江苏省锡东高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省无锡市锡东高级中学高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.“”是“”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4.下列图形中表示函数图象的是(    ) A. B. C. D. 5.已知函数且，若在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数a的值为(    ) A. B. C. D. 6.若不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A. B. 或 C. D. 或 7.已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知是定义在实数集R上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正数a，b满足，则下列结论正确的有(    ) A. ab的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 10.已知函数，则(    ) A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为R上的减函数 D. 无最值 11.下列选项中正确的有(    ) A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若幂函数在上单调递增，则实数m的值为______. 13.函数的单调减区间是______. 14.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 化简或求值： ； ； 已知，，求 16.本小题15分 已知集合，或 当时，求 若，求a的取值范围. 17.本小题15分 已知函数 当时，解关于x的不等式； 若的解集为R，求实数k的取值范围. 18.本小题17分 已知函数是定义在上的奇函数，且 求m，n的值： 试判断函数的单调性，并证明你的结论； 求使成立的实数a的取值范围． 19.本小题17分 在函数的定义域内，若存在实数x满足，则称为“局部反比例对称函数”. 判断函数是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； 若函数是“局部反比例对称函数”，其中k是正整数，求k的值； 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意， 故选： 根据交集的定义计算可得． 本题考查集合的运算，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：命题“，”的否定为“，”． 故选： 结合全称量词命题的否定，即可求解． 本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，得或，不能推出，必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件． 故选： 先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：根据函数的定义，对定义域内任意的一个x都存在唯一的y与之对应， 若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一， 根据图象，A，B，D选项中，存在一个x对应两个y的对应，不符合函数定义； C中，每一个x都存在唯一的y与之对应，符合函数的定义； 故选： 根据函数的定义，对定义域内任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求． 本题主要考查了函数定义，要注意正确理解函数的概念，构成函数的对应关系必须形成一对一或多对一，但是不能一对多，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：当时，在上单调递增， 则，，则， 解得； 当时，在上单调递减， 则，，则， 解得， 故或 故选： 结合指数函数单调性对a的范围进行分类讨论即可求解． 本题主要考查了指数函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：的解集为， 且，1为方程的解， ，即， ， ， ， ，解得， 的解集为 故选： 根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后即可求解． 本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：因为函数在R上是单调函数， 当在R上单调递增时，，解得， 当在R上单调递减时，则在时单调递减，根据二次函数性质，显然不可能， 故a的范围为 故选： 结合一次函数，二次函数的单调性及分段函数的性质即可求解． 本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于中档题． 8.【答案】C  【解析】解：因为关于点对称， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增． 当时，要使得不等式成立，则， 可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以 综上可得不等式的解集为 故选： 先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集． 本题主要考查了函数的单调性及对称性的应用，属于基础题． 9.【答案】ACD  【解析】解：因为，则，当且仅当，时取等号，则ab的最大值为，故A正确； 对于选项B，， 所以，即的最大值为，当且仅当，时取等号，故选项B错误； 对于选项C，，当且仅当，时取等号，故选项C正确； 对于选项D，， 当且仅当，时取等号，故选项D正确． 故选： 选项A可直接利用基本不等式求最大值；选项B可先平方，再利用基本不等式求最大值；选项C利用消元法再结合一元二次函数求得最小值；选项D利用常数代换，再结合基本不等式求得最小值． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 10.【答案】ABD  【解析】解：对于A项，由题意可知，所以，A正确； 对于B项，， 显然，所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确． 故选： 利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：当，时，满足，但不成立，所以“”不是“”的充分条件， 当，时，满足，但不成立，所以“”不是“”的必要条件， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，故A项正确； 函数的定义域为，而函数的定义域为R， 所以两个函数的定义域不同，它们不是同一函数，可知B项错误； 令，则，， 函数可化为， 结合二次函数的性质，当时，y取得最大值，， 所以函数的值域为可知C项正确． 根据是奇函数，可知时，，故D项正确． 故选： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断出A项的正误；根据两函数的定义域不同，即可判断出B项的正误；采用换元法，结合二次函数的性质求出的最大值，即可判断出C项的正误；根据奇函数的性质，求出当时的解析式，即可判断D项的正误． 本题主要考查函数的基本概念、二次函数的最值求法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 12.【答案】2  【解析】解：因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以 故答案为： 利用幂函数概念及单调性即可求解． 本题主要考查幂函数的性质应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，函数，有，解可得或， 即函数的定义域为， 设，， 在上递增，要求函数的单调减区间， 需要递减且恒成立，必有 即函数的单调减区间 故答案为： 根据题意，先分析函数的定义域，设，，由复合函数单调性的判断方法可得需要递减且恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案． 本题考查复合函数的单调性，涉及幂函数的性质，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：令， 因为，，且，都有不等式， 即，，且，恒成立， 即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得 综上所述，不等式的解集为 故答案为： 构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可． 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的解法，属于中档题． 15.【答案】      【解析】解：原式； 原式； 因为，且，所以， 所以 根据根式和分数指数幂的运算即可得解； 根据分数指数幂的运算即可得解； 根据条件得出的值，然后即可得解． 本题考查了分数指数幂的运算性质，是基础题． 16.【答案】；     【解析】集合，或， 当时，， 又， 故； 由知， 若，则， 当时，由题意可得，解得； 当时，则，解得，满足题意； 综上所述，，即a的取值范围为 根据集合的补集、交集运算即可； 根据交集补集运算可得，分类讨论，时列不等式得a的取值范围即可． 本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题． 17.【答案】    【解析】解：当时，不等式即为， 即， 解得， 即不等式的解集为； 关于x的不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时， ，解得， 则实数k的取值范围为 结合二次不等式的求法，因式分解即可求解． 由题意得或，从而可求出k的取值范围 本题主要考查了二次不等式的求法，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于基础题． 18.【答案】解：函数是定义在上的奇函数， 且，由可得； 由可得，则，所以，； 在上为增函数， 证明：设，则 ， 由，可得，， 则，即， 所以在上为增函数； 由为奇函数， 可得即为， 由知在上为增函数，可得， 解得，即a的取值范围是  【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 由奇函数的性质可得，结合，解方程可得m，n的值； 在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质； 由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围． 19.【答案】是，理由如下： 当时，均有， 故函数是“局部反比例对称函数”；   或；    【解析】是，理由如下： 当时，均有， 故函数是“局部反比例对称函数”； 因为函数是“局部反比例对称函数”， 所以， 化简得， 要使得等式成立，则， 解得， 又， 所以或； 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解， 整理得， 令，由， 得， 所以问题转化为方程在上有解， 设函数， 则其图象开口向上，对称轴为， ①当时， 只需， 即，解得， 所以； ②当时， 只需， 即，解得， 所以， 综上，实数m的取值范围为 由“局部反比例对称函数”的定义判断即可； 由题意可得，由及k是正整数，求解即可； 由题意可得方程在上有解，利用换元法分及求解即可． 本题考查了“局部反比例对称函数”的定义及性质，考查了分类讨论思想及转化思想，属于中档题． 第2页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $