专题18.6 解分式方程（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题18.6 解分式方程 教学目标 1. 分式方程的概念； 2. 解分式方程。 教学重难点 1. 重点 （1） 解分式方程。 2. 难点 （1）解分式方程的基本步骤； （2）根据分式方程的解求值或求范围； （3）分式方程的增根与无解。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 的方程叫做分式方程。 注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。 【即学即练1】 1．下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 【即学即练1】 2．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 【即学即练2】 3．解方程： （1）； （2）． 【即学即练3】 4．关于x的分式方程的解是x＝2，那么k的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【即学即练4】 5．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【即学即练6】 6．如果关于x的分式方程5无解，那么实数k的值是　 　 ． 【即学即练7】 7．若关于x的方程2产生增根，则m的值是（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 题型01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　） A．x3 B． C． D．2 【变式2】下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 【变式1】解分式方程： （1）； （2）． 【变式2】解分式方程： （1）； （2）． 【变式3】解分式方程： （1）； （2）． 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 【典例1】已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式1】已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 【变式3】已知关于x的分式方程的解是正数，则m的值可能是（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．6 【变式4】若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ． 题型04 分式方程的增根与无解 【典例1】若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．﹣1或 【变式2】若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 【变式3】解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 【变式3】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．3x B．3（x﹣6） C．3x（x﹣2） D．3x（3x﹣6） 3．将分式方程3化为整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2） 4．下列关于方程的说法不正确的是（　　） A．各分式的最简公分母是（x+1）（x﹣1） B．去分母，得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得x＝1 D．原方程的解是x＝1 5．分式方程的解为x＝2，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a≤﹣4 C．a＞﹣4且a≠﹣1 D．a≥﹣4且a≠﹣1 7．数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 8．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 9．若关于x的分式方程的解的取值范围为x≤3，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1 10．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 11．当x＝　 时，分式的值比分式的值大1． 12．当a＝8时，分式的值为，则b的值为　 　 ． 13．若关于x的分式方程的解为整数，则整数m的值有　 　 个． 14．已知关于x的分式方程与的解相同，则m的值是　 　 ． 15．观察下面的变形规律： 解答下面问题： 若，则x的值为　 　 ． 16．解方程 （1）； （2）． 17．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝2，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 18．已知分式：． （1）化简已知分式； （2）若分式方程的解为a，求已知分式的值． 19．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 20．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　 　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.6 解分式方程 教学目标 1. 分式方程的概念； 2. 解分式方程。 教学重难点 1. 重点 （1） 解分式方程。 2. 难点 （1）解分式方程的基本步骤； （2）根据分式方程的解求值或求范围； （3）分式方程的增根与无解。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。 【即学即练1】 1．下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①5，③x﹣1，④属于整式方程； ②的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程． 故选：A． 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 增根 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 【即学即练1】 2．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 【答案】D 【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）去分母得：x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1， 故选：D． 【即学即练2】 3．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）x＝2． 【解答】解：（1）， 方程可变形为， 方程两边同乘2﹣x，得x2﹣2+x＝（1﹣x）（2﹣x）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时2﹣x≠0， 所以原分式方程的解是x＝1； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x（x﹣1），得5＝4x﹣3（x﹣1）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x（x﹣1）≠0， 所以原分式方程的解是x＝2． 【即学即练3】 4．关于x的分式方程的解是x＝2，那么k的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵关于x的分式方程的解是x＝2， ∴， 即k， 故选：D． 【即学即练4】 5．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【答案】D 【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k， ∴x＝﹣3k+2， ∵关于x的方程解为正数， ∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1， ∴k且k． 故选：D． 【即学即练6】 6．如果关于x的分式方程5无解，那么实数k的值是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：原方程去分母得x﹣5+k＝5x﹣20， 整理得4x＝15+k， 若方程无解，那么它有增根x＝4， 则15+k＝16， 解得：k＝1， 故答案为：1． 【即学即练7】 7．若关于x的方程2产生增根，则m的值是（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1＝m+2x﹣4， 根据题意得：x﹣2＝0，即x＝2， 代入整式方程得：2﹣1＝m+4﹣4， 解得：m＝1． 故选：C． 题型01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．是一元一次方程，不符合题意； B．是分式方程，符合题意； C．是二元一次方程，不符合题意； D．是代数式，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　） A．x3 B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，A、C、D选项中都符合分式方程的定义， 故选：B． 【变式2】下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解答】解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程； ②③④的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：D． 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 【答案】B 【解答】解：分式方程整理得：， 去分母得：1﹣2（x﹣3）＝x﹣1． 故选：B． 【变式1】解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝﹣1； （2）x＝2． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得4x＝x﹣3， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入（x+3）（x﹣3）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； （2）， 方程两边同时乘（2x﹣3），得6﹣x＝4（2x﹣3）， 去括号，得6﹣x＝8x﹣12， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入2x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【变式2】解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）无解． 【解答】解：（1）， 去分母得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2）， 去括号得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4， 移项合并同类项得：x＝1， 检验：把x＝1代入x﹣2得：1﹣2＝﹣1≠0， ∴x＝1是原方程的解； （2）， 去分母得：7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1）， 去括号得：7x﹣7﹣6x＝﹣3x﹣3， 移项合并同类项得：4x＝4， 系数化为1得：x＝1， 检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：1×（1+1）×（1﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式3】解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解；（2）x＝1． 【解答】解：（1）， 2﹣x+2（x﹣3）＝﹣1， 解得：x＝3， 检验：当x＝3 时，分母x﹣3＝0，原方程无意义， ∴x＝3 是增根，原方程无解； （2）， ， （x+1）﹣4＝2（x﹣2）， x+1﹣4＝2x﹣4， 2x﹣x＝4﹣4+1， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，x+1＝2≠0，原方程有意义， ∴x＝1是原方程的根． 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 【典例1】已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【变式1】已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：把x＝1代入分式方程得：， 去分母得：8a+12＝3a﹣3， 解得：a＝﹣3， ∵a﹣1＝﹣4≠0， ∴a的值为﹣3． 故选：D． 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 【答案】B 【解答】解：方程的两边同时乘x﹣1， 得，1﹣m+2＝x﹣1， 解得x＝4﹣m， ∵方程的解为非负数， ∴4﹣m≥0， ∴m≤4， ∵x≠1， ∴4﹣m≠1， ∴m≠3， ∴m的取值范围是m≤4且m≠3， 故选：B． 【变式3】已知关于x的分式方程的解是正数，则m的值可能是（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵原方程为，且1﹣x＝﹣（x﹣1）， ∴． ， 即， ∴． ∴3﹣m＝2（x﹣1）， ∴5﹣m＝2x， ∴， ∵解为正数， ∴，即5﹣m＞0， ∴m＜5， 又∵x≠1， ∴，即5﹣m≠2， ∴m≠3， 综上，m＜5且m≠3． 故选：A． 【变式4】若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为　﹣15　 ． 【答案】﹣15． 【解答】解：解不等式组得：． ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴这3个整数解为﹣2、﹣1，0， ∴， 解得：﹣10＜a≤﹣6， 解分式方程得：y＝a+9， ∵分式方程的解为正数， ∴y＞0且y﹣3≠0． 由y＞0得a+9＞0， ∴a＞﹣9； 由y﹣3≠0得a+9﹣3≠0，即a≠﹣6． 结合不等式组和分式方程的条件，a的取值范围为﹣9＜a≤﹣6且a≠﹣6， ∴整数a为﹣8，﹣7， ∴符合条件的所有整数a的和为﹣8+（﹣7）＝﹣15． 故答案为：﹣15． 题型04 分式方程的增根与无解 【典例1】若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【解答】解：原方程去分母可得： 3﹣ax＝2（3﹣x）， 3﹣ax＝6﹣2x， （a﹣2）x＝﹣3， 根据题意，原分式方程无解， ①当a﹣2＝0时，即a＝2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母x﹣3＝0时，即x＝3，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，3（a﹣2）＝﹣3， 解得a＝1； ∴a的值是1或2， 故选：D． 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．﹣1或 【答案】D 【解答】解：∵无解， ∴去分母得：3﹣2x﹣2﹣mx＝﹣x+3，解得（m+1）x＝﹣2， ∵当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程无解； ∵由分式方程无解，得x﹣3＝0，解得：x＝3， ∴把x＝3代入整式方程得：3﹣6﹣2﹣3m＝0，解得：， ∴方程无解则m的值为﹣1或． 故选：D． 【变式2】若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 【答案】C 【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2） 整理得，（m﹣1）x＝﹣10， ∵分式方程 有解， ∴m﹣1≠0且x﹣2≠0且x+2≠0， ∴m≠1且且， ∴m≠1且m≠﹣4且m≠6， 故选：C． 【变式3】解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 【答案】B 【解答】解：分式方程的分母为x﹣2和2﹣x＝﹣（x﹣2）， 令分母为零，得增根x＝2． 方程两边同乘x﹣2去分母，得：5（x﹣2）+x＝﹣m． 将增根x＝2代入整式方程：5×（2﹣2）+2＝﹣m， 即0+2＝﹣m，解得m＝﹣2． 故选：B． 【变式3】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【答案】A 【解答】解：， x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2， 解得：x＝m﹣4， ∵分式方程有增根， ∴4﹣x2＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，m﹣4＝2， ∴m＝6， 当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2， ∴m＝2， ∴m的值是6或2， 故选：A． 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A.1，是整式方程，不符合题意； B.2+x，是整式方程，不符合题意； C.1，是整式方程，不符合题意； D.1，是分式方程，符合题意； 故选：D． 2．把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．3x B．3（x﹣6） C．3x（x﹣2） D．3x（3x﹣6） 【答案】C 【解答】解：把分式方程整理可得：， ∴的最简公分母是3x（x﹣2）， ∴把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以3x（x﹣2）， 故选：C． 3．将分式方程3化为整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2） 【答案】D 【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣2）， 故选：D． 4．下列关于方程的说法不正确的是（　　） A．各分式的最简公分母是（x+1）（x﹣1） B．去分母，得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得x＝1 D．原方程的解是x＝1 【答案】D 【解答】解：∵方程的最简公分母是（x+1）（x﹣1）， ∴A选项的说法不符合题意； ∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6， ∴B选项的说法不符合题意； ∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6， 去括号得：2x﹣2+3x+3＝6， 移项得：2x+3x＝6﹣3+2 合并同类项得：5x＝5， ∴x＝1， ∴C选项的说法不符合题意； ∵检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． ∴D选项的说法符合题意， 故选：D． 5．分式方程的解为x＝2，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：把x＝2代入原方程， 得：， 解得：a＝3． 故选：C． 6．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a≤﹣4 C．a＞﹣4且a≠﹣1 D．a≥﹣4且a≠﹣1 【答案】C 【解答】解：方程可化为， a﹣（x﹣3）＝﹣1， a﹣x+3＝﹣1， ﹣x＝﹣4﹣a， 解得：x＝a+4， ∵原分式方程的解为正数， ∴x＞0且x≠3， 即a+4＞0且a+4≠3， 解得：a＞﹣4且a≠﹣1． 故选：C． 7．数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 【答案】C 【解答】解：解分式方程得：x＝m+5， 当m＜﹣5时，x＝m+5＜0，解为负数，A同学说法正确； 当m＞﹣5时，x＝m+5＞0且m≠0时，解为正数，B同学说法错误， 故选：C． 8．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 【答案】C 【解答】解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a， 整理得（2a﹣1）x＝3a， 当2a﹣1＝0，a时， 0x无解，则原方程无解，符合题意， 当a时， 若原方程无解，那么它有增根x＝3， 则3（2a﹣1）＝3a， 解得：a＝1， 综上，a的值为1或， 故选：C． 9．若关于x的分式方程的解的取值范围为x≤3，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1 【答案】C 【解答】解：原方程整理得：． 解得x＝3﹣m． ∵方程的解的取值范围为x≤3， ∴3﹣m≤3， ∴m≥0． ∵分母不能为0，即x﹣2≠0， 把x＝3﹣m代入得3﹣m﹣2≠0， 解得m≠1． ∴m的取值范围是m≥0且m≠1， 故选：C． 10．关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为x≤a， ∴a≤5， 原分式方程可化为：1， 解得y， ∵分式方程的解为正整数， ∴， 解得a＞﹣3，a≠1， ∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1， ∵分式方程的解为正整数， ∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8， 解得a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5， ∵a≠1， ∴所有满足条件的整数a的和为：7． 故选：C． 11．当x＝　　 时，分式的值比分式的值大1． 【答案】． 【解答】解：∵分式的值比分式的值大1， ∴列方程，得， 方程两边同时乘x（x﹣1），得2x2﹣（x﹣1）2＝x（x﹣1）， 整理，得3x＝1， 解得：， 检验：把代入x（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 12．当a＝8时，分式的值为，则b的值为　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【解答】解：当a＝8时，， ∴3（8﹣2b）＝﹣2（16﹣b2）， ∴24﹣6b＝﹣32+2b2， ∴b2+3b﹣24＝0， ∴（b+7）（b﹣4）＝0， 解得b＝﹣7或b＝﹣4， 检验：当b＝﹣7时，16﹣b2≠0，是原方程的解； 当b＝4时，16﹣b2＝0，不是原方程的解． ∴b＝﹣7， 故答案为：﹣7． 13．若关于x的分式方程的解为整数，则整数m的值有　3　 个． 【答案】3． 【解答】解：解关于x的分式方程得， x， 当m＝﹣2时，x1； 当m＝0时，x3； 当m＝2时，x3； 当m＝4时，x1； ∵x≠3， ∴整数m的值是﹣2，0，4共3个， 故答案为：3． 14．已知关于x的分式方程与的解相同，则m的值是　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：解方程， ∴x＝2（x﹣1）， ∴x＝2， 经检验x＝2时x（x﹣1）＝2≠0， ∴x＝2是方程的解， 把x＝2代入方程2， 得m＝5， 故答案为：5． 15．观察下面的变形规律： 解答下面问题： 若，则x的值为　998　 ． 【答案】998． 【解答】解：由题意，方程， 化为，即， 方程两边同乘（x+1）（x+1000）得x+1000＝2x+2， 解得x＝998， 经检验x＝998是原方程的解． 故答案为：998． 16．解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）x＝6；（2）无解． 【解答】解：（1）原分式方程去分母得：2（x+1）＝6（2x﹣1）﹣4（2x+1）， 去括号得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4， 移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣12， 解得：x＝6， 检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0， 所以x＝6是分式方程的解； （2）原分式方程去分母得：x﹣3+2（x+3）＝12， 去括号得：x﹣3+2x+6＝12， 移项，合并同类项得：3x＝9， 系数化为1得：x＝3， 经检验：x＝3不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 17．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝2，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 【答案】（1）x＝﹣4； （2）3或﹣3或1． 【解答】解：（1）把m＝2代入方程得： ． 方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得 （x+2）+2x＝2（x﹣1）， 解得：x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4时，（x+2）（x﹣1）≠0， 所以x＝﹣4是分式方程的解， 即当m＝2时，方程的解是x＝﹣4； （2）， 方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得 （x+2）+mx＝2（x﹣1）①， 整理得：（m﹣1）x＝﹣4②， 有三种情况： 第一种情况：当x+2＝0，即x＝﹣2时，分式方程无解， 把x＝﹣2代入①，得﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3； 第二种情况：当x﹣1＝0，即x＝1时，分式方程无解， 把x＝1代入①，得3+m＝0， 解得：m＝﹣3； 第三种情况：②（m﹣1）x＝﹣4， 当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是3或﹣3或1． 18．已知分式：． （1）化简已知分式； （2）若分式方程的解为a，求已知分式的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）原式＝[] ； （2）分式方程可化为6x+18＝x﹣2，解得x＝﹣4， 经检验，x＝﹣4是原分式方程的解， ∴a＝﹣4， ∴原分式的值为． 19．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是“相似方程”；理由见解答； （2）不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”．理由见解答． 【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是“相似方程”； 理由：解一元一次方程得：x＝﹣1， 解分式方程得：x＝﹣1， ∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程是“相似方程”； （2）不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”． 理由：解（2﹣a）x+2＝x得：x， 当a＝﹣1时x的整数解为x＝﹣1， 当a＝0时x的整数解为x＝﹣2， 当a＝2时x的整数解为x＝2， 当a＝3时x的整数解为x＝1， 解分式方程1得：x，且2， 当a＝1时，x的整数解为x＝4， 当a＝4时，x的整数解为x＝1， 当a＝﹣1时，x的整数解为x＝﹣4， 当a＝﹣2时，x的整数解为x＝﹣2， 当a＝﹣4时，x的整数解为x＝﹣1， 综上所述：不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程1是“相伴方程”． 20．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　①　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）①； （2）t＝1； （3）c＝﹣2或c＝﹣3． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，使得关于x的分式方程的解是成立， 所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，故①正确； 当 a＝﹣2，b＝3时，使得关于x的分式方程.的解是， ， 所以数对 （2，﹣3）不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故②错误； 当，时，使得关于x的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故③错误； 故答案为：①； （2）根据定义，分式方程的解为， 故， 解得t＝1； （3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于x的分式方程的解是， 回代方程，得c2+cd﹣d＝1， 整理，得 （c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0， ∴（c﹣1）（c+d+1）＝0， ∵c≠±1且c≠0， ∴c+d+1＝0， ∴c＝﹣d﹣1， ∵方程 dy﹣c+1＝0的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴d＝±1，d＝±2， 当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）； 当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）； 故c＝﹣2或c＝﹣3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $