浙江省杭州市西湖区杭州市弘益中学2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

浙江省杭州市弘益中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 1．（2025九上·杭州月考）下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九上·杭州月考）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 3．（2025九上·杭州月考）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 4．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为 ，则（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 5．（2025九上·杭州月考）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2025九上·杭州月考）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（2025九上·杭州月考）将抛物线向上平移个单位后得抛物线，将向左平移个单位后得，若，均经过点，且，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 8．（2025九上·杭州月考）二次函数的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下结论：④．其中结论正确的序号为（　　） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 9．（2025九上·杭州月考）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（　　） A．1 B． C．2 D．2.5 10．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2025九上·杭州月考）函数，当时，y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）． 12．（2025九上·杭州月考）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第　 　块． 13．（2025九上·杭州月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为　 　． 14．（2025九上·杭州月考）如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则　 　． 15．（2025九上·杭州月考）已知二次函数图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，求p的最小值为　 　 ． 16．（2025九上·杭州月考）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． （1）m的值为　 　 ． （2）当时，则y的值为　 　 ． 17．（2025九上·杭州月考）国庆节期间，小弘前去黄龙体育中心观看足球比赛，在场馆可用门票随机兑换亚运纪念品．每张门票可随机兑换明信片（M）、小扇子（S）、遮阳帽（Z）中的一种，且兑换结果随机．小弘有两张门票，打算都用来兑换纪念品． 请你帮小弘解决以下问题： （1）用树状图或列表法列出所有可能的兑换结果； （2）求小弘恰好兑换到一把小扇子和一顶遮阳帽（顺序不限）的概率． 18．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图象与坐标轴交点坐标． 19．（2025九上·杭州月考）如图，已知是的直径，弦． （1）求证：弧弧； （2）若弧AC的度数为，求的度数． 20．（2025九上·杭州月考）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角度不超过180°)，得到△DBE，其中点A的对应点为D，连接CE，CE∥AB. (1)如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； (2)如图2，若点D在BC边上，DC=4，AC=，求AB的长. 21．（2025九上·杭州月考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）． （1）当时，①求小球离地面的最大高度；②经过多少时间小球的高度达到？ （2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，小球从发射到回到地面所需时间为，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明． 22．（2025九上·杭州月考）如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上． （1）若，求半径； （2）求证：； （3）若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由． 23．（2025九上·杭州月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据，当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．为了增加销量，店铺决定采取降价促销；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双；但销售单价不低于元．设该运动鞋的销售单价为x元/双，月销售总利润为y元． （1）当销售单价定为元时，求月销售量和月销售利润； （2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ （3）若店铺要求月利润不低于元，销售单价应定在什么范围？ 24．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点两点． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线过点、，试比较与的大小，并说明理由； （3）若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，求出n的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 【分析】根据二次函数的定义“形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数”逐项判断即可． 2．【答案】A 【知识点】事件的分类 【解析】【解答】解：A、只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确； B、任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，是随机事件，故此选项错误； D、汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为 ，是随机事件，故此选项错误. 故答案为：A 【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。根据定义并结合题意即可判断求解. 3．【答案】B 【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 【分析】通过勾股定理得到到OP的长度为5，而圆O的半径也是5，故点P在圆上． 4．【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值 【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最大值， ∴抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0， ∴顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴b2－4ac＝0， 故答案为：D. 【分析】由二次函数有最大值，可判断a＜0；由最大值为0，可判断顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，即可得答案. 5．【答案】B 【知识点】旋转的性质 【解析】【解答】解：∵是由绕点顺时针旋转后得到的图形， ∴， ∵， ． 故选：B． 【分析】根据旋转的性质得到得出，然后根据角的和差即可求解． 6．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，（等边对等角） ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案． 7．【答案】C 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：将抛物线向上平移个单位后得抛物线为，将向左平移个单位后得为， ，均经过点，且， ， 解得， 故选：C． 【分析】根据函数图象平移的规律，上加下减，左加右减，求得，的解析式，再将点A代入两个解析式，可求得n和a的值． 8．【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①由抛物线的图像可知：，，， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故选：D． 【分析】根据二次函数的图象开口向下，可知a＜0，c＞0，且对称轴=1，再根据特殊点的坐标，如坐标轴上的点，顶点等代入表达式可进行判定，二次函数图象与坐标轴的交点即为一元二次方程的解，可利用判别式来判定交点的问题． 9．【答案】D 【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：延长交于点，连接， ∵， ∴. ∵点是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为. 故选D． 【分析】根据垂径定理垂直于弦的直径会平分这条弦，故，因为M是中点，P也为中点，故PM为中线，当DN最大时，PM也最大，即当DN为直径时满足条件. 10．【答案】C 【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：∵， ∴图象开口向上，且经过原点， ∵ 点、、是抛物线上的三个点 ，且， ∴，， 如图， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】根据抛物线的解析式得图象开口向上，且经过原点，由的坐标、且，得，，然后作二次函数的图象，根据“抛物线开口向上，离对称轴距离越远，函数值越大”可列不等式组，解不等式组即可求解. 11．【答案】减小 【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质 【解析】【解答】解：的图像开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 【分析】根据二次函数的性质可知的图像开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小． 12．【答案】① 【知识点】垂径定理的实际应用；确定圆的条件 【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．在这段弧上任做两条弦，做出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，就可以知道半径的长度；所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【分析】只要知道圆心和半径就可以确定一个圆． 13．【答案】12 【知识点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：由题意可得： ×100%=20%， 解得a=12． 经检验：a=12是原分式方程的解， ∴a的值约为12. 故答案为：12. 【分析】由概率公式结合题意列出方程，解之即可. 14．【答案】​​​​​​​ 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【解析】【解答】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【分析】连接，，然后根据圆心角、弦、弧的关系得到，利用三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角解答即可． 15．【答案】 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：抛物线与轴只有一个交点， ， ， ， 抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， 代入得，， ， 当时，有最小值． 故答案为：． 【分析】因为抛物线与轴只有一个交点，则判别式b2-4ac=b2-4c=0，可得，抛物线经过和两点，可知对称轴=，得到b=-2（m+1），则c=（m+1）2，将b和c代入解析式中，得到，代入得n=（m-1）2，进一步得出，当时，有最小值． 16．【答案】13；85 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；动点问题的函数图象 【解析】【解答】解：如图，作． 当时，动点Q运动到点H的位置，即函数图象上的E点 则由题意和图象可知． 当点Q运动到点G的时候，最小． 即， ∴． 在中， 由勾股定理，得：． 解得（舍去）或． 故答案为：13． （2）由（1）可得． 设． 将代入上式，得：． 解得． ∴． 当时， ． 故答案为：85． 【分析】本题需要将图1中Q点的运动情况跟图2的函数图象联系起来，根据函数图象上已知的点来解答， （1）作，当时，动点Q运动到点H的位置，对应函数图象上的E点，根据图象可知，当点Q运动到点G的时候，对应函数图象上的D点，此时=81，而，由勾股定理可求出m的值； （2）根据（1）可得顶点坐标，根据顶点式设出函数表达式，设，在函数图象上，将其代入可得，从而可得到函数表达式，再将代入可得y值． 17．【答案】（1）解：列表如下： M S Z M S Z 共有9种等可能的结果； （2）解：由表格可知，刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果有2种， 刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的概率为． 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，即可得出答案． （2）由表格可得出所有等可能的结果数为9种，以及刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果数为2种，再利用概率公式：事件发生的可能结果数÷所有可能的结果数，可得答案． （1）解：列表如下： 　 M S Z M S Z 共有9种等可能的结果； （2）解：由表格可知，刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果有2种， 刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的概率为． 18．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为 （2）解：令，则， 得，， 函数图象与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图象与y轴的交点坐标为 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）令，得，求出x的值得到函数图象与x轴交点坐标，令求出y的值得到图像与y轴的交点坐标即可． （1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； （2）解：令，则， 得，， 函数图象与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图象与y轴的交点坐标为． 19．【答案】（1）证明：连接， ， ， ， ，， ， （2）解：的度数是， ， ， ， ， 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，利用平行线的性质得出，，即可得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到结论； （2）根据邻补角求出，即可得到，再根据角的和差解答即可． （1）证明：连接， ， ， ， ，， ， ； （2）解：的度数是， ， ， ， ， ． 20．【答案】解：（1）∠ABC=∠BEC 理由如下：∵△ABC绕B点旋转得到△DBE， ∴BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC， ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠BCE， ∴∠ABC=∠BEC. （2）如图，过点D作DF⊥CE于点F， ∵△ABC绕B点旋转得到△DBE， ∴AC=DE=，BC=BE，∠ABC=∠DBE，AB=BD， ∴∠BEC=∠BCE， ∵CE∥AB， ∴∠BCE=∠ABC， ∴∠DBE=∠BEC=∠BCE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC=BE=EC，∠DCE=60°，且DF⊥CE， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=2，DF=CF=2， 在Rt△DEF中，EF===8， ∴CE=EF+CF=10=BC， ∴AB=BD=BC-CD=10-4=6. 【知识点】平行线的性质；勾股定理；旋转的性质 【解析】【分析】（1）由旋转的图像，对应的边和角相等可得BC=BE，由等边对等角可得∠BCE=∠BEC，由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠BCE，从而根据角度的等量关系可得出结论∠ABC=∠BEC； （2）要想求出AB的长度，即要求BD的长度，而DC的长度是已知的，所以只需要求出BC的长度即可，过点D作DF⊥CE于点F，由旋转的性质对应的边和角相等，可得AC=DE=，BC=BE，∠ABC=∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半，可求CF的长，在Rt△DEF中可通过勾股定理求EF的长，可得CE=BC=10，即可得AB=BD=BC-CD的长． 21．【答案】（1）解：由题意，当时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为， ∴对称轴是直线， ∴最大高度：； ②由题意，令，则， 整理为， ∴或， 答：经过或小球的高度达到； （2）解：结论正确，理由如下： 由题意，小球落地时间t满足， ∴， ∴，， ∴． ∴该比值为常数5． 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）①根据题意先求出，再求出t=1.2，最后计算求解即可； ②根据题意先求出，再解方程计算求解即可； （2）先求出，再求出，，最后求解即可. （1）解：由题意，当时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为， ∴对称轴是直线， ∴最大高度：； ②由题意，令，则，整理为， ∴或， 答：经过或小球的高度达到； （2）解：结论正确，理由如下： 由题意，小球落地时间t满足， ∴， ∴，， ∴． ∴该比值为常数5． 22．【答案】（1）解：如图1，连接，设半径为r， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴半径为5； （2）证：如图1，在（1）基础上连接， ∵， ∴． ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：成立，理由如下： ∵C，D分别为的中点， ∴， ∴ ∴， 同理， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，圆的一条直径垂直一条弦，则也会平分这条弦，再利用勾股定理即可求得； （2）要想求证 ，只需要求证得到，先通证明，再根据圆心角、弧、弦的关系得到结论； （3）根据在直角三角形中，30°的所对应的直角边是斜边的一半，可推算出，同理，进一步得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到． （1）如图1，连接， 设半径为r， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴半径为5； （2）如图1，在（1）基础上连接， ∵， ∴． ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： ∵C，D分别为的中点， ∴， ∴ ∴， 同理， ∴， ∴． 23．【答案】（1）解：当销售单价定为元时，月销售量（双）， 月销售利润元； 答：月销售量是225双，月销售利润是5625元. （2）解：由题意可知， ， 顶点横坐标为， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，利润最大，此时元， 答：销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润是元． （3）解：，即， 解方程：， 得，， ∵二次函数开口向上， ∴解集为， 又∵， ∴， 答：销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) ． 【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）利润=（售价-定价）×数量，根据题意列式计算即可； （2）根据利润公式写出y与x的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）利润不低于3000元，即根，解一元二次不等式，求出解集，再结合题目中本身x的取值范围，得到最终的销售定价范围． （1）解：当销售单价定为元时， 月销售量双， 月销售利润元； （2）解：， ， 顶点横坐标为， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，元， 答：销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润是元． （3）解：， 即， 解方程：， 得，， ∵二次函数开口向上， ∴解集为， 又∵， ∴， 答：销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) ． 24．【答案】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）解：由（1）知，抛物线过点、， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点与点关于对称轴对称， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴ ​​​​​​​ （3）解：∵新抛物线， ∴新抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 令，则； 令，则； ∴点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称， ∵当时新抛物线与直线有且只有一个公共点， ∴当时，得； 当时， 得； 当时， 得； ∴，或 ​​​​​​​ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】（1）抛物线过两点，只需要将两点的坐标代入解析式计算即可； （2）由于（1）中已经计算出了a和b的值，则将a，b代入新的解析式，得到，化成顶点式后可知抛物线开口向上，对称轴为直线，再看m-1和m+3与对称轴的距离，画出草图，可得出； （3）平移后的新抛物线为，开口向上，对称轴为直线，顶点为，点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称，参照图像，分3种情况来讨论，第一种当时，得；第二种当时， 得；第三种当时， 得；再结合已知的要求，得，或． （1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）解：由（1）知，抛物线过点、， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点与点关于对称轴对称， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴ （3）解：∵新抛物线， ∴新抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 令，则； 令，则； ∴点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称， ∵当时新抛物线与直线有且只有一个公共点， ∴当时，得； 当时， 得； 当时， 得； ∴，或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市弘益中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 1．（2025九上·杭州月考）下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 【分析】根据二次函数的定义“形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数”逐项判断即可． 2．（2025九上·杭州月考）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【答案】A 【知识点】事件的分类 【解析】【解答】解：A、只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确； B、任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，是随机事件，故此选项错误； D、汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为 ，是随机事件，故此选项错误. 故答案为：A 【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。根据定义并结合题意即可判断求解. 3．（2025九上·杭州月考）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 【分析】通过勾股定理得到到OP的长度为5，而圆O的半径也是5，故点P在圆上． 4．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为 ，则（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值 【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最大值， ∴抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0， ∴顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴b2－4ac＝0， 故答案为：D. 【分析】由二次函数有最大值，可判断a＜0；由最大值为0，可判断顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，即可得答案. 5．（2025九上·杭州月考）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】旋转的性质 【解析】【解答】解：∵是由绕点顺时针旋转后得到的图形， ∴， ∵， ． 故选：B． 【分析】根据旋转的性质得到得出，然后根据角的和差即可求解． 6．（2025九上·杭州月考）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，（等边对等角） ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案． 7．（2025九上·杭州月考）将抛物线向上平移个单位后得抛物线，将向左平移个单位后得，若，均经过点，且，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：将抛物线向上平移个单位后得抛物线为，将向左平移个单位后得为， ，均经过点，且， ， 解得， 故选：C． 【分析】根据函数图象平移的规律，上加下减，左加右减，求得，的解析式，再将点A代入两个解析式，可求得n和a的值． 8．（2025九上·杭州月考）二次函数的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下结论：④．其中结论正确的序号为（　　） A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①由抛物线的图像可知：，，， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④正确； 故选：D． 【分析】根据二次函数的图象开口向下，可知a＜0，c＞0，且对称轴=1，再根据特殊点的坐标，如坐标轴上的点，顶点等代入表达式可进行判定，二次函数图象与坐标轴的交点即为一元二次方程的解，可利用判别式来判定交点的问题． 9．（2025九上·杭州月考）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（　　） A．1 B． C．2 D．2.5 【答案】D 【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：延长交于点，连接， ∵， ∴. ∵点是弦的中点， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为. 故选D． 【分析】根据垂径定理垂直于弦的直径会平分这条弦，故，因为M是中点，P也为中点，故PM为中线，当DN最大时，PM也最大，即当DN为直径时满足条件. 10．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：∵， ∴图象开口向上，且经过原点， ∵ 点、、是抛物线上的三个点 ，且， ∴，， 如图， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】根据抛物线的解析式得图象开口向上，且经过原点，由的坐标、且，得，，然后作二次函数的图象，根据“抛物线开口向上，离对称轴距离越远，函数值越大”可列不等式组，解不等式组即可求解. 11．（2025九上·杭州月考）函数，当时，y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质 【解析】【解答】解：的图像开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 【分析】根据二次函数的性质可知的图像开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小． 12．（2025九上·杭州月考）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第　 　块． 【答案】① 【知识点】垂径定理的实际应用；确定圆的条件 【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．在这段弧上任做两条弦，做出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，就可以知道半径的长度；所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【分析】只要知道圆心和半径就可以确定一个圆． 13．（2025九上·杭州月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为　 　． 【答案】12 【知识点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：由题意可得： ×100%=20%， 解得a=12． 经检验：a=12是原分式方程的解， ∴a的值约为12. 故答案为：12. 【分析】由概率公式结合题意列出方程，解之即可. 14．（2025九上·杭州月考）如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【解析】【解答】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【分析】连接，，然后根据圆心角、弦、弧的关系得到，利用三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角解答即可． 15．（2025九上·杭州月考）已知二次函数图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，求p的最小值为　 　 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：抛物线与轴只有一个交点， ， ， ， 抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， 代入得，， ， 当时，有最小值． 故答案为：． 【分析】因为抛物线与轴只有一个交点，则判别式b2-4ac=b2-4c=0，可得，抛物线经过和两点，可知对称轴=，得到b=-2（m+1），则c=（m+1）2，将b和c代入解析式中，得到，代入得n=（m-1）2，进一步得出，当时，有最小值． 16．（2025九上·杭州月考）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． （1）m的值为　 　 ． （2）当时，则y的值为　 　 ． 【答案】13；85 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；动点问题的函数图象 【解析】【解答】解：如图，作． 当时，动点Q运动到点H的位置，即函数图象上的E点 则由题意和图象可知． 当点Q运动到点G的时候，最小． 即， ∴． 在中， 由勾股定理，得：． 解得（舍去）或． 故答案为：13． （2）由（1）可得． 设． 将代入上式，得：． 解得． ∴． 当时， ． 故答案为：85． 【分析】本题需要将图1中Q点的运动情况跟图2的函数图象联系起来，根据函数图象上已知的点来解答， （1）作，当时，动点Q运动到点H的位置，对应函数图象上的E点，根据图象可知，当点Q运动到点G的时候，对应函数图象上的D点，此时=81，而，由勾股定理可求出m的值； （2）根据（1）可得顶点坐标，根据顶点式设出函数表达式，设，在函数图象上，将其代入可得，从而可得到函数表达式，再将代入可得y值． 17．（2025九上·杭州月考）国庆节期间，小弘前去黄龙体育中心观看足球比赛，在场馆可用门票随机兑换亚运纪念品．每张门票可随机兑换明信片（M）、小扇子（S）、遮阳帽（Z）中的一种，且兑换结果随机．小弘有两张门票，打算都用来兑换纪念品． 请你帮小弘解决以下问题： （1）用树状图或列表法列出所有可能的兑换结果； （2）求小弘恰好兑换到一把小扇子和一顶遮阳帽（顺序不限）的概率． 【答案】（1）解：列表如下： M S Z M S Z 共有9种等可能的结果； （2）解：由表格可知，刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果有2种， 刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的概率为． 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，即可得出答案． （2）由表格可得出所有等可能的结果数为9种，以及刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果数为2种，再利用概率公式：事件发生的可能结果数÷所有可能的结果数，可得答案． （1）解：列表如下： 　 M S Z M S Z 共有9种等可能的结果； （2）解：由表格可知，刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的结果有2种， 刚好得到一把小扇子和一顶遮阳帽的概率为． 18．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图象与坐标轴交点坐标． 【答案】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为 （2）解：令，则， 得，， 函数图象与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图象与y轴的交点坐标为 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）令，得，求出x的值得到函数图象与x轴交点坐标，令求出y的值得到图像与y轴的交点坐标即可． （1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； （2）解：令，则， 得，， 函数图象与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图象与y轴的交点坐标为． 19．（2025九上·杭州月考）如图，已知是的直径，弦． （1）求证：弧弧； （2）若弧AC的度数为，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， ， ， ， ，， ， （2）解：的度数是， ， ， ， ， 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，利用平行线的性质得出，，即可得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到结论； （2）根据邻补角求出，即可得到，再根据角的和差解答即可． （1）证明：连接， ， ， ， ，， ， ； （2）解：的度数是， ， ， ， ， ． 20．（2025九上·杭州月考）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角度不超过180°)，得到△DBE，其中点A的对应点为D，连接CE，CE∥AB. (1)如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； (2)如图2，若点D在BC边上，DC=4，AC=，求AB的长. 【答案】解：（1）∠ABC=∠BEC 理由如下：∵△ABC绕B点旋转得到△DBE， ∴BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC， ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠BCE， ∴∠ABC=∠BEC. （2）如图，过点D作DF⊥CE于点F， ∵△ABC绕B点旋转得到△DBE， ∴AC=DE=，BC=BE，∠ABC=∠DBE，AB=BD， ∴∠BEC=∠BCE， ∵CE∥AB， ∴∠BCE=∠ABC， ∴∠DBE=∠BEC=∠BCE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC=BE=EC，∠DCE=60°，且DF⊥CE， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=2，DF=CF=2， 在Rt△DEF中，EF===8， ∴CE=EF+CF=10=BC， ∴AB=BD=BC-CD=10-4=6. 【知识点】平行线的性质；勾股定理；旋转的性质 【解析】【分析】（1）由旋转的图像，对应的边和角相等可得BC=BE，由等边对等角可得∠BCE=∠BEC，由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠BCE，从而根据角度的等量关系可得出结论∠ABC=∠BEC； （2）要想求出AB的长度，即要求BD的长度，而DC的长度是已知的，所以只需要求出BC的长度即可，过点D作DF⊥CE于点F，由旋转的性质对应的边和角相等，可得AC=DE=，BC=BE，∠ABC=∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半，可求CF的长，在Rt△DEF中可通过勾股定理求EF的长，可得CE=BC=10，即可得AB=BD=BC-CD的长． 21．（2025九上·杭州月考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）． （1）当时，①求小球离地面的最大高度；②经过多少时间小球的高度达到？ （2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，小球从发射到回到地面所需时间为，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明． 【答案】（1）解：由题意，当时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为， ∴对称轴是直线， ∴最大高度：； ②由题意，令，则， 整理为， ∴或， 答：经过或小球的高度达到； （2）解：结论正确，理由如下： 由题意，小球落地时间t满足， ∴， ∴，， ∴． ∴该比值为常数5． 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）①根据题意先求出，再求出t=1.2，最后计算求解即可； ②根据题意先求出，再解方程计算求解即可； （2）先求出，再求出，，最后求解即可. （1）解：由题意，当时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为， ∴对称轴是直线， ∴最大高度：； ②由题意，令，则，整理为， ∴或， 答：经过或小球的高度达到； （2）解：结论正确，理由如下： 由题意，小球落地时间t满足， ∴， ∴，， ∴． ∴该比值为常数5． 22．（2025九上·杭州月考）如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上． （1）若，求半径； （2）求证：； （3）若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由． 【答案】（1）解：如图1，连接，设半径为r， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴半径为5； （2）证：如图1，在（1）基础上连接， ∵， ∴． ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：成立，理由如下： ∵C，D分别为的中点， ∴， ∴ ∴， 同理， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，圆的一条直径垂直一条弦，则也会平分这条弦，再利用勾股定理即可求得； （2）要想求证 ，只需要求证得到，先通证明，再根据圆心角、弧、弦的关系得到结论； （3）根据在直角三角形中，30°的所对应的直角边是斜边的一半，可推算出，同理，进一步得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到． （1）如图1，连接， 设半径为r， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴半径为5； （2）如图1，在（1）基础上连接， ∵， ∴． ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： ∵C，D分别为的中点， ∴， ∴ ∴， 同理， ∴， ∴． 23．（2025九上·杭州月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据，当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．为了增加销量，店铺决定采取降价促销；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双；但销售单价不低于元．设该运动鞋的销售单价为x元/双，月销售总利润为y元． （1）当销售单价定为元时，求月销售量和月销售利润； （2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ （3）若店铺要求月利润不低于元，销售单价应定在什么范围？ 【答案】（1）解：当销售单价定为元时，月销售量（双）， 月销售利润元； 答：月销售量是225双，月销售利润是5625元. （2）解：由题意可知， ， 顶点横坐标为， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，利润最大，此时元， 答：销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润是元． （3）解：，即， 解方程：， 得，， ∵二次函数开口向上， ∴解集为， 又∵， ∴， 答：销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) ． 【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）利润=（售价-定价）×数量，根据题意列式计算即可； （2）根据利润公式写出y与x的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）利润不低于3000元，即根，解一元二次不等式，求出解集，再结合题目中本身x的取值范围，得到最终的销售定价范围． （1）解：当销售单价定为元时， 月销售量双， 月销售利润元； （2）解：， ， 顶点横坐标为， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，元， 答：销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润是元． （3）解：， 即， 解方程：， 得，， ∵二次函数开口向上， ∴解集为， 又∵， ∴， 答：销售单价应定在元到元之间 (包括元和元) ． 24．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点两点． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线过点、，试比较与的大小，并说明理由； （3）若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，求出n的取值范围． 【答案】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）解：由（1）知，抛物线过点、， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点与点关于对称轴对称， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴ ​​​​​​​ （3）解：∵新抛物线， ∴新抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 令，则； 令，则； ∴点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称， ∵当时新抛物线与直线有且只有一个公共点， ∴当时，得； 当时， 得； 当时， 得； ∴，或 ​​​​​​​ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】（1）抛物线过两点，只需要将两点的坐标代入解析式计算即可； （2）由于（1）中已经计算出了a和b的值，则将a，b代入新的解析式，得到，化成顶点式后可知抛物线开口向上，对称轴为直线，再看m-1和m+3与对称轴的距离，画出草图，可得出； （3）平移后的新抛物线为，开口向上，对称轴为直线，顶点为，点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称，参照图像，分3种情况来讨论，第一种当时，得；第二种当时， 得；第三种当时， 得；再结合已知的要求，得，或． （1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）解：由（1）知，抛物线过点、， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点与点关于对称轴对称， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴ （3）解：∵新抛物线， ∴新抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 令，则； 令，则； ∴点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称， ∵当时新抛物线与直线有且只有一个公共点， ∴当时，得； 当时， 得； 当时， 得； ∴，或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $