专题18.4 分式的加减（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

本初中数学讲义聚焦“分式的加减”核心知识点，系统梳理分式加减法（同分母、异分母法则及四步运算步骤）和混合运算（先乘方再乘除后加减，括号优先）的原理。以学习支架形式构建知识脉络，衔接分式基本性质与乘除运算，为后续代数综合运算奠定基础。 资料以核心素养为导向，设计“即学即练”“题型分类”（含6大题型及变式）和实际问题（如采购平均单价、行程问题）。通过分层练习培养运算能力与推理意识，结合生活情境引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学语言表达数量关系。课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固提升，弥补知识盲点。

专题18.4 分式的加减 教学目标 1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。 教学重难点 1. 重点 （1） 分式的加减运算与混合运算。 2. 难点 （1）求分式运算中的未知部分； （2）分式的化简求值以及利用化简结果为整式进行求值。 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母 ，分子 。 即 。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 即 ± ＝ 。 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 【即学即练1】 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【即学即练2】 2．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 ，在算 ，最后算 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。 【即学即练1】 3．化简下列各式： （1） （2） （3）． 【即学即练2】 4．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（　　） A． B． C．1 D． 【即学即练3】 5．先化简再求值：（1），其中x是从0，1，2当中选一个合适的值． 【即学即练4】 6．若（）的运算结果为整式，则“●”处的式子可能为（　　） A．m﹣n B．m+n C．mn D．m2﹣n2 【即学即练5】 7．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克（x＞0），乙每次用去y元（y＞0），而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且m≠n）． （1）甲两次所购大米的平均单价是 　　 元/千克； （2）求出乙两次所购大米的总量为多少千克？ （3）比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？ 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【变式3】计算：（1）； （2）． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】【新考向】如图是某同学关于分式的运算过程，其中“”部分不小心被擦掉了，则被擦去的部分是（　　） （） ＝4+x A．x B．x+2 C．x﹣2 D．4﹣x2 【变式1】已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　） A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x 【变式2】试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 　 ． 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中a＝3． 【变式1】先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值． 【变式2】先化简：，再从﹣2，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值． 【变式3】先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 【典例1】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．x﹣y B．x+y C．3x2 D． 【变式1】若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 【变式2】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（　　） A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1 【变式3】若化简•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（　　） A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4 题型06 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）．如果他们同时出发，　 　 先到图书馆． 【变式1】（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 【变式2】【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 第二次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 　 　 元 乙 　 　 千克 30元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由． 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由． 1．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（　　）小时． A． B． C． D． 2．如果，，那么代数式A与B之间的关系是（　　） A．A+B＝0 B．A•B＝0 C．A＝B D．A＝2B 3．已知，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13 4．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（　　） A．不改变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 5．若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 6．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（　　） A． B． C． D． 7．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 8．若常数M，N满足，则M2﹣N2＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 9．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知实数x，y，z满足x+y＝﹣z，xyz＝1，若，则x2+y2+z2＝（　　） A．0 B．1 C．2 D． 11．如图，把R1、R2两个电阻并联起来，则线路AB的电阻R与R1、R2有关系，那么R＝ 　 ． 12．已知，值是　 　 ． 13．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝　 　 ，q＝　 　 ． 14．已知请计算 y2015＝ 　 ．（用含x的代数式表示） 15．阅读下面的材料，并解答问题：分式（x≥0）的最大值是多少？解：2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最大值是 　 　 ． 16．计算： （1）； （2）． 17．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下：这位同学的错误出现在第　②　 步．请你写出这道题的正确解答过程，并从﹣1，1，﹣2三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 18．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食，两次粮食的单价不同，甲每次购100kg，乙每次购粮用去100元．根据题意，解决下列问题： （1）若设两次粮食的价格分别为x元/kg，y元/kg，且x≠y，则甲两次购粮的平均价格M1＝　 　 元/kg，乙两次购粮的平均价格M2＝　 元/kg． （2）若规定：谁两次购粮的平均价格低，则谁的购粮方式合算．你认为甲、乙谁的方案好？ 19．已知． （1）若A﹣B＝3，求代数式C； （2）在（1）的条件下，是否存在x的值使得A+B＝﹣3，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 20．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　 ； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.4 分式的加减 教学目标 1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。 教学重难点 1. 重点 （1） 分式的加减运算与混合运算。 2. 难点 （1）求分式运算中的未知部分； （2）分式的化简求值以及利用化简结果为整式进行求值。 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母 不变 ，分子 相加减 。 即 。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成 同分母 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 即 ± ＝ 。 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 【即学即练1】 1．计算： （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）； （2）8； （3）； （4）． 【即学即练2】 2．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝x+1； （3）原式＝（a﹣1）﹣（a﹣2） ＝a﹣1﹣a+2 ＝1； （4）原式 ． 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 乘方 ，在算 乘除 ，最后算 加减 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。 【即学即练1】 3．化简下列各式： （1） （2） （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式• ； （2）原式 • ； （3）原式• ． 【即学即练2】 4．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解答】解：由题意得：撕坏的一角中“□”为：• • ＝1， 故选：C． 【即学即练3】 5．先化简再求值：（1），其中x是从0，1，2当中选一个合适的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） • • ， ∵x≠1，x≠2， ∴x＝0时，原式． 【即学即练4】 6．若（）的运算结果为整式，则“●”处的式子可能为（　　） A．m﹣n B．m+n C．mn D．m2﹣n2 【答案】C 【解答】解：A．（） • ，不是整式，故本选项不符合题意； B．（） • ，不是整式，故本选项不符合题意； C．（） • ，是整式，故本选项符合题意； D．（） • ，不是整式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【即学即练5】 7．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克（x＞0），乙每次用去y元（y＞0），而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且m≠n）． （1）甲两次所购大米的平均单价是 　　 元/千克； （2）求出乙两次所购大米的总量为多少千克？ （3）比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？ 【答案】（1）． （2）千克． （3）乙所购大米的平均单价较低． 【解答】解：（1）甲两次所购大米的平均单价是元/千克． 故答案为：． （2）千克． 答：乙两次所购大米的总量为千克． （3）乙所购大米的平均单价为元/千克， ， ∵m，n是正数，且m≠n， ∴（m+n）2＞0，m+n＞0， ∴0， ∴0， ∴乙所购大米的平均单价较低． 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣x． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ＝（x﹣y）﹣（2x﹣y） ＝﹣x． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 x+1 ． 【变式3】计算：（1）；（2）． 【答案】（1）2；（2）． 【解答】解：（1）原式 ＝2． （2）原式 ． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）y； （2）． 【解答】解：（1）原式•• y； （2）原式• • • ． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】【新考向】如图是某同学关于分式的运算过程，其中“”部分不小心被擦掉了，则被擦去的部分是（　　） （） ＝4+x A．x B．x+2 C．x﹣2 D．4﹣x2 【答案】B 【解答】解：根据题意得被擦去的部分为2+x． 故选：B． 【变式1】已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　） A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x 【答案】D 【解答】解：∵， ∴， ∴A＝x． 故选：D． 【变式2】试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得， 即， 所以． 故选：B． 【变式3】如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 　　 ． 【答案】． 【解答】解： ． 故答案为：． 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中a＝3． 【答案】，2． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式2． 【变式1】先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值． 【答案】；当a＝﹣1时，原式． 【解答】解： ； ∵a≠﹣2且a≠﹣3， ∴当a＝﹣1时，原式． 【变式2】先化简：，再从﹣2，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值． 【答案】，． 【解答】解：原式 ， ∵a+2≠0，a2﹣2a+1≠0， ∴a≠﹣2，1， ∴a＝5， ∴原式． 【变式3】先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 【答案】；当a＝﹣2时，原式，当a＝﹣1时，原式＝1． 【解答】解 ， ， 解不等式①得a＜2， 解不等式②得a≥﹣3， ∴不等式组解集为﹣3≤a＜2， ∵原分式有意义， ∴a≠﹣3，1，0， ∴当a＝﹣2时，原式，当a＝﹣1时，原式＝1． 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 【典例1】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．x﹣y B．x+y C．3x2 D． 【答案】C 【解答】解：“□”中的式子为x﹣y时， ，不是整式， 故A选项不合题意； “□”中的式子为x+y时， ，不是整式， 故B选项不合题意； “□”中的式子为3x2时， 3x+3y，是整式， 故C选项符合题意； “□”中的式子为时， ，不是整式， 故D选项符合题意． 故选：C． 【变式1】若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 【答案】C 【解答】解：A．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．（）•，是整式，故本选项符合题意； D．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（　　） A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1 【答案】A 【解答】解：设□里的式子为am+b， ∴， 令为整式，则有，即b＝1﹣2a， 令a＝1，则b＝﹣1， ∴□里的式子为＝m﹣1， 故选：A． 【变式3】若化简•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（　　） A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4 【答案】C 【解答】解：A、•（x+1），是分式，故此选项不符合题意； B、•（x+2）3，是分式，故此选项不符合题意； C、•（x+3）4，4是整式，故此选项符合题意； D、•（x+4），是分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型06 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）．如果他们同时出发，　小明　 先到图书馆． 【答案】小明． 【解答】解：∵小明走的是平路，骑车速度是2vkm/h， ∴他到达学校所需的时间是3÷2v， ∵小刚需要走1km上坡路和2km的下坡路，上坡路的骑车速度是vkm/h，下坡路的骑车速度是3vkm/h， ∴小刚到达学校所需的时间1÷v+2÷3v， ∵， ∴小明先到图书馆． 故答案为：小明． 【变式1】（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】（1）说明所得分式的值是增大了； （2）①元/千克；元/千克； ②乙所购饲料的平均单价低． 【解答】解：（1） ， ∵b＞a＞0， ∴b2+b＞0，a﹣b＜0， ∴0， ∴说明所得分式的值是增大了； （2）①甲所购饲料的平均单价是：（元/千克）； 乙所购饲料的平均单价是：（元/千克）； ② ， ∵m，n是正数，且m≠n， ∴0， ∴， ∴乙所购饲料的平均单价低． 【变式2】【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 第二次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 　20　 元 乙 　7.5　 千克 30元 （1）完成上表； （2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由． 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由． 【答案】【生活观察】 （1）20；7.5； （2）甲两次买菜的均价为5（元/千克），乙两次买菜的均价为4.8（元/千克）； 【数学思考】 ；理由见解答过程； 【知识迁移】 t1＜t2，理由解解答过程． 【解答】解：【生活观察】 （1）第二次甲买水果费用为：4×5＝20（元），乙买水果质量为：30÷4＝7.5（千克）， 故答案为：20；7.5； （2）甲两次买水果的均价为：（30+20）÷（5+5）＝5（元/千克）， 乙两次买水果的均价为：（30+30）÷（5+7.5）＝4.8（元/千克）， ∴甲两次买菜的均价为5（元/千克），乙两次买菜的均价为4.8（元/千克）； 【数学思考】 ， ， ∴0， ∴； 【知识迁移】 t1， t2， ∴t1﹣t2， ∵0＜p＜v， ∴t1﹣t2＜0， ∴t1＜t2． 1．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（　　）小时． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、B两地的距离：60t千米， 从A到B的速度是：（60+v）千米/小时，则 A城到B城需要的时间是：小时． 故选：B． 2．如果，，那么代数式A与B之间的关系是（　　） A．A+B＝0 B．A•B＝0 C．A＝B D．A＝2B 【答案】C 【解答】解：B ， 则A＝B． 故选：C． 3．已知，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【解答】解：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴4A﹣B＝4×2﹣1＝7， ∴A、B为常数，则4A﹣B的值为7． 故选：B． 4．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（　　） A．不改变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【解答】解：x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，此时蔗糖水的浓度值为， 所以蔗糖水浓度的值不改变． 故选：A． 5．若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 【答案】D 【解答】解：∵ ， ∴化简结果为， 要使运算结果不是分式，即结果为整式，那么分母a必须被约掉，所以M必须含有因子a， A、当M＝ab时，，是整式，不符合题意； B、当M＝a2时，，是整式，不符合题意； C、当M＝a2﹣ab＝a（a﹣b）时，，是整式，不符合题意； D、当时，，是分式，符合题意． 故选：D． 6．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为s平方厘米． 倒立放置时，空余部分的体积为bs立方厘米， 正立放置时，有墨水部分的体积是as立方厘米， 因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的． 故选：A． 7．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵， ∴b﹣a＝3ab， ∴a﹣b＝﹣3ab， ∴， 故选：B． 8．若常数M，N满足，则M2﹣N2＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：∵ ， ∴， ①+②得：M＝1， 把M＝1代入①得N＝2， ∴M2﹣N2＝12﹣22＝1﹣4＝﹣3， 故选：A． 9．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：原式 ， 则A+B+C＝1，3A+2B+C＝0，2A＝2， 解得：A＝1，B＝﹣3，C＝3， 则A+B+2C＝1﹣3+6＝4， 故选：D． 10．已知实数x，y，z满足x+y＝﹣z，xyz＝1，若，则x2+y2+z2＝（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵x+y＝﹣z， ∴x+y+z＝0， ∵， ∴， ， ∵xyz＝1， ∴xy+yz+xz＝﹣1， ∵（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）， ∴x2+y2+z2 ＝（x+y+z）2﹣2（xy+yz+xz） ＝0﹣2×（﹣1） ＝2， 故选：C． 11．如图，把R1、R2两个电阻并联起来，则线路AB的电阻R与R1、R2有关系，那么R＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，， 解得：． 故答案为：． 12．已知，值是　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵x3， ∴（x）2＝9， ∴x22＝9， ∴x27， ∴ ＝x22 ＝7﹣2 ＝5． 故答案为：5． 13．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝　1　 ，q＝　3　 ． 【答案】1，3． 【解答】解：mx2﹣3x+1＝（x﹣1）（2x﹣1）＝2x2﹣3x+1，故m＝2， 设， 通分得分子为：p（2x﹣1）+q（x﹣1）＝（2p+q）x+（﹣p﹣q）， 得方程组：， 解得 p＝1，q＝3； 故答案为：1，3． 14．已知请计算 y2015＝　　 ．（用含x的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：y2； y32﹣x； y4， 则y的值3个一次循环，则y2015＝y2． 故答案为：． 15．阅读下面的材料，并解答问题：分式（x≥0）的最大值是多少？解：2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最大值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：2， ∵x2≥0， ∴x2+1的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴2的最大值为5， ∴分式的最大值是5， 故答案为：5． 16．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）a+2； （2）m﹣6． 【解答】解：（1） ＝a+2； （2） ＝（）• •• ＝2（m﹣2）﹣（m+2） ＝2m﹣4﹣m﹣2 ＝m﹣6． 17．某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下：这位同学的错误出现在第　②　 步．请你写出这道题的正确解答过程，并从﹣1，1，﹣2三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 【答案】②；． 【解答】解：这位同学的错误出现在第②步， ， ∵a+1≠0，a﹣1≠0， ∴a≠﹣1，1， ∴取a＝﹣2，则原式． 18．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食，两次粮食的单价不同，甲每次购100kg，乙每次购粮用去100元．根据题意，解决下列问题： （1）若设两次粮食的价格分别为x元/kg，y元/kg，且x≠y，则甲两次购粮的平均价格M1＝　　 元/kg，乙两次购粮的平均价格M2＝　　 元/kg． （2）若规定：谁两次购粮的平均价格低，则谁的购粮方式合算．你认为甲、乙谁的方案好？ 【答案】（1），； （2）乙的方案好． 【解答】解：（1）甲两次购粮的平均价格M1（元/kg）， 乙两次购粮的平均价格M2（元/kg）， 故答案为：，； （2）乙的方案好，理由如下： ， ∵x≠y， ∴（x﹣y）2＞0， 又2（x+y）＞0， ∴0， ∴， ∴乙的方案好． 19．已知． （1）若A﹣B＝3，求代数式C； （2）在（1）的条件下，是否存在x的值使得A+B＝﹣3，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， C﹣3x（3+x）＝3（9﹣x2）， C＝27+9x； （2）不存在，理由如下： 由（1）可知：， 27+9x+3x（3+x）＝﹣3（9﹣x2）， 解得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，9﹣x2＝0， ∴x＝﹣3是分式方程的增根，分式方程无解， ∴不存在x的值使得A+B＝﹣3． 20．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　　 ； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②：． 【解答】解：（1） ， ， 所以， 所以分式与分式是“关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为N， 所以NN， 即， ， ， ， 分式的“关联分式”是． （3）①设分式的“关联分式”为N， ， ， ， 即， 所以分式的“关联分式”是． 故答案为：． ②因为是的“关联分式”， 所以 ， 所以：， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $