专题01 圆与正多边形 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

专题01 圆与正多边形 压轴题 题型一：圆与（特殊）平行四边形 题型二：圆的位置关系的综合应用 题型三：圆的有关性质的综合应用 题型四：圆与特殊三角形 题型五：新定义题 题型一：圆与（特殊）平行四边形 1．平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论； ②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长； （2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又在直线上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值． 【详解】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O， ∵平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=CE，OE=OE， ∴△AOE≌△COE(SSS)， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠COE=180°， ∴∠COE=90°， ∴AC⊥BD， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵OA=OC， ∴OB是△ABC的中线， ∵为中点， ∴AP是△ABC的中线， ∴点E是△ABC的重心， ∴BE=2OE， 设OE=x，则BE=2x， 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2, ∴9-x2=25-9x2， 解得：x=, ∴OB=3x=3， ∵平行四边形， ∴BD=2OB=6； （2）解：如图， ∵⊙A与⊙B相交于E、F， ∴AB⊥EF， 由（1）②知点E是△ABC的重心， 又在直线上， ∴CG是△ABC的中线， ∴AG=BG=AB，GE=CE， ∵CE=AE， ∴GE=AE，CG=CE+GE=AE， 在Rt△AGE中，由勾股定理，得 AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2, ∴AG=AE, ∴AB=2AG=AE， 在Rt△BGC中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2， ∴BC=AE， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目． 2．已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、，由四边形是菱形，得出，平分，，又由、分别为、中点，证得，即可得证； （2）连接、交于点，设，，则，易证，得出，，再通过，得出，进而求出的值； （3）连接、，过点分别作于，于，求出的度数，又由点是等边的外心，易证，可得，即点在的平分线上，即点落在直线上，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， 四边形是菱形， ，平分，，， ， 又、分别为、中点， ，，， ， 点即为的外心． （2）解：如图2，连接、交于点，设交于点， 设，，则， ， ，， 又由（1）知， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 即． （3）解：如图3，分别连接、，过点分别作于，于， ， ， ， 点是等边的外心， ，， ， ， ， ， 点在的平分线上，即点落在直线上， ． 【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识． 3．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或； (3)⊙O的半径为，m的取值范围为或． 【分析】（1）连接、，交于，由，得出，根据垂径定理得出，，则．由，得出．根据菱形的性质得出，则， （2）分当时，当时，如图所示，设交于点，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （3）连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，利用垂径定理得到，，在和中，求得，，在中，利用勾股定理即可得出⊙O的半径；再根据点在对角线上，点与点之间的距离记为，减去圆心在菱形及内部时的情况即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：连接、，交于，如图， ， ， ，， ． ， ， ． 四边形为菱形， ， ， ； （2）解：当时，如图所示， ∵ ∴是的直径， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示，设交于点 ∵，， ∴， 又∵，则 ∴ 综上所述，或； （3）解：连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，如图， ∵， ∴， 同理，， ∵，， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴⊙O的半径为， 设菱形对角线交点为K， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对角线上，点与点之间的距离记为， ∴； ∵圆心在菱形外部， ①当圆心到达边时， 此时为直径，即， 即点P与点K重合， 此时； ②当圆心到达边时， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵ 设 则 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆的相关性质是解题的关键． 题型二：圆的位置关系的综合应用 4．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义可得答案； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，讨论求解即可； （3）如解析图示中，求出圆与圆内切时，，再求出时，，据此分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：如图：当在的左侧时；过作， ∴， ∴， 设，则 与相似， ， ， ∵，即， ∴，即， ∴， ∵， ， ，即 解得（已检验，符合题意） ； 如图：当在的右侧时； 过作于，过过于，过作于， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ， ， 综上：； （3）解：如图，当圆与圆内切时，则， 过作于，过过于， 同（2）可证明， ∵， ∴， ∴， ∴ 如图，当时，在内切的基础上，点D会更靠近点B，即此时一定有， ∴， ∴内含于； 如图，过点O作交于T，则， ∴； 如图，当时，，则一定有， ∴与相交； 当时，如图， ∵， ∴， ∴与相交； 综上所述，当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．    (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值． 【答案】(1) (2)或 (3)或1 【分析】（1）设与直线的切点为点E，连接，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可； （2）分三种临界情况：①当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点，②当恰好经过点C时，连接，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可； （3）根据题意，分两种情况：①两个圆外切时，②两个圆内切时，作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质及正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：设与直线的切点为点E，连接，如图所示：    ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； （2）①如图所示：当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，    ∴由（1）得半径的长为，恰好有一个交点， ∴当时，满足条件； ②当恰好经过点C时，连接，如图所示：    设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； ∴当时，与的三边的交点多于2个，不满足条件； ③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，    ∴当时，满足条件； 综上可得：或时，满足条件； （3）①当两个圆外切时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ∵两个圆相切， ∴，即，   解得：， ∴； ②当两个圆内切时，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的正切值为或1． 【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 6．已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）． (1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数； (2)如图2，当时，求的正切值； (3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由弧等得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，然后根据等边对等角以及三角形的外角性质得到，最后在中，由三角形内角和定理建立方程求解； （2）过点作于点，由垂径定理得到，设，则， 那么，则，故，由勾股定理得，再由正切的定义即可求解； （3）连接，先证明，再证明，则，设，则，代入解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， 设， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，即； （2）解：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， 由上知， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆心角和弧之间的关系，圆与圆的位置关系，垂径定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并运用圆的相关性质是解题的关键． 7．已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)相切，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点C作于点，先解求出，的度数，过点O作于点，则当点与点重合时，，由，得到，故，即可判断； （2）由垂径定理的推论可得，可得为等腰直角三角形，证明，则，设，则，由，得到，那么，代入即可求解； （3）当与线段相切时，过点作于点，过点作于点，导角证明，则，那么；当经过点时，过点分别作，垂足分别为，由平行线分线段成比例定理得到，设，则，则，那么，解得到，再由平行线分线段成比例定理得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于两个临界情况进行分析． 8．已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． (1)联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． (2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①连接，过点作于点，求出，设，则，由求出，得到，，，则，即可求出答案；②连接，，，证明△△，得到，得到，则．设，，则，证明△△，得到，即可求出答案． （2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，证明△△，得到，设，证明△△，得到，则，，即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，过点作于点，如图， 是半圆的直径，点是弧的中点， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，，， ， ． ②连接，，，如图， 点是弧的中点， ， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ． 设，，则， △△， ， ． （负数不合题意，舍去）， ， ； （2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，如图， 点为圆心、为半径的圆与相切， 点为切点， ， 设，则， 是弦的中点， ，， 为半径的圆与直线相切于点， ，， 在△和△中， ， △△， ， 设， ，， △△， ， ，， ，， ， ， ， ， ． ， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 题型三：圆的有关性质的综合应用 9．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①由圆周角定理得，等量代换得，然后根据即可证明； ②由圆周角定理得，在中，求出， 在中求出，由面积法求出，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）取的中点G，连结，根据证明得，设，，求出，进而可证结论成立． 【详解】（1）①证明：∵， ， ∵， 在和中， ； ②解：连结， 为直径， ， ， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，； （2）解：取的中点G，连结， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是一道圆的综合题目，考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识点，同时对学生的模型思想有一定要求，考查了两个重要模型，即圆内接等腰三角形模型和二倍角模型． （1）因为，由垂直平分线的判定，可以得到在的垂直平分线上，同理，也在的垂直平分线上，由于两点确定一条直线，所以是的垂直平分线； （2）利用“八字图”，可以证得，由同弧所对的圆周角相等得到，所以可以证得，由于，通过计算可以得到，从而得到为等腰三角形，利用“三线合一”可以证明，即可求解； （3）设，利用，得到，因为，所以，在中，利用三角形内角和为，得到，从而计算得到，设，延长至，使，得到，所以，同理在中，也可以表示出，列出方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图，连接，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分上， 两点确定一条直线， 是的垂直平分线， ； （2）如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）如图，连接，，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 延长至，使，连接， ， 为圆直径， ， 在中， 设，则，， ， 同理，， ， ， 解得或5， ， ， 圆的周长为． 题型四：圆与特殊三角形 11．如图，已知：中，，， ，是边上一点，以点为圆心为半径的圆与边的另一个交点是点，与边的另一个交点是点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，的延长线交于点，联结． (1)求证：； (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)（）； (3)的长为，． 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，函数关系式等，正确的左侧辅助线是解题的关键； （1）根据平行线的性质可得，，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证； （2）作，，垂足分别为、，解得出，，在中，得出，证明，进而得出，又，根据三角形的面积公式，即可得关于的函数关系式； （3）①，两种情况，分别讨论求解． 【详解】（1）证明：联结， ， ，， ， ， ， ∴． （2）作，，垂足分别为、， ，，， ， 在中，，，， ，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， 即（）． （3）如果， ， ， 四边形是平行四边形， ，     ， ， ，    ． 如果，作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，如果是以为腰的等腰三角形， 的长为，． 12．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）连接，，是圆的内接正六边形的一边时，进而判断是等边三角形，即可求解； （2）根据题意证明，得出则,，在，中，勾股定理即可求解； （3）分情况讨论，①当时，如图所示，过点作于点，则，②当时，分别画出图形，根据，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，，      ∵半圆的直径， ∴， ∵是圆的内接正六边形的一边时， ∴, ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，    ∵是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，    设，由（2）可得，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 又∵ ∴， 解得：， ∴； ②如图所示，当时，      同理可得，则，, ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 13．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 题型五：新定义题 14．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则________． (2)如图（1），是半圆的直径，是半圆上的点，D是上的点，交于点E． ①若D是的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”； ②当是“准互余三角形”时，求的长； ③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长． 【答案】(1) (2)①3；②3或；③ 【分析】（1）过点C作于D，作垂直平分线交、于E、F，连接，先求得，设，则，，再根据是“准互余三角形”，求得，从而求得，则，，，即可由求解； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，推导出，再由，可得，从而得到是“准互余三角形”；再由可得是“准互余三角形”； ②当点D是的中点时，当点D不是的中点时，分别求解即可； ③将沿翻折得到，可证明、B、G三点共线，再证明，得到，即，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于D，作垂直平分线交、于E、F，连接， ∵，， ∴ 设，则，， ∵是“准互余三角形”， ， ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ∵， ∴是“准互余三角形”； ∵，， ∴， ∴是“准互余三角形”； 故答案为：3； ②如图（1）中，当点D是的中点时，如图，过点E作于点M，则， ∴，， ∵， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴满足条件，． 当点D不是的中点时，如图中， ∵是“准互余三角形”， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 综上所述，满足条件的EC的值为3或． ③将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、B、G三点共线， ∵是“准互余三角形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理及推论，三角形相似的判定及性质，角平分线性质，理解新定义是解题的关键． 15．定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线”． (1)如图1，中，，，求证：是“小屋三角形”． (2)如图2，是圆的内接三角形，是钝角，是的“小屋线”，设长为，圆的面积为，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，是优弧的中点，连结，，当与的平方差为时，求圆的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于，根据等边对等角可得，再根据直角三角形中角所对边等于斜边的一半可得，进而可得，即可得证． （2）作于，作直径，连接，表示出，结合，进而即可求解． （3）连接并延长，交于，作于点．设圆的半径为， ．先证四边形是矩形，则可得，，，．在和中，根据勾股定理将和用含有和的式子表示出来，再根据求出的值，即可知圆的直径，即可求解． 【详解】（1） 解：如图，过A点作于D ∵中，，， ∴， ， ， ， ∴是“小屋三角形”． （2）解：如图， 作于E，作直径，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的“小屋线”， ， ， ， ， ∵长为，圆的面积为， ∴， 即 ∴ （3） 解：如图，连接并延长，交于，作于点， 设圆的半径为， ， ∵是优弧的中点， ， ， 又， ∴四边形是矩形， ， ，，， 在中，，， 在中，， ∴， 在中， 在中，， ， ， ， ， ， 圆的直径为． ∴圆的周长为 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、垂径定理、勾股定理等知识．正确的做出辅助线并且能够设未知数，列方程是解题的关键． 16．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 17．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连接交于点，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由． (2)设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数． (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为，当时，求的长． 【答案】(1)是幸运角，理由见解析 (2)度数为 (3)或 【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明即可； （2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半即可解答； （3）连接，，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：是的“幸运角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分，即为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“幸运角”． （2）解：∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的“幸运角”度数． ∴的“幸运角”度数为． （3）解：连接，，如图， ∵的“幸运角”度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵直径， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆与正多边形 压轴题 题型一：圆与（特殊）平行四边形 题型二：圆的位置关系的综合应用 题型三：圆的有关性质的综合应用 题型四：圆与特殊三角形 题型五：新定义题 题型一：圆与（特殊）平行四边形 1．平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 2．已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 3．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 题型二：圆的位置关系的综合应用 4．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 5．已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．    (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值． 6．已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）． (1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数； (2)如图2，当时，求的正切值； (3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长． 7．已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 8．已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． (1)联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． (2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 题型三：圆的有关性质的综合应用 9．如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 10．已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 题型四：圆与特殊三角形 11．如图，已知：中，，， ，是边上一点，以点为圆心为半径的圆与边的另一个交点是点，与边的另一个交点是点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，的延长线交于点，联结． (1)求证：； (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 12．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．    (1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长； (2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长． 13．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 题型五：新定义题 14．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则________． (2)如图（1），是半圆的直径，是半圆上的点，D是上的点，交于点E． ①若D是的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”； ②当是“准互余三角形”时，求的长； ③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长． 15．定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线”． (1)如图1，中，，，求证：是“小屋三角形”． (2)如图2，是圆的内接三角形，是钝角，是的“小屋线”，设长为，圆的面积为，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，是优弧的中点，连结，，当与的平方差为时，求圆的周长． 16．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 17．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连接交于点，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由． (2)设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数． (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为，当时，求的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $