第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版2024七年级上册

第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 3．下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 4．如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等，若分别表示其中的一个数，则的值是（　　） a 1 c b A．0 B． C． D． 5．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（   ） A． B． C． D．5 6．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 7．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 8．如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（    ） A． B． C． D． 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 10．数轴上点和点表示的数分别是和2，点到，两点的距离之和为10，则点表示的数是（   ） A． B．或3 C． D．或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则的值为 ． 12．一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 13．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 14．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）．     （1）图（1）中的值为 ； （2）图（2）幻方中9个数的和为 ． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1) (2) 16．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 17．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 18．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 19．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 20．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 21．如图，某小区居民为了防止楼上活动幅度较大，影响楼下邻居休息，用图1的泡沫环保垫对家里客厅进行铺设． 图1是拼接单元，按图2的拼接方式拼接． (1)若3个图1的拼接单元拼接后，总长度是________； (2)个图1的拼接单元拼接后，总长度是多少？（请用含的代数式表示） (3)若拼接后总长度为，求所用图1拼接单元的个数． 22．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 23．【概念学习】 1．阅读绝对值拓展材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 2．定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点A，点B表示的数分别是和6； ①已知如图，两点的距离为 ，数轴上任意一点C表示的数为x，则两点的距离可以表示为 ． ②若点D，E表示的数分别是，3，则这两个点中是的“2值点”的点是 ； 【深入思考】 （2）在数轴上，点F表示的数为，点G表示的数为10，从某时刻开始，若点P从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点P的速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当时，求出t的值； 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得． 故选：C． 2．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 3．下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：，变形为，故①错误； ， 变形为；故②正确； ，变形为；故③错误； ，变形为，故④正确． 故选C． 4．如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等，若分别表示其中的一个数，则的值是（　　） a 1 c b A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵第二列上各数和为：， ∴第三行第三列的数为：， 第一行最后数为：， ∴，即； ∴，即； ，即， ∴， 故选：A． 5．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：∵方程 ， ∴ ，解得：， 将代入方程 得： ，即， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选A． 6．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【详解】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 故选：A． 7．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴． ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）． 15的约数为． 令，则． 代入值求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）． ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9． 其和为． 故选：D． 8．如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设通道的宽为，， 由题意得：， 解得：， 答：通道的宽是． 故选B． 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【答案】D 【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为， ∵对折后比竿短5尺， ∴，正确； B：设绳索长为y尺， 则，即， 代入A得， 可得，正确； C：设绳索长为y尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺， ∴， ∴，正确； D：解方程得，故竿长应为15尺，错误； 故选：D． 10．数轴上点和点表示的数分别是和2，点到，两点的距离之和为10，则点表示的数是（   ） A． B．或3 C． D．或4 【答案】D 【详解】解：∵数轴上点和点表示的数分别是和2， ∴之间的距离为， ∴点不可能在之间， ①当点在点左边，设表示的数为， ∴，， ∴， 解得，； ②当点在点右边，设表示的数为， ∴，， ∴， 解得，； 综上所述，点表示的数是或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 12．一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 【答案】42 【详解】解：设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 则农妇篮子里原来有个鸡蛋． 故答案为：． 13．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 14．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）．     （1）图（1）中的值为 ； （2）图（2）幻方中9个数的和为 ． 【答案】 5 54 【详解】解：（1）根据第一横行和左下右上对角线相等得， ， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴右下角的数是：， ∴中间的数是：， ∴幻方中9个数的和为：． 故答案为：54． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （2）解：， ，得：③， ，得：，， 将代入②得：，得：， 所以． 16．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 17．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 18．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【详解】（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， ． （2）解：， 由得：， 则， ∵ ∴ 则， ． 19．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 20．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为60米，20米； （2）解：大长方形的长为米，宽为80米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 21．如图，某小区居民为了防止楼上活动幅度较大，影响楼下邻居休息，用图1的泡沫环保垫对家里客厅进行铺设． 图1是拼接单元，按图2的拼接方式拼接． (1)若3个图1的拼接单元拼接后，总长度是________； (2)个图1的拼接单元拼接后，总长度是多少？（请用含的代数式表示） (3)若拼接后总长度为，求所用图1拼接单元的个数． 【详解】（1）解：1个拼接单元的长度是， 2个拼接单元的长度是， 3个拼接单元的长度是， 故答案为：130； （2）解：由（1）可知，个图1的拼接单元拼接后，总长度是 （3）解：由题意，得 ， 解得， 所以用图1拼接单元的个数为9个． 22．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 23．【概念学习】 1．阅读绝对值拓展材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 2．定义：点A，B，M为数轴上的任意三点（点M不与A，B重合），若点M到点A的距离是点M到点B的距离的x倍，则称点M是的“x值点”，记作：．例如，点M表示的数为1，点A表示的数为，点B表示的数为3，此时，，，则点M是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点A，点B表示的数分别是和6； ①已知如图，两点的距离为 ，数轴上任意一点C表示的数为x，则两点的距离可以表示为 ． ②若点D，E表示的数分别是，3，则这两个点中是的“2值点”的点是 ； 【深入思考】 （2）在数轴上，点F表示的数为，点G表示的数为10，从某时刻开始，若点P从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点P的速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当时，求出t的值； 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6， ∴两点的距离为， ∵数轴上任意一点C表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：9，； ②∵点，表示的数分别是，3， ∴，，，故点不是的“2值点”， ，，，故点是的“2值点”； 故答案为：； （2）由题意，，， ∵， ∴， ∴， 即或， 解得：或． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $