精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

襄阳四中2024级高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，从而得到，再计算其模. 【详解】因为，所以， 则，所以. 故选：B 2. 过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求直线与的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可. 【详解】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 3. 一组正数的平均数为，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平均数列式求得，然后利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为正数的平均数为， 所以，所以. 所以 ，当且仅当即时取等号. 故选：C 4. 若满足，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得方程表示圆心为、半径为的右半圆，然后结合截距的概念，利用直线与半圆的位置关系数形结合求解即可. 【详解】由题意，方程需满足， 将方程平方整理得，即圆心为、半径为的右半圆， 令，即，所以为直线在轴上的截距， 当直线过右半圆上顶点时，直线在轴上的截距最大，此时最小， 所以的最小值为． 故选：B 5. 若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为求的最小值，利用对称性即可求解. 【详解】因为椭圆焦点为、， 所以焦距，即，离心率，因此求的最大值等价于求的最小值， 因为是椭圆上任意点，所以， 因此的最小值对应的最小值点在直线上， 直线与两焦点、同侧，取关于直线的对称点， 所以线段的中点在直线上，故，即； 直线与直线垂直斜率乘积为，故，即， 联立得，，即， 当、、共线时，最小，最小值为， ， 因此的最小值为，即， 代入离心率公式得：． 故选：D． 6. 我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】在平面上任取一点，不妨取原点，设点为， 所以，点为坐标原点， 由题意平面的法向量为， 则点到平面的距离． 故选：D 7. 已知正四棱柱中， (点E在棱BB1上)，，则该四棱柱被过点 ，，的平面截得的截面面积为 A. B. 36 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在上取点，使，连接，，得出截面四边形是平行四边形，利用勾股定理，分别求得，结合余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱中，，， 可得，， 在上取点，使，如图所示， 连接，，可得且，则四边形是平行四边形， 四棱柱被过点，，的平面截得的截面为， 由勾股定理可得，， ， 所以， 所以， 所以平行四边形的面积为. 故选: C. 8. 若，向量满足，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据数量积的运算律得，设，则，从而求得，利用列不等式，解不等式即可得解． 【详解】因为，即． 又，则，设， 则，故． 由为与的夹角， 则，解得． 因为，即，解得， 故的最大值为． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A；根据互斥的定义求解概率判断B；根据方差、标准差、极差的概念判断C；根据百分位数的求法求解判断D. 【详解】选项A：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，故A为真命题； 选项B：若与互斥，则和不能同时发生，即，因此，故B为真命题； 选项C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差最大值减最小值反映数据的波动范围，三者均能刻画数据的离散程度，故C为真命题； 选项D：数据共个，计算第百分位数为整数， 因此第百分位数为第个数与第个数的平均值，即，故D为假命题. 故选：ABC 10. 设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 的最小值为 C. 的大小可以是 D. 满足为等腰三角形的点有个 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质分别判断即可. 【详解】由椭圆方程知：，，； 对于A，离心率，A正确； 对于B，为椭圆左焦点，，B错误； 对于C，当为椭圆上下顶点时，，， ，， 则当在椭圆上运动时，，则大小可以是，C正确； 对于D，当为椭圆上下顶点时，，满足为等腰三角形； ，即， 能成立，根据椭圆对称性知：此时有点满足题意； 同理可知：时，有点满足题意； 满足为等腰三角形的点有个，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据可求得点的轨迹，从而可判断AB；证明平面，即可判断C；由三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，设球心为，，根据，将用表示，从而可求得外接球半径的范围，即可判断D. 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为， 所以，得，所以， 则，得， ， 当时，，则， 当时，则，则， 综上，， 所以三点共线， 即点的轨迹即为线段， 对于A，， 即的最小值是，故A错误； 对于B，， 则， 所以，故B正确； 对于C，，则为定值， 由点的轨迹即为线段， 且， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点为， 则在中，外接圆的圆心即为点， 则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为，， 则， 即，所以， 则， 因，所以， 即三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先用列举法将所有有序对列出，共有个，再根据的取值，进行分类讨论，得到满足条件的有序对共有个，根据古典概型概率公式即得. 【详解】根据题意，从集合中任取两个不相等的正数，构成有序对， 总情况有，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，，共个， 当时，由，得，有，，，，共个； 当时，由，得，有，共个； 当时，由，得，无满足条件的； 综上，符合条件的有序对共个， 所以，成立的概率为. 故答案为：  13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 14. 已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，再根据关于x轴对称，关于轴对称，可求得，再由在椭圆上，构造出的齐次式即可得解. 【详解】设，则，， 由题知关于x轴对称，关于轴对称， 所以，，即，， 所以， 所以，即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． 【小问1详解】 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． 【小问2详解】 是与中线的交点，联立直线与方程得，， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立，解得， ． 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 17. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 【答案】（1）存在， （2）三棱锥A­CDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 【解析】 【分析】(1)在AD上取一点P，使得，证明线面平行，则P点就是所求的点； (2)先设 ，运用二次函数即可求出三棱锥 的体积最大值，再运用等体积法求出F到平面ACD的距离. 【小问1详解】 AD上存在一点P，使得CP 平面ABEF，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点P作M FD交AF于点M，连接ME，则， ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP FD EC，∴MP EC， 故四边形MPCE为平行四边形，∴CP ME， 又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF， ∴CP 平面ABEF； 【小问2详解】 设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x， 故， ∴当x＝3时，有最大值，且最大值为3， 此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，， ∴，， 在△ACD中，由余弦定理得，， ， 设到平面的距离为， ， ，. 综上，存在点P，使得CP//平面ABEF，，三棱锥 的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 18. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值； 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）考虑点为椭圆左右顶点时，性质显然成立；当，分别写出，，，由题意写出椭圆在点出切线方程，由题中公式求出与直线，夹角的正切值，从而证明结论； （2）设直线方程代入曲线方程，消元后整理为一元二次方程，由韦达定理表示出，令，当时，利用基本不等式求出的最大值，从而求得的面积的最大值；当时，由双勾函数的性质得到的最大值，从而求得的面积的最大值. 【小问1详解】 当时，，，由椭圆的对称性可知性质成立 当时，，，， 因为点在椭圆上， 所以，， 设与直线，的夹角分别为，， 则. 同理，，，∴． 该性质成立. 【小问2详解】 设，，， 将代入得， 则，， ， 令，则，． 当时，，当且仅当，即时取等号， 得，的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），； （2）（i）内切；（ii）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； 【小问2详解】 （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2024级高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 2. 过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （ ） A. B. C. D. 3. 一组正数的平均数为，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 4. 若满足，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 5. 若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱柱中， (点E在棱BB1上)，，则该四棱柱被过点 ，，平面截得的截面面积为 A. B. 36 C. D. 8. 若，向量满足，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 10. 设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 的最小值为 C. 的大小可以是 D. 满足为等腰三角形的点有个 11. 如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是__________. 13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 14. 已知椭圆：两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 17. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值； 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $