精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

射洪中学初2023级九年级上期半期考试数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题(每题3分，共54分) 1. 下列式子中，不一定是二次根式的是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．因为和不是同类二次根式，不能合并；根据合并同类二次根式的法则，可得：；根据二次根式的乘法法则，可得：；根据二次根式的除法法则，可得：． 【详解】解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B选项：根据合并同类二次根式的法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据二次根式的乘法法则，可得：，故C选项错误； D选项：根据二次根式的除法法则，可得：； 故D选项正确． 故选：D． 4. 下列方程是一元二次方程的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即可求解．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是；②二次项系数不为；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A、∵只含未知数，且最高次数为，是整式方程，∴是一元二次方程，符合题意； B、∵方程中含有分式，不是整式方程，∴不是一元二次方程，不符合题意； C、∵方程中含有两个未知数和，∴不是一元方程，不符合题意； D、化简方程， ⇒ ⇒ ⇒ ，化简后是一元一次方程，∴不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 整理得， 开方得：或， ∵，即， ∴． 故选：A． 6. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 故选：C． 7. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】解：A、，方程没有实数根； B、，方程有两个相等的实数根； C、，方程没有实数根； D、△，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法． 8. 若 , 则=（    ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键．通过设 ，将方程转化为关于的方程，求解后根据算术平方根的非负性排除无效解． 【详解】解：设，则原方程化为， ∵， ∴， ∴或， 又∵（算术平方根非负）， ∴不符合题意，舍去， ∴． 故选：D． 9. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. 1，2，3，4 B. 2，4，3，5 C. 4，8，5，10 D. 3，9，4，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键． 【详解】A、∵，∴四条线段不成比例； B、∵，∴四条线段不成比例； C、∵，∴四条线段成比例； D、∵，∴四条线段不成比例． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】在中： 故选：B 11. 在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度数为（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA=，tanB=1，进而得出∠A=30°，∠B=45°，即可得出答案． 【详解】∵|sinA-|+（1-tanB）2=0， ∴|sinA-|=0，（1-tanB）2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C的度数为：180°-30°-45°=105°． 故选C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质，正确得出sinA=，tanB=1是解题的关键． 12. 如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断． 【详解】解：A．∵AB2=BD•BC， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故A不符合题意； B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故B不符合题意； C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B， ∴∠C=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故C不符合题意； D．∵AD•BC=AB•AC， ∴， ∵∠B≠∠BAD， ∴不能判定△ABC与△ABD相似， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 13. 如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 【答案】C 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵米，米，米 ∴ ∴（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 14. 如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=5， ∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=8， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 15. 顺次连结下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【详解】解：∵顺次连结任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 16. 下列命题是真命题的有（ ）个． （1）以2，为根的一元二次方程可以是 （2）一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是， （3）在中，点G是的重心，是中线，则． （4）已知点，把点A向右平移3个单位到点B，则B关于原点对称点C的坐标为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了命题，解一元二次方程，一元二次方程的解，重心，点的平移和对称，逐一判断每个命题的真假：命题（1）验证方程的根；命题（2）利用根与系数的关系；命题（3）根据重心性质；命题（4）通过坐标平移和对称变换． 【详解】解：（1）方程可化为，解得或，并非和，∴该命题为假命题． （2）∵一个根为，代入方程得，∴；方程变为，根的和为，∴另一根为，符合，∴该命题为真命题． （3）重心将中线分为，即，但命题说，错误，∴该命题为假命题． （4）点向右平移个单位得，关于原点对称点为，符合，∴该命题为真命题． 综上，真命题有个． 故选：B． 17. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 18. 如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故②错误；通过证明 ，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④正确，设，，可求，，可得，故⑤正确；即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴，，故①正确； 如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②错误； ∵，，F是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于G，则， ∴ ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，故④正确； ∵ ， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故选C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据比例的基本性质得到，，，代入原式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：4． 20. 已知是方程的两个实数根，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元一次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：是方程的解，代入方程等式成立；牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴将代入原方程得：， ∴， 故答案为：． 21. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合题意即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小， ∴位似系数为或， 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，即； 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，， 综上，点A对应点的坐标分别为或， 故答案为：或． 22. 如图，光源P在横杆正上方，在灯光下的影子为，，，，点P到的距离是2.7m，则与间的距离是______m. 【答案】1.8 【解析】 【分析】根据AB∥CD，可知△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD， 假设CD到AB距离为x,则 ， 又∵AB=2m，CD=6m， ∴， ∴x=1.8m. 故答案为1.8m. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于先证明△PAB∽△PCD. 23. 如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 24. 如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使，连接，过点作于，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于， ∵中，，，， ∴， 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键． 三、解答题 25. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 26. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法），熟练掌握一元二次方程的不同解法并根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）先将式子变形，把提取公因式转化为，再用因式分解法解方程； （2）先将左边展开，整理成一元二次方程的一般形式，再用公式法或配方法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 其中，，， ∴， ∴， ∴，． 27. 定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）是“黄金方程”， 理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 28. 已知在等腰三角形中，三边长分别为a、b、c，其中，b、c恰好是方程的两个实数根． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）求△ABC的周长 【答案】（1） 证明：， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当为腰长时，当为底长时，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当为腰长时，将代入原方程，得： ， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， ∴此时的周长为， 当为底长时，， 解得：， ∴， ∵， 此时，边长为的三条线段不能组成三角形， ∴的周长为． 29. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 30. 如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， ． 又， ． （2） 解：，理由如下： ， ． ． ． （3）24 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 31. 【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 【答案】 （1）证明：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，结合，则，证明，即可作答． （2）先由等边三角形的性质得，再结合，得，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）因为，，则 所以，则，得，解得，故．即可作答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）∵为等边三角形， ， ， ， ， ． ， ∴， 即， 解得； （3）， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学初2023级九年级上期半期考试数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题(每题3分，共54分) 1. 下列式子中，不一定是二次根式的是（      ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程是一元二次方程的是（     ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 或0 6. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A. B. C. D. 8. 若 , 则=（    ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. 1，2，3，4 B. 2，4，3，5 C. 4，8，5，10 D. 3，9，4，7 10. 如图，在中，，，，，则（　　） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度数为（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 12. 如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 14. 如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15. 顺次连结下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 16. 下列命题是真命题的有（ ）个． （1）以2，为根的一元二次方程可以是 （2）一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是， （3）在中，点G是的重心，是中线，则． （4）已知点，把点A向右平移3个单位到点B，则B关于原点对称点C的坐标为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 18. 如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 若，则__________． 20. 已知是方程的两个实数根，则__． 21. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 22. 如图，光源P在横杆正上方，在灯光下的影子为，，，，点P到的距离是2.7m，则与间的距离是______m. 23. 如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为___________． 24. 如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为______． 三、解答题 25. 计算或化简： （1） （2） 26. 解方程 （1） （2） 27. 定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 28. 已知在等腰三角形中，三边长分别为a、b、c，其中，b、c恰好是方程的两个实数根． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）求△ABC的周长 29. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 30. 如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 31. 【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $