精品解析：重庆市江北区重庆八中宏帆中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．由此即可判断选项． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 2. 列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形是轴对称图形，符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 若，则下列式子正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加、减同一个数或乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴（两边乘正数2，不等号方向不变）， ∴（两边加1，不等号方向不变），故A正确，符合题意； B．∵，∴（两边减2，不等号方向不变），故B错误，不符合题意； C．∵，∴（两边乘，不等号方向改变），故C错误，不符合题意； D．取，满足，但，故D不一定正确，不符合题意． 故选A． 4. 已知反比例函数，下列各点在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握反比例函数图像上点的横纵坐标的积为k是解题的关键． 分别求出各选项点的横纵坐标的积，看是否为16即可解答． 【详解】解：A．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； B．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； C．点横纵坐标积为，即点不在函数图像上，故该选项不符合题意； D．点横纵坐标积为，即点在函数图像上，故该选项符合题意． 故选D． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的性质估算范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ 值在4和5之间， 故选：B． 6. 如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，正切，掌握知识点是解题的关键． 先推导出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选C． 7. 若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴关于直线的对称点， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵，，，， ∴， 故选：D． 8. 如图，内接于，，的角平分线交于，连接，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．连接，由可得是的直径，从而得到，由是的角平分线可得，则，进而得到是等腰直角三角形，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，，E是线段上一点，，连接，过点作，且，连接，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，以及勾股定理的应用．解题的关键是构造直角三角形．过F作交延长线于G， 过F作交延长线于H，先证，再证四边形是矩形，由勾股定理求出的长度． 【详解】解：过F作交延长线于G， 过F作交延长线于H， ． 是正方形， ，． ， ． ，， ． 在和中 ． ，． ． ， 四边形是矩形． ，． ． ． 故选：B． 10. 已知两个整式M，N，其中（m，n为整数，且满足），（k，t为非负整数），且．下列说法中正确的个数有： ①满足条件的有12种可能情况； ②若的最小值为1，则的表达式有5种； ③当时，存在k，t，使得能在整数范围内分解为一个一次二项式的平方． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，一元二次方程，二次函数的运用，理解题意含义，掌握一元二次方程，二次函数图象的性质是关键． 说法①要求计算满足条件的N的种类数，需找到所有非负整数k、t使得存在非负整数n满足，计算得16种，故错误；说法②要求M的最小值为1时M的种类数，由最小值条件得且m为偶数，有无限多种M，故错误；说法③要求当时存在k、t使为完全平方式，通过系数比较和条件求解，找到一组解，故正确． 【详解】解：说法①：∵， ∴，且为整数， ∴n为0或正整数， ∵ 为非负整数，且， ∴， 当时，，共7种； 当时，，共5种； 当时，，共3种； 当时，，共1种； 总计种，但说法①有12种，故错误； 说法②：∵ M的最小值为1， ∴ ，即， 又∵ 恒成立，且m，n为整数， ∴ m为偶数，设（a为整数），则， ∵， ∴， ∴， ∵为非负数，即， ∴，则， ∴的取值可以为，则对应的值为，对应的值为， ∴的表达式有5种，故②正确； 说法③：当时，， 设（B为整数）， ∴， 又，且由有，得， 代入得：，即， ∵， ∴ ，即， 要求，得， 解得（B整数）， ∵ ， ∴， 尝试，仅时，满足条件， ∴存在使为完全平方式，故正确； 综上，说法②③正确，共2个， 故选：C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 13. 如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是2，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标即可． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是2， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 14. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解绝对值方程，求代数值的值．由绝对值方程分情况讨论，解得，代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，符合题意． ∴． ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是弦，过点作于点，直线交于点、点，连接、，分别交、于点、点交于点．若点是的中点，，则_____；_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆周角，垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键． 连接，先求出，，由已知易得，推导出， 得到，证明，得到，求出，再根据，得到，推导出，，由，得到 即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵G是的中点， ∴， ∵，O为圆心， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：，． 16. 若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为8，则称为“能量数”，并将分解成的过程称为“能量分解”．例如，，，所以968是“能量数”，968分解成的过程就是“能量分解”．按照这个规定，最小的“能量数”是_____．把一个“能量数”进行“能量分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，将放在的右边组成一个四位数，若能被8整除，且（为整数），则满足条件的整数的值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，理解“能量数”的概念及计算方法是关键． ①根据题意设，则，，则，当的值最小时，“能量数”最小，由此即可求解； ②根据题意，设，则，，分别表示出的值，那么，结合（为整数），即，推出即是完全平方数，，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：①∵，是正整数， ∴设，则，， ∴ ， ， 当的值最小时，“能量数”最小， ∴时，的值最小，此时，， ∴， ∴最小的“能量数”是； ②设，则，， ∴， ， ∴ ， ∵能被8整除， ∴是8的倍数， ∵（为整数），即， ∴， 即是完全平方数，， ∴， ∴当时，， ∴， 此时， ∵不是8的倍数， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， 此时， ∵不是8的倍数， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， 此时， ∵，能被8整除， ∴符合题意； 当时， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，，，则； 故答案为：①；② ． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为3，4，5． 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组解集，分别求出每个一元一次不等式的解集，然后求出所有解集的公共部分，最后找到解集中的整数即可． 【详解】解：将原不等式组化为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为，其中的整数为3，4，5． ∴原不等式组的所有整数解为3，4，5． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 【答案】 第一步：作图如图，如图为所作的图形； 第二步：①，②，③，④． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义，掌握知识点是解题的关键． 第一步：根据尺规作图-垂线的作图法作图即可；第二步：根据平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义等进行解答即可． 【详解】解：第一步：略 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， ∴， ∴， 在与中， ， ． 四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．某校开展了数学建模知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生组的竞答成绩为：81，82，83，83，82，85，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81． 七八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级学生共有3000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的共有多少人． 【答案】（1）82；83；40 （2） 解：八年级的竞答成绩更好．理由：虽然两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级的竞赛成绩更好； （3）估计该校七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的约有750人． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位线和众数，条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握统计图的特点和相关定义． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据中位数和众数进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题可知，七年级随机抽取20名学生的竞答成绩，其中C组所占百分比为，D组所占百分比为 ∴C组人数为（人）， D组人数为（人）， 其中B组有8名学生的竞答成绩， ∴A组有（人）， 将七年级竞答成绩从低到高进行排列，中位数为第10、11位竞答成绩， ，， ∴第10、11位竞答成绩是82分、82分， 七年级被抽取学生竞答成绩中位数为（分）， ∵八年级被抽取学生的竞答成绩出现次数最多的是83分， ∴八年级被抽取学生的竞答成绩众数是分， 又∵， 即． 故答案为：82；83；40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的约有750人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的化简方法是解题的关键． 先化简表达式，通过展开多项式、合并分式并通分，得到最简形式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 由于， 将代入上式得， 原式 ． 21. 某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． （1）求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ （2）为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】（1）每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【小问1详解】 解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； 【小问2详解】 解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 22. 如图，在菱形中，对角线与交于点，其中菱形的面积为24，，，动点从点出发，沿运动（不与重合），用表示点的运动路程，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并分别写出函数、的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）当时，；当时，；； （2） 如图所示，即为所求； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）当时，或． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与反比例函数综合，三角函数的应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由菱形的性质，结合三角函数及勾股定理可得，过点P作于G，过点C作于点H，利用相似三角形求得，即可求出，由则可得到； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴设 ∵， ∴, 解得， ∴， 过点P作于G，过点C作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴当时，； 当时，， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立，解得或解得， ∴由函数图象可得，当时，或． 23. 小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可； （2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：南环线的长度为； 【小问2详解】 解：过点作的延长线于点，如图所示： 、， 设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时， ， 、， ， 在中，由勾股定理得，， 由于小黄与小月两人同时到达景点， 则， 整理得，， ， 解得， 因此北环线的长度为 答：北环线的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是线段上的一动点，过点在线段下方作交抛物线于点P，y轴有一动点，连接，过点作轴交抛物线的对称轴直线于点，连接．当取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度后，再关于轴对称得到抛物线，抛物线交轴于A，G两点，与抛物线交于A，H两点，连接GH，AH，，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）；的最小值为6； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求得，，利用待定系数法求解即可； （2）作轴交直线于点，过点作直线轴于点，并交于点，设，则，求得，，，得到，利用二次函数的性质即可求解；将向左平移1个单位，得到，作关于轴的对称点，连接交轴于点，求得，据此求解即可； （3）先求得，得到，分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∵， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点，过点作直线轴于点，并交于点，如图， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，轴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴当取最大值时，取最大值， ∵， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，取最大值， 此时； 将向左平移1个单位，得到，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∵轴交抛物线的对称轴直线于点，连接， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，且是等腰直角三角形， ∴抛物线向右且向上各平移3个单位， ∴平移后的解析式为， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得或， ∴， 联立得， 整理得， 解得或， ∴， 作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上方时，设直线交轴于点，如图， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作轴，且，过点作，使，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，分类讨论是解题关键． 25. 如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上． （1）如图1，，，平分，求的长度； （2）如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； （3）如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，分别以，为边，向上作等边三角形，得到，，连接，，，延长交于点H． 由作法可得，，，，， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． 同理，． ∴，． ∴． ∴点，，三点共线，即点在线段上． ∵，， ∴． ∴点，，三点共线． 又， ∴点A为的中点． 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∴． 又是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴点在线段上． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查“全等三角形的性质与判定”“相似三角形的性质与判定”“勾股定理”，灵活运用“瓜豆原理”，进行手拉手全等、相似三角形的构造，找到从动点的运动轨迹是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，可知，过点E作的垂线，通过勾股定理列方程即可解出的长度． （2）已知，因此求证等价于求证，以为边向上作等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，确定点G的运动轨迹，进而确定点Q的运动轨迹，通过中位线的性质和全等三角形的性质，得到和之间的关系，再借助，即可得到与的关系，从而得证． （3）同（2）中构造方式，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，从而得到点M的运动轨迹，进而确定取得最小值时的位置及最小值，再根据翻折的性质，得到，从而确定点N的运动轨迹是圆，进而确定进而确定取得最小值时的位置及最小值，最后通过作垂线，利用相似三角形的性质与判定和勾股定理求的高，即可求出面积． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点F． ∵，， 又， ∴，，． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，得到，，作直线交于点H． 同（2）理，可得，， ∴点M在直线上． ∴当时，取最小值． 由旋转的性质，可知，，知，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 由翻折的性质，可知， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 如图，当点N在上时，取得最小值，连接，过点作于点． 此时． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列各点在该函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，，的角平分线交于，连接，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 9. 如图，在正方形中，，E是线段上一点，，连接，过点作，且，连接，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 已知两个整式M，N，其中（m，n为整数，且满足），（k，t为非负整数），且．下列说法中正确的个数有： ①满足条件的有12种可能情况； ②若的最小值为1，则的表达式有5种； ③当时，存在k，t，使得能在整数范围内分解为一个一次二项式的平方． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 13. 如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 14. 若，则的值为_____． 15. 如图，是的直径，是弦，过点作于点，直线交于点、点，连接、，分别交、于点、点交于点．若点是的中点，，则_____；_____． 16. 若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为8，则称为“能量数”，并将分解成的过程称为“能量分解”．例如，，，所以968是“能量数”，968分解成的过程就是“能量分解”．按照这个规定，最小的“能量数”是_____．把一个“能量数”进行“能量分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，将放在的右边组成一个四位数，若能被8整除，且（为整数），则满足条件的整数的值是_____． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．某校开展了数学建模知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生组的竞答成绩为：81，82，83，83，82，85，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81． 七八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级学生共有3000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． （1）求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ （2）为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 22. 如图，在菱形中，对角线与交于点，其中菱形的面积为24，，，动点从点出发，沿运动（不与重合），用表示点的运动路程，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并分别写出函数、的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； （2）小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是线段上的一动点，过点在线段下方作交抛物线于点P，y轴有一动点，连接，过点作轴交抛物线的对称轴直线于点，连接．当取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度后，再关于轴对称得到抛物线，抛物线交轴于A，G两点，与抛物线交于A，H两点，连接GH，AH，，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上． （1）如图1，，，平分，求的长度； （2）如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； （3）如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $