精品解析： 江苏省镇江市丹阳市云阳学校2024-2025学年九年级上学期数学期中测试卷

2024-2025学年江苏省云阳学校九上数学期中测试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. x+2y＝1 B. x2＝1 C. x2+＝8 D. x(x+3)＝x2﹣1 2. 一组数据3、-2、0、1、4的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. -2 D. 4 3. 若解关于x的方程时产生增根，那么常数m的值为( ) A. 4 B. 3 C. D. 4. 如图，在▱ABCD中，∠C=130°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列代数式中，是分式的是（ ） A B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是(　　) A. 平行四边形对角线相等 B. 直角三角形两锐角互补 C. 不等式﹣2x﹣1＜0的解是x＜﹣ D. 多边形的外角和为360° 8. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（　　） A 20° B. 30° C. 40° D. 50° 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一次函数图象与x轴的交点坐标为_______． 10. 在五边形中，若，则______. 11. 写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. 13. 如图，在▱ABCD中，∠A＝72°，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝_____°． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程：x2－ 4x= 1． 15. 如图所示，顶点在的网格中的格点上， 画出绕点A逆时针旋转得到的； 画出绕点A顺时针旋转得到的 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 17. 中国新版高铁“复兴号”率先在北京南站和上海虹桥站双向首发“复兴号”高铁从某车站出发，在行驶过程中速度（千米/分钟）与时间（分钟）的函数关系如图所示. （1）当时，求关于的函数表达式， （2）求点的坐标. （3）求高铁在时间段行驶的路程. 18 计算：（1）；（2）；（3） B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知数据，－7，， ，－2017，其中出现无理数的频率是________________. 20. 如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝___度． 21. 在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______． 22. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 则点B的坐标为_______． 23. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长； （2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例； （3）如图2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由． 25. 请用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 26. 我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的卡片张、卡片张、卡片张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释．请用卡片张、卡片张、卡片张拼成一个长方形，画图并完成多项式的因式分解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省云阳学校九上数学期中测试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. x+2y＝1 B. x2＝1 C. x2+＝8 D. x(x+3)＝x2﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A. x+2y＝1 ，是二元一次方程，故本选项不符合题意； B. x2＝1，是一元二次方程，故本选项符合题意； C. x2+＝8，是分式方程，故本选项不符合题意； D. x(x+3)＝x2﹣1是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 2. 一组数据3、-2、0、1、4的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. -2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将这组数据从小到大重新排列后为-2、 0、1、3、4；最中间的那个数1即中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列后为-2、 0、1、3、4；最中间的那个数1即中位数． 故选B 【点睛】本题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 3. 若解关于x的方程时产生增根，那么常数m的值为( ) A. 4 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、增根的定义，先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出的值，然后将其代入整式方程即可求的m． 【详解】解：方程两边都乘以，得： ， ， ∵方程有增根， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，在▱ABCD中，∠C=130°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD中，∠C=130°，可求得∠ABC的度数，又由BE平分∠ABC，即可求得∠CBE的度数，然后由平行线的性质，求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠C=180°，∠AEB=∠CBE， ∵∠C=130°， ∴∠ABC=180°-∠C=50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABC=25°， ∴∠AEB=∠CBE=25°． 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握平行四边形邻角互补的性质，难度一般． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、原式不能合并，错误； B．原式合并得到结果，即可做出判断； C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断 【详解】解：A、原式不能合并，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、它的分母中含有字母，是分式，故本选项正确． B、它的分母不中含有字母，不是分式，故本选项错误． C、它的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误． D、它的分母中不含有字母，不是分式，故本选项错误． 故选：A． 点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 7. 下列命题是真命题的是(　　) A 平行四边形对角线相等 B. 直角三角形两锐角互补 C. 不等式﹣2x﹣1＜0的解是x＜﹣ D. 多边形的外角和为360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、直角三角形的性质、一元一次不等式的解法、多边形的外角和定理判断即可． 【详解】平行四边形对角线不一定相等，A是假命题； 直角三角形两锐角互余，B是假命题； 不等式-2x-1＜0的解是x＞-，C是假命题； 多边形的外角和为360°，D是真命题； 故选D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=70°， ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=70°， ∴∠OED=90°-70°=20°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一次函数的图象与x轴的交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据x轴上点的坐标特点是纵坐标为0解答即可． 【详解】解：令，得； 所以，图象与x轴交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标，关键是掌握两个特殊点（与坐标轴的交点）的求法． 10. 在五边形中，若，则______. 【答案】100 【解析】 【分析】根据五边形内角和即可求解. 【详解】∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， ∴∠E=540°-（）=540°-440°=100°， 故填100. 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式. 11. 写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】面积相等的三角形全等 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，据此解答即可求解，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等， 故答案为：面积相等的三角形全等． 12. 如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. 【答案】1或11 【解析】 【分析】根据题意求得AD的值，再利用平行四边形性质分类讨论，即可解决问题. 【详解】∵B（-3，0），C（9，0）， ∴BC=12， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE=6， ∵AD∥BC， ∴AD=5， ∴当PE=5时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况： 当点P在点E左边时，PB=BE-PE=6-5=1； ②当点P 在点E右边时，PB=BE+PE=6+5=11， 综上所述，当PB的长为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，注意分类讨论思想的运用. 13. 如图，在▱ABCD中，∠A＝72°，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝_____°． 【答案】36 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，得出BC＝BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1＝∠C1，由旋转角∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1， ∴BC＝BC1， ∴∠BCC1＝∠C1， ∵∠A＝72°， ∴∠DCB＝∠C1＝72°， ∴∠BCC1＝∠C1， ∴∠CBC1＝180°﹣2×72°＝36°， ∴∠ABA1＝36°， 故答案为36． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程：x2－ 4x= 1． 【答案】x1=2+，x2=2- 【解析】 【详解】试题分析：方程两边都加上一次项系数一半的平方，进行配方，两边直接开平方即可求得方程的解． 试题解析：x2-4x=1 x2-4x+4=1+4 （x-2）2=5 x-2= 即：x1=2+，x2=2- 考点：解一元二次方程---配方法． 15. 如图所示，的顶点在的网格中的格点上， 画出绕点A逆时针旋转得到的； 画出绕点A顺时针旋转得到的 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析． 【解析】 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、得到； 利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、得到． 【详解】解：如图，为所作； 如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图——旋转变换．根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD 【解析】 【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可； （2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等； （3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可． 【详解】(1)证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABF和△ADF中, ∴△ABF≌△ADF(SAS)， ∴∠AFB=∠AFD， ∵∠CFE=∠AFB， ∴∠AFD=∠CFE， ∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE； (2)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=CD， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形； (3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， ∵CF=CF， ∴△BCF≌△DCF， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°， ∴∠BCD=∠EFD. 17. 中国新版高铁“复兴号”率先在北京南站和上海虹桥站双向首发“复兴号”高铁从某车站出发，在行驶过程中速度（千米/分钟）与时间（分钟）的函数关系如图所示. （1）当时，求关于函数表达式， （2）求点的坐标. （3）求高铁在时间段行驶的路程. 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）高铁在时段共行驶了千米． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得OA段对应的函数解析式； （2）根据函数图象中的数据可以求得AC段对应的函数解析式，然后将x=15代入，求得相应的y值，即可得到点C的坐标； （3）根据（2）点C的坐标和图象中的数据可以求得高铁在CD时段共行驶了多少千米． 【详解】（1）当时， 设关于的函数表达式是， ，得， 即当，关于的函数表达式是． （2）设段对应的函数解析式为， 得 即段对应的函数表达式为． 当时，， 即点的坐标为． （3）（千米）， 答：高铁在时段共行驶了千米． 【点睛】考查了一次函数的应用，正确读取图象的信息并用待定系数求解析式是解题的关键. 18. 计算：（1）；（2）；（3） 【答案】（1）1；（2）；（3）5. 【解析】 【分析】（1）先根据乘方的意义、负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、绝对值的意义、二次根式的性质逐项化简，再进一步计算即可； （2）化为最简二次根式，然后去括号合并同类二次根式即可； （3）先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并化简即可. 【详解】解：原式； 原式； 原式. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知数据，－7，， ，－2017，其中出现无理数的频率是________________. 【答案】0.6 【解析】 【分析】用无理数的个数除以总个数即可. 【详解】∵数据，－7，， ，－2017中无理数有， ，共3个， ∴出现无理数的频率是3÷5=0.6. 故答案为0.6. 【点睛】本题考查了无理数的定义，以及频率的计算，熟练运用频率公式计算是解题的关键．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷总数 20. 如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝___度． 【答案】25． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：AD∥BC，推出∠AEB＝∠EBC，求出∠EBC即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝50°，AD∥BC， 由作图可知，BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝25°， ∴∠AEB＝∠EBC＝25°， 故答案为25． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查轴对称最短路线问题；菱形的性质，勾股定理，，熟知两点之间线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，作点和关于对称．则连接交于点，即为所求作的点．的最小值即为的长． 【详解】解：作点和关于对称．则连接交于点， 四边形是菱形，，为中点， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 22. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 则点B的坐标为_______． 【答案】（﹣1，﹣1） 【解析】 【详解】试题解析：点B的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1， 所以点B的坐标是（-1，-1）． 【点睛】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 23. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 类比等腰三角形定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长； （2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例； （3）如图2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：，，， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算BC的长度, （2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断, （3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论. 【详解】（1）∵BD⊥CD ∴∠BDC=90°，BC>CD ∵在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB， ∴AB=AD=CD=3, ∵BD=4， ∴BC=, （2）正确． 如图所示： ∵AB=AD ∴ΔABD是等腰三角形． ∵AC⊥BD． ∴AC垂直平分BD． ∴BC=CD ∴CD =AB=AD=BC ∴四边形 ABCD是菱形． （3）存在四种情况， 如图2，四边形ABPC是“准等边四边形”,过C作于F，则, ∵EP是AB的垂直平分线， ∴ , ∴四边形AEFC矩形， 在中， , ∴ , ∵ ∴ ∴ 如图4，四边形ABPC是“准等边四边形”, ∵ , ∴是等边三角形， ∴ ; 如图5，四边形ABPC是“准等边四边形”, ∵ ,PE是AB的垂直平分线， ∴ E是AB的中点， ∴ , ∴ ∴ 如图6，四边形ABPC是“准等边四边形”,过P作于F，连接AP， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题. 25. 请用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】解：（1） ， x=±2 ∴，． （2） ， ∴x+3=0或x-1=0 ∴，． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的应用． 26. 我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的卡片张、卡片张、卡片张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释．请用卡片张、卡片张、卡片张拼成一个长方形，画图并完成多项式的因式分解． 【答案】见详解， 【解析】 【分析】先画出图形，再根据图形列式分解即可. 【详解】解：如图， 【点睛】此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$