江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为(    ) A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 2.一元二次方程配方后可变形为(    ) A. B. C. D. 3.甲、乙两名同学在5次数学测试中，他们的成绩的平均分相同，方差分别为，，则成绩比较稳定是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 两人一样稳定 D. 无法确定 4.若代数式的值与x的值相等，则x的值是(    ) A. B. C. 或1 D. 或 5.某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是(    ) A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B. 垂直于弦的直径平分弦 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 长度相等的弧是等弧 7.设方程的两个根为m、n，那么的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 8.如图，扇形OAB的半径是1，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正六边形ABCDEF的半径为4，则这个正六边形的面积为(    ) A. 8 B. C. D. 36 10.如图，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA，如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一元二次方程的解是______. 12.若一元二次方程有一个根为，则        . 13.已知圆弧所在圆的半径为24，所对圆心角为，则这条弧长为      . 14.如图，四边形ABCD内接于，点E为BC延长线上一点，若，则的度数为        15.若圆锥的母线长为5cm，其侧面积为，则圆锥底面半径为        16.要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则        . 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 解方程： ； 18.本小题6分 已知：关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值. 19.本小题6分 如图，在矩形ABCD中，，，点M从点A出发沿AD以的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿CB以的速度向点B移动.经过多长时间，M、N两点之间的距离是13cm？ 20.本小题6分 已知：如图，在中， 求作：，使点O在AC上，且与BC、AB都相切；保留作图痕迹，不写作法 若，，求则的半径长为______. 21.本小题6分 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口.假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同. 小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是______； 小明通过这3个十字路口，至少遇到1次红灯的概率是多少？用列表法或画树状图分析 22.本小题8分 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下单位：件： 月销售量 600 500 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 3 求该公司营销人员该月销售量的平均数； 该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______； 假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由. 23.本小题6分 如图，AB是的直径，点D是弦AC的延长线上一点，且，DB的延长线交于点 请问：CD与CE相等吗？为什么？ 若，则______ 24.本小题8分 某商店的一种服装，每件成本为50元.经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件.设该服装每件售价为x元. 用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件； 若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 25.本小题8分 如图，四边形ACBD内接于，且AB为直径，过点D作CB的垂线，交CB的延长线于点H，且BD平分 求证：DH是的切线； 若，，求AB、BD的长. 26.本小题12分 阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【课本理解】 如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上. 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简. 如图2，，若，求的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______ 如图3，，求证： 【深入理解】 如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是AB边的中点，Q是BC边上的一个动点，将沿PO所在直线翻折得到，连接DM，则DM的长度的最小值为______. 如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点.若点，，当最大时，点N的坐标为______. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的半径是6，点P到圆心O的距离是5，， 点P与的位置关系是点P在内． 故选： 直接根据点与圆的位置关系解答即可． 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：变形为：， 配方得：， 即； 故选： 根据配方法的步骤进行计算即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：，， ， 成绩更稳定的是乙， 故选： 根据方差的意义解答． 本题考查的是方差的意义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 即， ， 或， 所以， 故选： 利用题意列方程，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想 5.【答案】C  【解析】解：设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，该地农村卫生厕所原数量为1，由题意得： ， 故选： 设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，该地农村卫生厕所原数量为1，根据题意可得等量关系：原数量增长率，根据等量关系列出方程即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 6.【答案】B  【解析】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选： 根据三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义判断即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理、等弧的定义，熟记相关的概念、定理、定义是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：方程的两个根为m、n， ，， ， 故选： 由一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可得，，再整体代入计算即可． 本题主要考查一元二次方程根的定义，根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：扇形OAB的半径为1，， ， 阴影部分的面积 故选： 根据阴影部分的面积的面积+半圆的面积-扇形AOB的面积计算即可． 本题考查了扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：正六边形ABCDEF内接于，的半径为4， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形， 正多边形的半径即为正三角形的边长， 正三角形的边长为4， 正三角形的高为， 该正六边形的面积为 故选： 由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题． 此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形、勾股定理及垂径定理等知识． 10.【答案】D  【解析】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以AB为直径的半圆内， 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是 故选： 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11.【答案】，  【解析】解；， 两边直接开平方得： ， ，， 故答案为：， 利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可． 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 12.【答案】1  【解析】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， 故答案为： 根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：此扇形的弧长为 故答案为： 直接利用弧长公式计算可得． 本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式 14.【答案】60  【解析】解：四边形ABCD内接于， ， ， ， 故答案为： 根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义计算． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15.【答案】4  【解析】解：由题知， 设圆锥底面半径为r cm， 则， 解得， 所以圆锥底面半径为 故答案为： 根据圆锥的侧面积公式即可解决问题． 本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键． 16.【答案】2或4  【解析】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即、n为正整数， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或 先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键． 17.【答案】，  ，  【解析】解：， ， ， ， ，； ， ， ， 或， ， 先移项，再把x的系数化为1，利用直接开方法求解即可； 先移项，再利用因式分解法求解即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键． 18.【答案】证明：关于x的一元二次方程， ， ， ， 该方程总有两个实数根  或  【解析】证明：关于x的一元二次方程， ， ， ， 该方程总有两个实数根； 解：方程的一个根是另一个根的3倍， 设方程的一个根为x，则另一个根为3x， 根据根与系数的关系得：，， ， 或 利用一元二次方程的根的判别式即可求解； 利用根与系数的关系建立关于k的方程即可求解． 此题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于k的方程解决问题． 19.【答案】经过秒或秒，M、N两点之间的距离是  【解析】解：秒， 设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm， 则，， 如图，过点N作于点E，则四边形ABNE是矩形， ，， ， 根据题意得：， 即， 解得：，， 答：经过秒或秒，M、N两点之间的距离是 设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm，则，，过点N作于点E，则四边形ABNE是矩形，得，，则，然后根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的性质等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】   【解析】解：先作的平分线BO，交AC于点O，再以O为圆心，OC长为半径画圆，即为所求； 作于点D，如上图所示， ，，， ， ， ， 解得， 故答案为： 根据角平分线的性质和圆的特点，画出相应的图形即可； 根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法即可求得的半径长． 本题考查勾股定理、作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 21.【答案】    【解析】解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有1种， 小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是 故答案为： 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中至少遇到1次红灯的结果有7种， 小明通过这3个十字路口，至少遇到1次红灯的概率为 由题意知，共有2种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有1种，利用概率公式可得答案． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及至少遇到1次红灯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】该公司营销人员该月销售量的平均数为360件    件  【解析】解： 件， 答：该公司营销人员该月销售量的平均数为360件； 将这组数据按大小顺序排列后，其中位数为350件； 出现了7次，次数最多， 众数是300件． 故答案为：350，300； 制定月销售量指标时，要能使大部分员工达标，应以众数为参考依据，将每位营销人员的月销售量定为300件． 运用平均数的求法计算该公司营销人员该月销售量的平均数即可； 结合众数的定义，即在一组数据中出现次数最多的即是众数，中位数是将一组数据按大小排列后，最中间的1个或两个的平均数，求出即可； 结合实际，应以众数为参考依据，分析得出合理的答案． 此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型． 23.【答案】相等，理由如下： 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ，   25  【解析】解：相等，理由如下： 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ， ； ，， ， 故答案为： 由圆周角定理推出，得到BC垂直平分AD，推出，得到，由圆周角定理推出，因此，即可证明； 由三角形的外角性质得到，由圆周角定理得到 本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握圆周角定理． 24.【答案】  元或80元  【解析】解：若设该服装每件售价为x元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件． 故答案为：； 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：这种服装每件售价是70元或80元． 利用平均每天的销售量，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量； 利用总利润=每件的销售利润平均每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25.【答案】连接OD，则， ， 平分， ， ， ， 交CB的延长线于点H， ， ， 是的半径，且， 是的切线．  、BD的长分别是20、  【解析】证明：连接OD，则， ， 平分， ， ， ， 交CB的延长线于点H， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 解：作于点E， ，， ， ， 四边形ODHE是矩形， ， ， ，， ， 、BD的长分别是20、 连接OD，由，，推导出，则，由交CB的延长线于点H，得，则，即可证明DH是的切线． 作于点E，由，，得，可证明四边形ODHE是矩形，则，求得，所以，，则 此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 26.【答案】证明：取AB的中点O，连接CO，如图， ，， ， ，B，C三点在以AB的中点为圆心，为半径圆上  32  证明：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交于点E，连接BE，如图， ， 点C、D必在上， ， 为圆的直径， ， ，       【解析】证明：取AB的中点O，连接CO，如图， ，， ， ，B，C三点在以AB的中点为圆心，为半径圆上； 解：如图2，以点A为圆心，AB为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， 故答案为：32； 证明：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交于点E，连接BE，如图， ， 点C、D必在上， ， 为圆的直径， ， ， 解：将沿PO所在直线翻折得到， ≌， ， 点M在以P为圆心，为半径的圆上运动， 以P为圆心，为半径作圆P，如图， 则点P，M，D在一条直线上时，DM的长度取得最小值， 连接PD，过点P作，交DA的延长线于点E， 四边形ABCD为平行四边形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 的长度的最小值为 故答案为：； 解：由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接CN，过点C作于点E，连接CA，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形NOEC为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为 故答案为： 取AB的中点O，连接CO，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； 以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； 以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交于点E，连接BE，利用直径所对的圆周角为直角的性质解答即可； 利用折叠的性质得到点M在以P为圆心，为半径的圆上运动，以P为圆心，为半径作圆P，则点P，M，D在一条直线上时，DM的长度取得最小值，连接PD，过点P作，交DA的延长线于点E，利用平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可； 由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，点的坐标的特征，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $