣1，B（﹣4，﹣1）， 把A点（1，4），B（﹣4，﹣1）分别代入一次函数y=mx＋b， 解得 一次函数解析式是y=x＋3； （2）如图，当y=0时，x＋3=0，x=﹣3，C（﹣3，0） S△AOB=S△AOC＋S△BOC=． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 23. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24. 开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】 （1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；（答案不唯一） （2）开封铁塔的高度为56米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）略； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 25. 综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】任务1：是的反比例函数，函数表达式为；任务2：198秒 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求出反比例函数解析式； 任务2：将和60分别代入解析式计算求解即可． 【详解】解：任务1：由图象知是的反比例函数， 设，把代入，得 该函数表达式为； 任务2：当时，；而当时，， （秒）． 机器狗完成任务所用的最短时间为198秒． 26. 【问题背景】在平行四边形中，对角线是连接对角顶点的重要线段，其不仅能将平行四边形分成两个全等三角形，还常成为探究角、边及特殊三角形（如等腰三角形、相似三角形）关系的关键载体．如图1，点是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点．在平行四边形性质（对边平行且相等、内错角相等）与等腰三角形性质的叠加下，线段间的比例关系、三角形的相似性及特殊线段的数量关系成为值得深入探究的方向． 【初步尝试】若，求的值． 【深入研究】如图2，将沿方向平移到，求证： 【探索发现】如图3，连接，取的中点，连接交于点，若，求的值． 【答案】初步尝试：； 深入研究： 证明：， ， 将沿方向平移到， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 探索发现：． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，综合性强，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 初步尝试：由题意可知，，接着证明，那么可知，从而有，最后得到； 深入研究：先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，从而得到，，接着证明，从而得证； 探索发现： 取的中点，连接，可证是的中位线，得到，延长至点，使，连接，证明四边形是平行四边形，则，，结合，可得，从而证明，由此可得，然后利用算得答案． 【详解】解：初步尝试： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； 深入研究：略； 探索发现： 如图，取的中点，连接， 设，则， ， ， ，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 延长至点，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量检测试卷 九年级 数学 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，， 则边的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 6. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A. B. 4 C. 或4 D. 1或 7. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 10. 如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ；； A. B. C. D. 二、填空题．（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 12. 如图，在中，是边上的一点，若则的长为______． 13. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 14. 已知，且，则a的值为______． 15. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 16. 反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为______． 18. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 三、解答题．（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 21. 如图，点D，C分别在上，交于点F，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图，已知：反比例函数的图象与一次函数y=mx＋b的图象交于点A（1，4），点B（-4，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积． 23. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 24. 开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 25. 综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量千克 60 80 90 100 120 最快速度米秒 6 4.5 4 3.6 3 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）经探究发现是的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 26. 【问题背景】在平行四边形中，对角线是连接对角顶点的重要线段，其不仅能将平行四边形分成两个全等三角形，还常成为探究角、边及特殊三角形（如等腰三角形、相似三角形）关系的关键载体．如图1，点是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点．在平行四边形性质（对边平行且相等、内错角相等）与等腰三角形性质的叠加下，线段间的比例关系、三角形的相似性及特殊线段的数量关系成为值得深入探究的方向． 【初步尝试】若，求的值． 【深入研究】如图2，将沿方向平移到，求证： 【探索发现】如图3，连接，取的中点，连接交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $