江苏省盐城市建湖县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省盐城市建湖县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于x的方程是一元二次方程，则(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程配方正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5.关于二次函数的图象，下列结论正确的是(    ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与y轴交于点 D. 当时，y随x的增大而减小 6.如图，在中，半径OA、OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是(    ) A. B. 3 C. 4 D. 6 8.如图，在中，，，，是的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.外一点P到的最大距离是10cm，到的最小距离是2cm，则的半径是        10.学校规定，学生的学期体育成绩为100分，其中课间操占，期中考试占，期末考试占小超的课间操、期中考试、期末考试三项成绩分别是95分、96分、90分，则小超这学期体育成绩是        分. 11.如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是______. 12.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是        . 13.已知、是抛物线上的两点，则        . 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为则能完全覆盖的最小圆的半径为        . 15.如图，正八边形的边长为6，对角线AB、CD相交于点则线段BE的长为        . 16.如图，中，，，，D是AC上一点，E是BC上一点，，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为        . 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解下列方程： 用配方法解； 18.本小题6分 已知二次函数的图象经过点 求a的值； 点在该函数的图象上，求m的值. 19.本小题8分 如图，在的内接四边形ABCD中，是四边形ABCD的一个外角，且AD平分 求证：； 若点F在上，且，求的度数. 20.本小题8分 有一个不透明的布袋里有2个红球和若干个白球，它们除了颜色外其他都相同. 如果摸出一个球，摸到白球的概率是，那么白球有______个； 已知白球有3个，如果搅匀这个布袋中的球，从中任意摸出2个球恰好是一个红球、一个白球的概率是多少？请用列表法或画树状图写出分析过程 21.本小题8分 某学校组织八年级的学生进行篮球联赛.下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分单位：分、篮板单位：个和助攻单位：个的数据. 甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： 场比赛中，甲学生篮板的众数是______，乙学生篮板的中位数是______； 场比赛中，篮板更稳定的是______学生填“甲”或“乙”； 记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个.若的值越大，则认为该名学生的综合表现越好.根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好填“甲”或“乙” 22.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：无论m为何值，方程总有实数根； 若方程有一个根大于3，求m的取值范围. 23.本小题10分 如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，，垂足为 求证：DE是的切线； 若的半径为5，，求AD的长. 24.本小题10分 某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫.已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件. 若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； 小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由利润率 25.本小题10分 请用圆规和无刻度的直尺按要求作图保留作图痕迹，不写作法 如图①，过点P作的一条切线； 如图②，在l上作一点Q，使得直线PQ被截得的弦被点P平分； 如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦AB的长度相等. 26.本小题12分 已知平面直角坐标系xOy中，二次函数为常数的图象交y轴于点 若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则m的值为______； 在的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求n的取值范围； 若此函数图象经过点，，求证： 27.本小题14分 【发现问题】 爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目：如图①，点O为坐标原点，点A为，的半径为1，动点B在上，连接AB，作等边三角形、B、C为顺时针顺序，求OC的最大值. 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接 图中与OC相等的线段是______； 线段OC的最大值为______； 【灵活运用】 如图②，在平面直角坐标系xOy中，点A为，点B为，点P为线段AB外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转得到PM，连接AM，求线段AM的最大值及此时点P的坐标； 【迁移拓展】 如图③，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边三角形ABD，请直接写出AC的最值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：使x的方程是一元二次方程， 根据一元二次方程的定义可知： 二次项系数不为0， 故选： 根据一元二次方程的一般形式是都是常数及其定义，即可求解． 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2.【答案】A  【解析】解：， ， ， 故选： 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：因为不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球， 所以从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为； 故选： 先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可． 此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 4.【答案】D  【解析】解：直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ， 故选： 根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和相交 5.【答案】D  【解析】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选： 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6.【答案】B  【解析】解：连接OC， ， ， ， ， ， ， 故选： 连接OC，先利用圆周角定理可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：设与四边形ABCD的各边分别相切于点P、Q、M、N，连接OP、OQ、OM、ON， ，、、， 连接OA、OB、OC、OD，设的半径为r，则， ，且， ， 四边形ABCD的周长是12， ， ， ， 故选： 设与四边形ABCD的各边分别相切于点P、Q、M、N，连接OP、OQ、OM、ON，OA、OB、OC、OD，设的半径为r，则，由，且四边形ABCD的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：设与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF， ，， ， ， 四边形OECF是矩形， ， 四边形OECF是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， 平分，BO平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选： 设与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF，可证明四边形OECF是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9.【答案】4  【解析】解：如图，PA的长是P到的最长距离，PB的长是P到的最短距离， 圆外一点P到的最长距离为10cm，最短距离为2cm， 圆的直径是， 圆的半径是 故答案为： 画出图形，根据图形和题意得出PA的长是P到的最长距离，PB的长是P到的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径． 本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线为圆心，交于A、B两点，则得出P到的最长距离是PA长，最短距离是PB的长． 10.【答案】  【解析】解：根据题意得： 分 则小超这学期的体育综合成绩为分． 故答案为： 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上此处采用极限思想，且的图形如图所示： 因此的面积是正方形总面积的，因此米粒落在图中阴影部分的概率是 米粒落在图中阴影部分的概率就是阴影部分的面积同正方形总面积的比． 此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．同时注意巧妙的将图形简化，找寻特殊情况，作为选择题没必要按照一般情况处理，要求找出特殊情况，准确快速得出来答案，方便作答试卷中其他题目． 12.【答案】4  【解析】解：设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中， ，即，解得：， 另一个根是4， 故答案为： 利用根与系数的关系求解即可． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 13.【答案】4  【解析】解：、是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线， ， 故答案为： 利用二次函数的对称性即可求解． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，作线段AB、BC的垂直平分线，交于点， 则点P为能完全覆盖的最小圆的圆心， 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为： 作线段AB、BC的垂直平分线，交于点P，再根据勾股定理计算，得到答案． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的确定方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点F作于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，、是等腰直角三角形，， 在中，，， ， 同理， ， 故答案为： 根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 16.【答案】  【解析】解：如图，取DE中点O，连接OC，OM，过点O作于G，过点C作于H，则， ， ，，， ， ， ， 中，O为DE的中点， ， 为直径，， 在上， ， ， ， 由勾股定理得：， 当时，MG有最大值是：， 的最大值为 故答案为： 如图，取DE中点O，连接OC，OM，过点O作于G，过点C作于H，则，由勾股定理可得，由面积法可得，由圆周角定理可知：C在上，则，，最后由勾股定理和垂径定理即可解答． 此题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是根据垂线段最短确定： 17.【答案】或  或  【解析】解：由题意，， 或 ， 或 依据题意，由配方法计算即可判断得解； 依据题意，由因式分解法计算可以得解． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 18.【答案】  的值为或2  【解析】解：二次函数的图象经过点， ， 由得，二次函数解析式为 点在这个图象上， ，即， 解得或2， 故m的值为或 依据题意，将P点坐标代入即可得到a的值； 依据题意，将Q点坐标代入即可得到m的值． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． 19.【答案】平分， ， 由圆周角定理得：， ， 四边形ABCD是的内接四边形， ， ， ，     【解析】证明：平分， ， 由圆周角定理得：， ， 四边形ABCD是的内接四边形， ， ， ， ； 解：四边形BFCD为内接四边形， ， ， ， 利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答； 利用圆内接四边形的性质可得，即可求得，即可解答． 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20.【答案】8    【解析】解：设白球有x个，则共有个球， 摸出一个球，摸到白球的概率是， ， 解得 经检验，是原方程的解且符合题意， 白球有8个． 故答案为： 列表如下： 红 红 白 白 白 红 红，红 红，白 红，白 红，白 红 红，红 红，白 红，白 红，白 白 白红 白，红 白，白  白，白 白 白，红 白，红 白，白  白，白 白 白，红 白，红  白，白  白，白 共有20种等可能的结果，其中恰好是一个红球、一个白球的结果有12种， 恰好是一个红球、一个白球的概率为 设白球有x个，则共有个球，根据概率公式可列方程为，求出x的值即可． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是一个红球、一个白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】5，5；   甲；   乙．  【解析】解：样本中甲学生10场篮板的次数出现最多的是5次，共出现5次，因此甲学生篮板的众数是5次， 将乙学生10场篮板的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 次，即乙学生篮板的中位数是5次， 故答案为：5，5； 甲学生的平均数为，乙学生篮板的平均数为， ， ， 甲学生的比较稳定， 故答案为：甲； 甲的综合得分为，乙的综合得分为， 所以乙学生的综合表现更好， 故答案为：乙． 根据中位数、众数的定义进行计算即可； 求出甲、乙学生篮板的方差即可得出答案； 计算甲、乙学生的综合表现得分，再进行比较得出答案． 本题考查中位数、众数、平均数以及方差，理解中位数、众数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、众数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． 22.【答案】，，，，无论m为何值，方程总有实数根．    【解析】解：证明：，，， ， 无论m为何值，方程总有实数根． 原方程可化为：， 解得，， 方程有一个根大于3，且， ， 根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； 解方程得到，，根据方程有一个根大于3，得到关于m的不等式，解不等式即可得到结论． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 23.【答案】证明：如图，连接 为的直径， ， 又， ， 是的中位线． ， 又， ， 是半径， 是的切线； 如图，作于点F， ，， 四边形ODEF为矩形， ，， 中，， ， 中，  【解析】连接OD，根据等腰三角形的性质和中位线可证得，即可证得结论； 如图，作于点F，得到矩形ODEF，再通过勾股定理进行计算即可． 本题考查了切线的判定，等腰三角形基本性质，中位线的基本性质，勾股定理，等知识，掌握切线的判定是解题的关键． 24.【答案】1200  每件T恤衫的销售价应该定为80元  小超每天能获得1250元的利润，定价为85元  【解析】解：降价10元， 每天多卖20件， 每天的销售量为40件， 每天销售T恤衫的利润为元 故答案为：1200； 设每件T恤衫降价x元， 由题意可得：， 或， 又尽可能让利于顾客，优惠最大， ， 每件T恤衫的销售价应该定为：元 每件T恤衫的销售价应该定为78元； 根据题意得，当降价x元时，每天利润为， 由题意可得：， 化简得， 每件T恤衫的利润率不低于， ， ，符合题意． 每件T恤衫应降价15元，则定价为元 答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元． 根据题意求出每天能多卖20件，从而计算可以得解； 设每件T恤衫降价x元，根据“每天获得的利润达到1152元”列出一元二次方程求解即可解答； 当降价x元时，由题意可得，解得再根据保证每件T恤衫的利润率不低于列不等式求得x的取值范围，再判断即可解答． 本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键， 25.【答案】如图1，直线PA即为所求；   如图2，点Q即为所求；   如图3，直线PD即为所求．   【解析】如图1，直线PA即为所求； 主要作图步骤：作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以OP为直径作交于点A，连接PA，则直线PA为的切线； 如图2，点Q即为所求； 主要作图步骤：连接OP并延长至点N，使，过点P作OP的垂线，交直线l于点Q，交于点E和F，则直线PQ被截得的弦EF被点P平分； 如图3，直线PD即为所求； 主要作图步骤：过点O作AB的垂线，垂足为点G，以点O为圆心，OG为半径作小，作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以OP为直径作交小于点H，射线PH，交于点C和D，则弦CD长度等于弦AB的长． 作OP的垂直平分线交OP于点M，再以M为圆心，OM为半径画圆，交于点A，连接AP，根据圆周角定理得到，则切线PA即为所求； 连接OP，过点P作OP的垂线EF，直线EF交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦EF被点P平分，则点Q即为所求； 过点O作AB的垂线，垂足为G；以点O为圆心，OG长为半径作小；作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以OP为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线PH，交于点C，D，则，则直线PD即为所求． 本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． 26.【答案】    二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 此函数图象经过点，， 即， ， ， ，   【解析】解：由题意，二次函数为常数的图象交y轴于点P， ， 将点P向右平移4个单位得到 又此时在二次函数为常数上， 抛物线的对称轴为直线， ， 故答案为： 解：由可知二次函数为常数的图象开口向上，对称轴为直线， 点，均在该函数的图象上，且， ， ； 证明：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 此函数图象经过点，， 即， ， ， ， 依据题意，抛物线的对称轴为直线，利用对称轴公式从而计算得解； 由可知二次函数为常数的图象开口向上，对称轴为直线，依据题意，进而计算可以得解； 利用抛物线的对称性得出即，求得，则，代入抛物线的解析式即可得出 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移、二次函数的对称性，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 27.【答案】AE；   3；   最大值为；   AC的最小值为最大值为  【解析】解：如图中，结论：；理由如下： ，都是等边三角形， ，，， ， ≌， ， 故答案为：AE； 的半径为1，点 ，， 在中，， 当E、O、A共线， 的最大值为3， 的最大值为 故答案为：3； 如图，连接BM， 将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形， ，， 的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值如图2中， 最大值， ， 最大值为； 如图，过P作轴于E， 是等腰直角三角形， ， ， ； 如图，以BC为边作等边，连接CD， ， ，且，， ≌， ， 欲求AC的最小值，只要求出MD的最小值即可， 当M、D、O共线时，MD最小， 如图： ，O是BC中点，是等边三角形， ， 在中，， ， 的最小值为 如图，以BC为边作等边， ， ， ，， ≌， ， 欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， 定值，， 点D在以BC为直径的半圆上运动， 由图可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，最大值为， 的最大值为 综上，AC的最小值为最大值为 结论：只要证明≌即可； 利用三角形的三边关系即可解决问题； 连接BM，将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； 以BC为边作等边，由≌，推出，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由定值，，推出点D在以BC为直径的上运动，由图可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大；欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可． 本题属于圆的综合题，主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $