5.4 用一次函数解决问题(2) 教案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该教案聚焦一次函数在实际问题中的应用，围绕“变量关系—函数建模—问题解决”主线设计教学流程。从推销报酬情境引入，通过图像分析建立函数表达式，再迁移至运输费用、租车费用等真实场景，层层递进构建知识支架，帮助学生实现从具体到抽象的思维跃迁。 本资料突出数学建模与逻辑推理的核心素养，以“方案对比”“运输决策”等典型例题强化模型意识和运算能力，借助图像信息解读发展几何直观。课堂练习贴近生活，引导学生用数学语言表达选择策略，提升应用意识与实践能力。对学生而言，深化了对函数本质的理解，增强解决问题的信心；对教师而言，提供了可直接使用的结构化教学范式，助力落实新课标理念。

5.4 用一次函数解决问题（2） 【教学目标】 1. 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式.通过用一次函数表达数量变化及其关系的过程，体会模型思想. 2. 能用一次函数解决简单实际问题，在这样的过程中，感悟数学具有抽象性、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值. 3. 通过经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力. 【教学重难点】 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式，用一次函数解决简单实际问题 【教学过程】 1、 创设情境： 探究活动：某销售公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同. （1）推销产品数量多少件时，方案一、方案二的月报酬相等？ （2）推销产品数量多少件时，方案一的月报酬比方案二少？ （3）推销产品数量多少件时，方案二的月报酬比方案一少？ 二、典型例题： 例1、某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下： 运输方式 速度/（千米/时） 途中综合费用/（元/时） 装卸费用/元 汽车 60 270 200 火车 100 240 410 （1）请分别写出汽车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数表达式； （2）你认为哪种运输方式好？ 例2、根据图中的函数图像，说出x、y变化过程的实际意义. 三、课堂练习： 1．如图，分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所骑行的路程与时间之间的关系，则他们骑行的速度关系是（   ） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙两人一样快 D．无法确定 2．如图，正方形放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，已知点的坐标分别为，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，将绕点A逆时针方向旋转得到，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 5．小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发 时两人相遇， 先到达B地． 6．一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 7．某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 8．已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住满． （1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 间，双人客房 间； （2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 元． 9．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 10．应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 11．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 12．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 13．随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为 (1)如图是与x之间函数关系的图象，请根据图象填： ； ． (2)求出与之间的函数关系式 ． (3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 参考答案 1．A 2．B 解：如答图，过点作轴于点，过点作轴于点， 因为四边形为正方形， 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以， 同理可证，得， 所以， 所以， 所以点的坐标为，点的坐标为． 将点和分别代入， 解得和， 所以当时，直线与线段有交点， 故选：B． 3．A 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故选：A． 4．B 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 5． 20 爸爸 解：由图象可得，在小冬出发时两人相遇，爸爸先到达B地． 故答案为：20；爸爸． 6． 解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 7．10 解：根据题意设线段的函数解析式为， 将代入得， ， ∴线段的函数解析式为， ∵，轴， ∴， 设的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴第天该植物的高度为厘米． 故答案为：． 8． 12 7 5100 解：（1）设租住了三人客房间，双人客房间． 根据题意，得，解得， 故答案为：12，7． （2）设租住了三人客房间，那么租住了双人客房间． 则住宿费用为偶数，且， 随的增大而减小， 当时，最小，． 此时，租住双人客房的间数为（间． 故答案为：5100． 9．/ 解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 10．（1）将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. （2）由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． （3）选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 11．（1）解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． （2）解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 12．（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 13．（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：10，50； （2）解：由图象知：，，超时费（元/h）； 当时，， 故答案为：； （3）解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 依题意，当时，， ， ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算． 2 学科网（北京）股份有限公司 $