18.4 整数指数幂（第1课时）教案2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教案聚焦“整数指数幂（第1课时）”，通过幂的符号演变史和牛顿负指数设想导入，衔接正整数指数幂，搭建知识支架，引导学生探究负整数指数幂概念。 亮点在于融入数学史与逻辑推理，从约分和同底数幂除法推导负指数幂，特殊到一般验证运算性质推广，培养抽象与推理能力，例题练习提升运算能力，思维导图助力知识梳理，利于学生发展数学思维，方便教师教学实施。

18.4　整数指数幂（第1课时） 教学目标 1．通过“溯源”展示幂的符号的演变以及牛顿关于负整数指数幂的设想，感受数学符号的价值． 2．结合分式的概念、基本性质及运算，将幂的指数的范围从正整数扩大到全体整数，将正整数指数幂的运算性质推广到任意整数指数幂，构建完整的整数指数幂知识体系，发展抽象能力和推理能力． 3．能灵活运用整数指数幂的运算性质进行运算，提升运算能力． 教学重点 负整数指数幂的概念；整数指数幂的运算性质及其应用． 教学难点 整数指数幂的运算性质及其应用． 教学过程 新课导入 【引导语】从非负整数，到非负有理数，再到有理数，我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．同样地，对于幂的运算，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？我们先一起来看一看幂的符号的演变进程． 下图是幂的符号演变时间轴，从3世纪的丢番图到1637年笛卡儿的表示方法，你们有什么感受？ 【师生活动】学生普遍能感受到，经过一千多年的发展，幂的符号在形式上越来越简化了．教师强调这种简化不仅仅是形式上的，同时也更有利于正整数指数幂的运算． 【设计意图】通过对幂的符号的溯源，激发学生的学习兴趣，感受数学符号的价值，同时为幂的运算的推广作好铺垫． 新知探究 1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成，，，…，所以我将，，，…写成，，，…．”请你思考牛顿的设想是否合理？如果的m可以是负整数，那么负整数指数幂表示什么？ 【问题1】请你分别从“约分”和“同底数幂的除法”这两个角度思考，尝试计算． 【师生活动】教师组织学生交流，教师板书，师生共同完成计算过程． 【答案】方法一（约分）：当a≠0时，． ① 方法二（同底数幂的除法）：对于am÷an＝（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）． 忽略m＞n的条件，假设性质仍然适用，则有． ② 【追问】观察①②两式，你们能想到什么？ 【师生活动】由①②两式，师生共同猜想：可以规定，这样能够让同底数幂的除法性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式． 【新知】数学中规定：一般地，当n是正整数时，（a≠0）． 【注意】1．（n为正整数，a≠0）这是合理的规定，不是证明出来的； 2．（a≠0）是an的倒数； 3．引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． 【设计意图】通过具体的两个指数幂，从约分和同底数幂的除法两个方面感受负整数指数幂的概念形成背景，理解规定的合理性，体会从特殊到一般的推理过程． 【问题2】整数指数幂的概念推广后，我们自然而然就会想，运算性质是否也能进行推广呢？引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形？ 【师生活动】教师引导学生先明确研究路径：类比负整数指数幂概念的形成过程，从特殊情形入手研究，再由特殊推广到一般．师生共同确定可以选取m，n分别是一正一负、两负、一零一负三种情形进行验证．学生自己选取m，n的值，尝试在学习任务单上完成验证过程，学生代表分享思路，教师点评． 【答案】举例说明： （1），即； （2），即； （3），即． 【新知】一般地，这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用． 【追问1】类似地，请你继续探索其他正整数指数幂的运算性质，思考这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． （1）（m，n是正整数） （2）（n是正整数） （3）（a≠0，m，n是正整数，m＞n） （4）（n是正整数） 【师生活动】教师把全班同学分成四个组，每个组验证一条性质．教师提示学生可以分别选取不同类型的整数指数（正整数、负整数、零）进行验证．小组完成任务后，师生共同总结，得到：随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂． 【追问2】我们知道，对于数的运算，除法可以转化为乘法进行运算．请你观察以下两个式子：和，想一想，同底数幂的除法是否可以转化为同底数幂的乘法？ 【师生活动】教师组织学生交流讨论，师生达成共识：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 【追问3】同样的道理，请你观察以下两个式子：和，想一想，商的乘方能否转化为积的乘方呢？ 【师生活动】教师组织学生交流讨论，师生达成共识：＝a÷b＝,所以，即商的乘方可以转化为积的乘方． 【新知】整数指数幂的运算性质可以归结为： （1）（m，n是整数）； （2）（m，n是整数）； （3）（n是整数）． 【设计意图】通过对不同类型的整数指数幂进行验证，得到整数指数幂的运算性质，体会从特殊到一般进行归纳验证、分析问题、解决问题的方法，培养学生的推理能力． 例题精讲 【例】计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【师生活动】师生共同完成第（1）题和第（4）题，教师板书示范．学生独立在学习任务单上完成第（2）题和第（3）题，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【注意】运算结果可以是只含正整数指数幂的式子，也可以是含负整数指数幂的式子，但不要写成既有负整数指数幂又有分母的式子． 【设计意图】通过例题，帮助学生巩固对整数指数幂的运算性质的理解及应用，规范书写格式． 课堂练习 1．填空： （1）＝________，＝________； （2）＝________，＝________； （3）＝________，＝________． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）＝1；＝； （2）＝1；＝； （3）＝1；＝． 2．计算： （1）；　　 （2）． 【师生活动】学生在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）原式＝＝＝； （2）原式＝＝＝＝． 【设计意图】通过有层次性的练习题，巩固学生对整数指数幂运算性质的理解，提高学生的运算能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．我们是如何探究并得到负整数指数幂的概念的？ 2．我们是如何推广整数指数幂的运算性质的？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第162页习题18.4第2、3题． _____ 学科网（北京）股份有限公司 $