精品解析：天津市五区重点校2026届高三上学期期中联考数学试题

2025～2026学年度第一学期期中重点校联考 高三数学 命题学校：杨村一中 宝坻一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集与补集的概念计算即可. 【详解】易知，，所以. 故选：B 2. 已知，则“”是“”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果. 【详解】已知 充分性： 若因为，所以,所以,所以； 必要性： 若，则当时，，所以必要性不成立； 因此“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型. 3. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【详解】当时，，所以，由图可知A错误； 由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误； 当时，，由图可知D错误； 由奇函数定义可知函数为奇函数，当时， 当时，，选项C均符合图像特征，故C正确； 故选：C. 4. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出需要比较大小的数，找中间变量结合指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为所以 由得，故， 构造，又，故单调递增， 则有，显然， 所以 故选：A. 6. 已知，，若成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】由，得， 即为偶函数， 当时，，且， 即在单调递增，在单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 7. 等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得. 【详解】因等差数列中，，设公差为，则，， 因各项都为正数，所以，， 得，当，所以. . 当且仅当，符合各项为正数. 故选：D. 8. 已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. 9. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据等差、等比数列前n项求和公式依次求出每组的最后一个数，归纳出，结合即可求解. 【详解】由题记第一组数为:1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，； 第二组数为:1，2，个数为2，和为， 最后一个数为第项，； 第三组数为:1，2，4，个数为3，和为， 最后一个数为第项，； 第四组数为:1，2，4，8，个数为4，和为， 最后一个数为第项，； ； 第组数为:1，2，4，8，，，个数为，和为， 最后一个数为第项， ， 因式所以 由可知，从13开始计数， 因为 ， ， 第9组的数为:1,2,4,8,16,32,64,128,256， 即 所以要满足，则，， 故n的个数为个. 故选：B. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可. 【详解】， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 11. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 12. 等比数列中，，则 ___________ 【答案】 【解析】 【详解】等比数列中，由可得．等比数列，构成以 为首项， 为公比的等比数列，所以． 【点睛】若数列为等比数列，则构成等比数列． 13. 已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有______.（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断①，由区间求出函数值域判断②，由函数图象解不等式得到解集判断③，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，①正确； 时，，∴，②错误； ，即，则， 即，③正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④错误. 故答案为：①③ 14. 在梯形中，，，，与交于点，且，则______，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，求得的值，得到，在中，利用余弦定理，求得，进而得到得到大小，以为坐标原点，得到和，求得，再由，得到，结合向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，且，所以， 由，且，可得，可得，所以， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为且，可得点到轴和轴的距离分别为，即， 又因为，且，所以， 因为且，可得，可得， 又因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得，， 可得， 又由，则， 设向量和的夹角为，则， 当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 故答案为：；. 15. 已知函数（），其图象与直线有两个交点，若关于的方程有三个不等的实根，且（），则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由与有两个交点，得，再由有三个不等的实根，进而得，由此可得结果. 【详解】由函数（），其图象与直线有两个交点， 所以方程有两个正根，即，令， 所以，当且仅当时等号成立. 要使与有两个交点，则. 又因为有三个不等的实根， 令，则方程，可化为， 由前面的分析可知，当时，有两个不等正实根，， 则，则只需研究和根的个数， 方程的判别式为， 当时，，则的图象有位于轴下方的部分， 保留其位于轴上方的部分， 将位于轴下方的部分作关于轴的翻折，即得的图象， 且当时，， 此时的图象与直线，都至少有2个交点， 故共至少有4个交点，则至少4个根，不合题意； 当时，，恒成立， 所以， 则， 要使得恰有3个根， 只需的图象与，共有3个交点， 因为，所以的图象与有一个交点，与有2个交点， 所以，由，可得， 所以，则， 即，所以， 所以，整理得， 即，，所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以的零点位于区间内，即， 又因为，，所以， 解得. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入①式有. 又因为三角形内角，因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； 【小问3详解】 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 17. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【答案】（1），对称中心为（） （2）最大值为3，最小值为0 （3） 【解析】 【分析】（1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. 【小问1详解】 ， 令（），， 所以对称中心为（）； 【小问2详解】 ， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； 【小问3详解】 ， ， 且， ，， ， ， . 18. 已知等差数列满足，，其中为的前项和，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）数列满足，，数列中第，，，…，，…项构成新的等比数列，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义与求和公式计算基本量可得，利用等差中项的性质及等比数列的定义计算可得； （2）先错位相减法计算，再裂项相消法计算，两者相加即可； （3）设是等比数列，根据条件先计算其通项公式，再计算求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，， ，，，. 设等比数列公比为（其中）， ，或 由于数列为正项等比数列，则，所以 【小问2详解】 设， 则， 两式相减，得 ， 则有， 由于 则 所以 【小问3详解】 设是等比数列，且，， 所以数列首项为3，公比为3，则 则，， 19. 已知函数（）. （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）得到函数后求导数，得到切线斜率，然后由点斜式求得切线方程； （ⅱ）整理不等式得，然后令并求导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求出函数的最小值，然后得到实数的取值范围； （2）由及整理得到，令，构造函数并求导数，由题意得函数在区间上有零点，则函数在上有一个实根，从而得到且有解，建立不等式组解得实数的取值范围，验证后得结论. 【小问1详解】 （ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即 （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以， 【小问2详解】 设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，， 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，， 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为 20. 对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. （1）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； （2）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 【答案】（1），是“数列” （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求出的通项公式，再根据定义判断是否为“数列”； （2）（i）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到或再分类讨论去验证即可得到答案； （ii）发现规律当时，，，因此，再用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，得①，则②， ②－①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 由于，所以是“数列” 【小问2详解】 （ⅰ）设数列的公比为，则. 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即. 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即. 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，. 当，时，，设. ， 又， 所以为递增数列，因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”. 当，时，，则. 因为，所以数列不是“数列”. 综上， （ⅱ），，，，…，，， 当时，，， 所以 ， 记， ， 两式相减得， 化简得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中重点校联考 高三数学 命题学校：杨村一中 宝坻一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 9. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 11. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 12. 等比数列中，，则 ___________ 13. 已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有______.（填序号） 14. 在梯形中，，，，与交于点，且，则______，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为______. 15. 已知函数（），其图象与直线有两个交点，若关于的方程有三个不等的实根，且（），则的值为______. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 18. 已知等差数列满足，，其中为的前项和，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）数列满足，，数列中第，，，…，，…项构成新的等比数列，求. 19. 已知函数（）. （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 20. 对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”. （1）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”； （2）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $