精品解析：河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

2025～2026学年度高二年级期中质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】令，求得对应的即可 【详解】令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理可得. 【详解】因为，所以存在实数，使得，即. 即，，，所以，，所以. 故选：A. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（ ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为14 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意并利用椭圆的性质逐个选项求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意知，，， 对于A，结合题意可得的长轴长为10，故A错误， 对于B，结合题意可得的离心率为，故B错误， 对于C，由题意得， 由两点间距离公式得，故C正确， 对于D，结合椭圆的定义得的周长为，故D错误. 故选：C 4. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于，则为的中点， 所以，， 所以， 所以，，所以. 故选：B. 5. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出直线的倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】由题意知（为坐标原点），， 故直线的斜率为，所以的方程为，即. 故选：A. 6. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由，得. ，解得. 故选：B. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，再应用异面直线的余弦公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D. 【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以，， 所以与所成的角为，，. 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，所以A，B正确，C，D错误. 故选:AB. 9. 已知曲线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD. 【详解】因为，但，即不是椭圆，故A错误； 当，即，或时，为双曲线，故B正确； 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 与双曲线的焦距不相同，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由动点满足的条件列得其轨迹方程，判断A；由A知动点P的轨迹为圆，结合图象可知，当直线与曲线相切时，可分别使最小或最大，求出切线长可判断B，C；由曲线上仅有一点到直线的距离为2，得圆心到直线的距离等于，由此可求得两条满足条件的直线，判断D. 【详解】设，由，得， 化简得，曲线，故A正确； 由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆. 当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切， ，故B，C正确； 圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 13. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 回答下面两个问题 （1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为， ，， 所以，所以， 所以， 故所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设所求双曲线的方程为， 将点代入上述方程，得， 所以，所以， 故所求双曲线的方程为. 15. 已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. 【小问1详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离， ， 所以的面积. 【小问2详解】 设外接圆的方程为， 由题意得 解得 故的外接圆的方程为. 16. 已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参； （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【小问1详解】 联立与的方程，得解得 即与的交点坐标为， 由题意知点在上，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，所以， 当时，，所以， 当，，三条直线可以围成三角形，则且且， 故的取值范围为. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，， 设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得，， 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程； （2）的最大值可转化为点到圆心的距离加半径，然后求的最大值即可； （3）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算出，再联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式计算出，利用为定值，可得答案. 【小问1详解】 由题意得 解得所以的方程为. 【小问2详解】 设，由题意知，，，， 所以， 因为，所以当时，， 所以. 【小问3详解】 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以，，， 所以. 联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高二年级期中质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（ ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为14 4. 在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 9. 已知曲线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 10. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________． 13. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 回答下面两个问题 （1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 15. 已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 16. 已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $