11.3 实际问题与一元一次方程 （方案选择问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册

11.3 实际问题与一元一次方程 （方案选择问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册 一、单选题 1．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推出不同的优惠方案在甲店累计购物超过元后，超出元的部分打折；在乙店累计购物超过元后，超出元的部分打折，则顾客到两店购物花费一样时为（    ） A．累计购物不超过元 B．累计购物超过元不超过元 C．累计购物超过元 D．累计购物不超过元或刚好为元 3．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为 A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡 4．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（    ）    A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 5．某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 6．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： 如果不超过元，则不予优惠； 如果超过元，但不超过元，则按购物总额给予折优惠； 如果超过元，则其中元给予折优惠，超过元的部分给予折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款元和元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．（请用含的代数式表示） 8．在甲、乙两家复印店打印文件，收费标准如下表所示： 甲复印店 乙复印店 不超过20张（包括20张） 0.5元/张 0.4元/张 超过20张的部分 0.35元/张 打印 张，两家复印店收费相同． 9．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 10．某公园门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了 元． 11．在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 三、解答题 12．某校为奖励“跨学科项目学习活动中的优胜小组”，到文具店购买同一种笔作为奖品．询问得知这种笔的标价为每支2元，经协商，文具店提供两种优惠购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案． 方案一：每支笔优惠后的价格为元； 方案二：购买这种笔的数量不超过50支时按标价销售，超过50支时则超过的部分按标价的八折销售． 设某校购买这种笔的数量为支． (1)按方案一购买所需的费用为___________元，按方案二购买所需的费用为___________元（用含x的代数式表示）； (2)购买多少支这种笔时，按方案一和方案二购买所需费用一样？ (3)通过计算说明购买75支这种笔时，选择哪种购买方案更省钱？ 13．某商场销售某种夹克和裤子，每件夹克标价为100元，每条裤子标价为60元，为减少库存量，于是该商场老板开展了促销活动，活动期间，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一件夹克送一条裤子； 方案二：夹克和裤子均按标价的出售． 现有顾客要到该商场购买夹克件，裤子x条． (1)请用含x的代数式分别表示按方案一、方案二购买的费用？ (2)当购买裤子多少条时，两种方案付款一样多？ 14．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 15．为增强学生生态保护意识，提升科学探究素养，某学校组织六年级学生深入湿地自然保护区开展研学活动，如果租用座的客车，则有人没有座位；如果租用同样数量的座的客车，则除多出辆外，其余客车恰好坐满，已知租用座的客车日租金为每辆元，租用座的客车日租金为每辆元，租用哪种客车更合算？租几辆车？ 16．我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 17．企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．D 【分析】设顾客累计购物x元时，两店花费一样多，分x＞100及x≤50两种情况考虑，当x≤50时，显然两店花费一样多；当x＞100时，根据优惠方案列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设顾客累计购物x元时，两店花费一样多， 当x＞100时，有 100+（x100）=50+（x50）， 解得：x=150； 当x≤50时，两店花费均为x元． 答：累计购物不超过50元或刚好为150元时，两店花费一样多． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．C 【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案． 【详解】解：设一年内在便利店购买咖啡x次， 购买A类会员年卡，消费费用为40＋2×(0.9×10)x＝(40＋18x)元； 购买B类会员年卡，消费费用为80＋2×(0.8×10)x＝(80＋16x)元； 购买C类会员年卡，消费费用为130＋(10＋5)x＝(130＋15x)元； 把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元， 把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元， 则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出函数式解题的关键． 4．D 【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得， 解方程组得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 5．D 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款： 360×0.8=288元 395×0.8=316元 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 6．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 7．或 【分析】根据题意知付款元，其实际标价为元或元，付款元，其实际标价为元，分两种情况分别计算出合并购买总标价元或元的商品应付款即可． 【详解】解：由题意知付款元，实际标价为或元， 付款元，实际标价为， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是列代数式，寻找题中数量关系是解题关键． 8．60 【分析】设打印数量为x张时，两家店收费一样，根据表格列出方程即可求出结论. 【详解】解：设打印数量为x张时，两家店收费一样，由题意可知x＞20． 依题意得：0.5×20+0.35（x﹣20）=0.4x 解得x=60． 故答案为：60． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 9． 800 B 【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可； （2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案． 【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单， 由题意知，， 解得，， 故答案为：800． （2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元； 在B图文社印制需要元； ∵， ∴B图文社更省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解． 10．260 【分析】设花费较少的一家花了x元，由一家比另一家少花40元（由每个家庭出外游玩至少有一个成人可得出花费较多的家庭购买的是团体票），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（结论正好为1个成人4个儿童购票钱数）． 【详解】设花费较少的一家花了x元， 依题意，得：x+40＝60×5， 解得：x＝260． 答：花费较少的一家花了260元． 故答案为：260． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 11．128 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 12．(1) (2)购买100支这种笔时，方案一和方案二所需费用一样 (3)购买75支这种笔时，方案一更省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值； （1）根据题意分别列出代数式，即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）分别求得当时，两种方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：按方案一购买所需的费用为元， 按方案二购买所需的费用为元 故答案为：． （2）解：当按方案一购买和按方案二购买所需费用一样时． ． 解方程得：． 答：购买100支这种笔时，方案一和方案二所需费用一样． （3）购买75支这种笔时，方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为， 所以购买75支这种笔时，方案一更省钱． 13．(1)方案一购买费用为：元；方案二购买费用为：元 (2)购买裤子100条时，两种方案付款一样多 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，正确地列代数式，并根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别列式并化简即可； （2）当时，即两种方案付款一样多，求解即可． 【详解】（1）解：方案一购买费用为： 元； 方案一购买费用为： 元； （2）解：令， 解得：， 答：购买裤子件时，两种方案付款一样多． 14．(1)480人 (2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可； （2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得： ， 解得：， 答：七年级师生的总人数为480人． （2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为非负整数， ∴或或， 满足条件的所有租车方案有： 方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆； 方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆； 方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆； 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， 方案三费用：（元）， ∵， ∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱． 15．租用座的客车更合算，租辆车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——方案选择问题，设租用座的客车辆，根据题意得，然后解方程并检验，然后设计可行的租车方案，通过计算并比较不同方案的费用，从而找出最合算的方案．读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设租用座的客车辆， 根据题意得，， 解得：， ∴共有学生， ∴租用座的客车辆，租金为（元）， 租用座的客车辆，租金为（元）， 租用座的客车辆，租用座的客车辆，租金为（元）， 租用座的客车辆，租用座的客车辆，租金为（元）， 租用座的客车辆，租用座的客车辆，租金为（元）， 综上可知：租用座的客车更合算，租辆车． 16．(1)； (2)10排 (3)416元 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用及费用计算，解题的关键是根据两种方案总人数相等的等量关系列出方程，求出排数后再计算总费用． （1）根据"每排人数 排数 剩余人数"和"每排人数排数缺少人数”列出总人数的代数式． （2）利用总人数相等建立一元一次方程，求解得出排数． （3）将排数代入总人数表达式求出总人数，再乘以道具单价得到总费用． 【详解】（1）方案一：每排站 10 人，共x 排，多出 4 人，总人数为 人． 方案二：每排站 11人，共x排，最后一排缺6人，总人数为人． 故答案为：； （2）解：∵两种方案的总人数相等， ∴可列方程： 移项得： 化简得： 答：两种站法的排数是10排． （3）解：由（2）可知排数，代入方案一的总人数表达式： 总人数为（人） 每名学生需要4元道具，总费用为：（元） 答：七年级 1 班和 2 班一共需要花费 416 元购买道具． 17．(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $