第17讲 常量与变量和认识函数（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

本初中数学讲义聚焦常量与变量、函数概念及表示这一核心内容，系统梳理常量与变量的相对性（如s=vt中不同条件下的常量变量），函数定义（x每确定值y唯一确定），三种表示方法（解析、列表、图象）及特点，函数值求法，自变量取值范围（整式、分式、二次根式等情况），为后续函数学习搭建基础。 该资料特色在于知识梳理用表格对比（如常量变量举例、三种表示方法优缺点），题型分层（从基础表格关系到动点问题），分层强化题量多样。通过“敲黑板”实例培养抽象能力，动点问题图象分析发展推理意识，实际情境题（邮资、声速）提升应用意识，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

第17讲 常量与变量和认识函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 常量、变量的概念 2. 函数的概念 3. 函数的三种表示方法 4. 函数值 5. 函数中自变量的取值范围 题型巩固 一、用表格表示变量间的关系 二、用关系式表示变量间的关系 三、用图象表示变量间的关系 四、函数的概念 五、函数解析式 六、求自变量的取值范围 七、求自变量的值或函数值 八、函数的三种表示方法 九、函数图象识别 十、从函数的图象获取信息 十一、用描点法画函数图象 十二、动点问题的函数图象 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（5） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1. 常量、变量的概念 定义 举例 常量 在一个过程中，固定不变的量称为常量. 在圆周长的计算公式 C=2πr 中， 2π 是常量， r , C 是变量. 变量 在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量. 敲黑板 变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是“在某一过程中”，因为同一个量在某一过程中是常量，而在另一过程中可能就是变量，所以变量与常量是由问题的条件决定的.如在 s=vt中，当 s 一定时, v， t是变量, s是常量；当 t一定时， s, v是变量，t 是常量. 知识点2.函数的概念 函数：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x的函数，x叫做自变量. 概念深化 函数具有顺序性，如函数 y=x+1中， y是 x 的函数, x 是自变量；函数 x=y−1 中， x是 y的函数, y是自变量. 敲黑板 对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量 x的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应. 知识点3.函数的三种表示方法 三种常用的表示函数的方法，如下表所示： 表示法 定义 优点 缺点 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系. 从函数关系式中不易直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式表示. 列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法. 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出函数的变化规律. 图象法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法. 能直接、形象地反映出函数关系变化的趋势. 由自变量的值常常难以找到准确的对应函数值. 三种表示方法对比如下表： 知识点4. 函数值 1.函数值：对于自变量 x的一个值，函数 y的对应值称为函数值. x取不同的值，函数值可能不相等，因此应该说明当自变量 x取什么值时的函数值. 2.求函数值的方法 （1）若函数用列表法表示，则函数值可以通过观察表格得到. （2）若函数用解析法表示，则只需把自变量的值代入函数的关系式中，就能得到相应的函数值，即用代入法求函数值 （3）若函数用图象法表示，则对给出的自变量的值 ，只要过点 (,0) 作一条垂直于 x 轴的直线，这条直线与图象的交点 P(,)的纵坐标就是当自变量 x = 时的函数值，即 y=. 知识点5. 函数中自变量的取值范围 在函数式中，自变量的取值要使函数式有意义，常见的函数式及自变量的取值范围如下表： 在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式. y=2x²−1 （ x 为全体实数） 全体实数. 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上. y=(x≠−1) 使分母不为0的实数. 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子. y=(x≥3) 使被开方数大于或等于0的实数. 自变量是零次幂（负整数次幂）的底数 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂. y=(x≠0) , y=+1(x≠0) 使幂的底数不为0的实数. 综合型 y=(x>−1) 使各部分都有意义的实数的公共部分. 题型巩固 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 某人投寄平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度之间的关系如下： 温度/ 0 5 10 15 20 声速/（m/s） 331 334 337 340 343 从表中可知声速y随温度x的增大而 ．在温度为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2s后，听到了枪声，则由此可知，这个人距离发令枪 m． 3．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 题型二、用关系式表示变量间的关系 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．常量是指永远不变的量 B．具体的数一定是常量 C．字母一定表示变量 D．球的体积公式，变量是π，r 5．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是 ． 6．指出下列关系式中的常量和变量： (1)； (2)． 题型三、用图象表示变量间的关系 7．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（   ）    A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 8．一港口受潮汐的影响，某天小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） 小时． 9．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 题型四、函数的概念 10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）下列四个等式中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 11．圆周长公式中，变量是 ． 12．下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 题型五、函数解析式 13．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 14．一个等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为，则与之间的函数关系式是 ，定义域是 . 15．滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行分钟时离终点的路程为米． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）滑行多长时间时，滑车离终点1米? 题型六、求自变量的取值范围 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．函数中的自变量的取值范围是 ． 18．已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求自变量x的取值范围． 题型七、求自变量的值或函数值 19．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（时）可用公式（N是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 （时）． 21．在国内投寄平信应付邮资如表： 信件质量x（克） 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答： ①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义． ②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？ 题型八、函数的三种表示方法 22．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 23．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 24．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 题型九、函数图象识别 25．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 26．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 27．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 题型十、从函数的图象获取信息 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 29．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 30．（24-25八年级上·浙江·期末）某校组织八年级学生前往劳动基地开展实践活动．现有甲，乙两辆旅游车同时从学校前往劳动基地，全程180千米．已知行驶过程中乙车全程以80千米/小时的速度驶向劳动基地，甲车因故停留一段时间后提高速度继续驶向劳动基地，最后两车同时到达劳动基地．若两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求甲车停车前与停车后的行驶速度． (2)两车何时相距25千米？ 题型十一、用描点法画函数图象 31．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 32．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 33．设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示﹣3的点的距离为y． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）画出这个函数的图象． 题型十二、动点问题的函数图象 34．（24-25八年级上·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，动点P在上从点C向终点A匀速运动，同时，动点Q在上从点A向终点B匀速运动，它们同时到达终点．设，，则y关于x的函数表达式是 ． 36．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 分层强化 一、单选题 1．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 3．已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 4．某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如下表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是（   ） 凳子的数量n（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度h（厘米） 52 57 62 67 A． B． C． D． 5．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 6．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 7．小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 9．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 10．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．函数的自变量x的取值范围是 ． 12．若函数，则当函数值时，自变量的值为 ． 13．有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 14．甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 15．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 三、解答题 16．某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题： (1)机动车行驶__________小时后，在途中加油站加油__________升． (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有300千米，车速为60千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 17．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 18．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 19．如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 20．某省慈善总会采购了一批医用物资捐给上海，为了找到合适的配送车辆，相关人员查阅资料，了解某种车的耗油量，其数据记录如下表： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …… 油箱剩余油量Q（升） 100 95 90 85 …… (1)如表反映的两个变量中，自变量是 ． (2)根据表可知，汽车行驶3小时，该车油箱剩余油量为 升，汽车每小时耗油 升． (3)用t表示汽车行驶时间，用Q表示油箱剩余油量，请直接写出两个变量之间关系式． (4)当行驶时间为时，汽车剩余油量多少？ 21．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 22．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 23．受疫情的影响，各类学校纷纷延迟开学时间，教育部提倡“停课不停教，停课不停学”的在线教学方式．寒假期间，线上教育的用户使用量猛增，现“钉钉”平台整理出“线上教学”项目投入资金及预计利润如表： 投入资金（亿元） 预计利润（千万元） (1)反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)预计获得千万元的利润，投入资金应为______亿元． (3)如果公司可以拿出亿元进行“线上教学”项目的投资，预计利润是多少？说说理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 常量与变量和认识函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 常量、变量的概念 2. 函数的概念 3. 函数的三种表示方法 4. 函数值 5. 函数中自变量的取值范围 题型巩固 一、用表格表示变量间的关系 二、用关系式表示变量间的关系 三、用图象表示变量间的关系 四、函数的概念 五、函数解析式 六、求自变量的取值范围 七、求自变量的值或函数值 八、函数的三种表示方法 九、函数图象识别 十、从函数的图象获取信息 十一、用描点法画函数图象 十二、动点问题的函数图象 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（5） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1. 常量、变量的概念 定义 举例 常量 在一个过程中，固定不变的量称为常量. 在圆周长的计算公式 C=2πr 中， 2π 是常量， r , C 是变量. 变量 在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量. 敲黑板 变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是“在某一过程中”，因为同一个量在某一过程中是常量，而在另一过程中可能就是变量，所以变量与常量是由问题的条件决定的.如在 s=vt中，当 s 一定时, v， t是变量, s是常量；当 t一定时， s, v是变量，t 是常量. 知识点2.函数的概念 函数：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x的函数，x叫做自变量. 概念深化 函数具有顺序性，如函数 y=x+1中， y是 x 的函数, x 是自变量；函数 x=y−1 中， x是 y的函数, y是自变量. 敲黑板 对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量 x的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应. 知识点3.函数的三种表示方法 三种常用的表示函数的方法，如下表所示： 表示法 定义 优点 缺点 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系. 从函数关系式中不易直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式表示. 列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法. 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出函数的变化规律. 图象法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法. 能直接、形象地反映出函数关系变化的趋势. 由自变量的值常常难以找到准确的对应函数值. 三种表示方法对比如下表： 知识点4. 函数值 1.函数值：对于自变量 x的一个值，函数 y的对应值称为函数值. x取不同的值，函数值可能不相等，因此应该说明当自变量 x取什么值时的函数值. 2.求函数值的方法 （1）若函数用列表法表示，则函数值可以通过观察表格得到. （2）若函数用解析法表示，则只需把自变量的值代入函数的关系式中，就能得到相应的函数值，即用代入法求函数值 （3）若函数用图象法表示，则对给出的自变量的值 ，只要过点 (,0) 作一条垂直于 x 轴的直线，这条直线与图象的交点 P(,)的纵坐标就是当自变量 x = 时的函数值，即 y=. 知识点5. 函数中自变量的取值范围 在函数式中，自变量的取值要使函数式有意义，常见的函数式及自变量的取值范围如下表： 在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式. y=2x²−1 （ x 为全体实数） 全体实数. 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上. y=(x≠−1) 使分母不为0的实数. 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子. y=(x≥3) 使被开方数大于或等于0的实数. 自变量是零次幂（负整数次幂）的底数 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂. y=(x≠0) , y=+1(x≠0) 使幂的底数不为0的实数. 综合型 y=(x>−1) 使各部分都有意义的实数的公共部分. 题型巩固 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 某人投寄平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系．观察表格中的数据，然后确定正确的选项即可． 【详解】解：由表格发现：当时，， 选项中克满足要求， 故选：C． 2．声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度之间的关系如下： 温度/ 0 5 10 15 20 声速/（m/s） 331 334 337 340 343 从表中可知声速y随温度x的增大而 ．在温度为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2s后，听到了枪声，则由此可知，这个人距离发令枪 m． 【答案】 增大 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】从表格可以看到随的增大而增大；时，音速为343米秒，距离为米． 【详解】解：从表格可以看到随的增大而增大， 时，音速为343米秒， 米， 这个人距离发令点米． 故答案为：增大，． 【点睛】本题考查变量之间的关系，能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键． 3．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定 (3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定 (4)为了节约能源，应在后停止烧水 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键． （1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出答案即可． 【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量， 答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定， 答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定； （3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定， 答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定 （4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水， 答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水． 题型二、用关系式表示变量间的关系 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（　　） A．常量是指永远不变的量 B．具体的数一定是常量 C．字母一定表示变量 D．球的体积公式，变量是π，r 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量的定义及判断，根据保持不变的量叫常量，发生改变的量叫变量直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：常量是在一定条件下不变的量，故A选项错误， 具体的数一定是常量，故B选项正确， 字母不一定表示变量，故C选项错误， 球的体积公式，变量是r，V，故D选项错误， 故选：B． 5．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系、图形类规律探索 【分析】通过观察图形可知，x节链条一共有个重叠的地方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，   故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 6．指出下列关系式中的常量和变量： (1)； (2)． 【答案】(1)常量：；变量：x和y (2)常量：；变量：S和r 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据常量和变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】（1）解：在关系式中，常量：；变量：x和y； （2）解：在关系式中，常量：；变量：S和r． 【点睛】本题考查常量和变量的定义，理解变量和常量的意义是解题的关键． 题型三、用图象表示变量间的关系 7．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（   ）    A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】根据路程、速度与时间的关系结合图象逐项分析判断即可. 【详解】解：A、A地与B地之间的距离是180千米，故本选项说法正确； B、前3小时汽车行驶的速度是千米/时，故本选项说法正确； C、从图象可得：汽车中途共休息了两次，一次休息了3小时，另一次休息时间不明确，故本选项说法错误； D、汽车返回途中的速度是千米/时，故本选项说法正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确理解题意、从图象中获取解题所需要的信息是关键. 8．一港口受潮汐的影响，某天小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） 小时． 【答案】 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】从图像上找到当水深为米的两个时间相减即可得到本题的答案． 【详解】解：当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港． 水深度即船底与水面的距离为米的轮船在水深为米时才可以通航， 从图像可知水深为米的时间为时和时， 进出该港口的时间为小时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念． 9．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)距离与时间，超市离家900米 (2)20分钟，35分钟 (3)在超市购物或休息 (4)45米/分钟，60米/分钟 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟； （3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）； （4）根据速度路程时间进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟； （3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息； （4）小明到超市的平均速度是米/分钟； 返回的平均速度是米/分钟． 题型四、函数的概念 10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）下列四个等式中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了函数的定义，解题的关键是：熟练掌握函数的定义． 【详解】解： 、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意， 、对于每一个确定的值，都有唯一确定的的值与之对应，符合题意， 、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意， 、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意， 故答案为：． 11．圆周长公式中，变量是 ． 【答案】和 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义， 根据函数的意义可知：变量是改变的量，据此即可确定变量． 【详解】解：在圆的周长公式中，与是改变的，是变量， 变量是，， 故答案为：和． 12．下列各式中，是否是的函数？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，对于其中一个变量的任意取值（取值范围内），另一个变量都有唯一的值与之对应，那么就是的函数，熟知函数的定义是解题的关键． （1）根据函数的概念进行求解即可； （2）根据函数的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，对于任意的的值，都有唯一的值与之对应， ∴是的函数； （2）解：∵在中，对于任意一个正数的值，都有两个值与之对应， ∴不是的函数． 题型五、函数解析式 13．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了列函数关系式；根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 14．一个等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为，则与之间的函数关系式是 ，定义域是 . 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】等腰三角形的底边长=周长-2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值． 【详解】∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为20， ∴y=20-2x， ， 解得5＜x＜10． 故答案为y=20-2x；5＜x＜10． 【点睛】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式；判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点． 15．滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行分钟时离终点的路程为米． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）滑行多长时间时，滑车离终点1米? 【答案】（1）；（2） 【知识点】函数解析式 【分析】（1）先求得的范围，根据题意，列出关于的函数关系式， （2）根据（1）的关系式，将代入求解即可． 【详解】解：（1） 由题意，得； 关于的函数关系式为 （2）当时，， 解得， 答：滑行分钟时，滑车离终点1米． 【点睛】本题考查了变量与关系式，理解题意，列出关系式是解题的关键． 题型六、求自变量的取值范围 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 17．函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围 【详解】由题意得，解得：且， 故答案为且. 18．已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的周长公式可得，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y， ， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：由题意可得，解得，    ∵x，x，y构成三角形的三边， ∴， 即， 解得．    综上可知，自变量x的取值范围是． 题型七、求自变量的值或函数值 19．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解． 【详解】根据题意得：2x+3⩾0， 解得. 故自变量x的取值范围是. 故选B. 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义. 20．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（时）可用公式（N是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 （时）． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查常量与变量的概念，把13代入计算即可． 【详解】根据题意： 故答案为：． 21．在国内投寄平信应付邮资如表： 信件质量x（克） 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答： ①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义． ②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？ 【答案】（1）y是x的函数；（2）①3.60，实际意义见解析；②大于20克，且不超过40克 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据函数的定义判断即可． （2）①②利用表格求出对应的函数值即可． 【详解】解：（1）y是x的函数， 理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应； （2）①当x=48时，y=3.60， 实际意义：信件质量为48克时，邮资为3.60元； ②邮资为2.40元，信件质量大约为大于20克，且不超过40克． 【点睛】本题考查了函数的概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型八、函数的三种表示方法 22．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 23．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 24．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 【答案】(1)自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件） (2) (3)该商品的日销量为（件） 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：； （3）该商品的日销量为（件）． 【点睛】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 题型九、函数图象识别 25．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象识别 【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯一y值与之对应”进行判断即可．本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是； 其中选项A、B、C有且只有一个交点，故不符合题意， 而选项D中存在有两个交点的情况，故符合题意， 故选：D． 26．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 27．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】函数图象识别 【分析】（1）根据图像可知食堂离小明家∶，小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶． （3）根据路程除以时间计算即可． 【详解】（1）由图可知： 食堂离小明家∶， 小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知： 小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶ ． （3）图书馆离小明家∶ ， 小明从图书馆回家的平均速度∶ ． 【点睛】此题考查了距离与时间图像问题，解题的关键是读懂图像信息． 题型十、从函数的图象获取信息 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的时间，根据两次休息时间相同且跑步速度始终不变，即可求解． 【详解】解：由题意，小明跑步速度为（米/分钟）， 跑步返回家中所用的时间为（分钟）， ∴小明每次休息的时间为（分钟）， 故选：B． 29．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键． ①当时，，可得出A、B之间的距离为；②根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1．5倍；③根据路程二者速度和运动时间，即可求出；④根据甲走完全程所需时间两地间的距离÷甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，， ∴A、B之间的距离为，故结论①正确； ②乙的速度为， 甲的速度为， ∵ ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论②正确； ③，故结论③错误； ④，故结论④错误． 故结论正确的有①②． 故答案为：①②． 30．（24-25八年级上·浙江·期末）某校组织八年级学生前往劳动基地开展实践活动．现有甲，乙两辆旅游车同时从学校前往劳动基地，全程180千米．已知行驶过程中乙车全程以80千米/小时的速度驶向劳动基地，甲车因故停留一段时间后提高速度继续驶向劳动基地，最后两车同时到达劳动基地．若两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求甲车停车前与停车后的行驶速度． (2)两车何时相距25千米？ 【答案】(1)100千米/小时 (2)或时，两车相距25千米 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． （1） 由(千米/小时)，可知甲车停车前的行驶速度为60千米/小时；求出乙车从学校到劳动基地所需时间为(小时)，根据(千米/小时)，知停车后的行驶速度为100千米/小时； （2）①甲车停车时(小时)；②当甲车停车后，可得，可得当时，两车相距25千米． 【详解】（1）解：(千米/小时)， ∴甲车停车前的行驶速度为60千米/小时； 根据已知，乙车从学校到劳动基地所需时间为(小时)， 两车同时到达劳动基地，甲车出发后2.25小时到劳动基地， (千米/小时)，停车后的行驶速度为100千米/小时； （2）解：①甲车停车时，乙车行驶(千米)，两车相距25千米， (小时)， ∴当时，两车相距25千米； ②当甲车停车后，， 解得， ∴当时，两车相距25千米； 综上所述，或时，两车相距25千米． 题型十一、用描点法画函数图象 31．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 32．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【知识点】用描点法画函数图象 【解析】略 33．设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示﹣3的点的距离为y． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）画出这个函数的图象． 【答案】（1）y；（2）答案见解析． 【知识点】坐标与图形、用描点法画函数图象 【分析】（1）首先根据题意表示出y，然后进行化简即可； （2）列表，描点，划线即可． 【详解】（1）由题意得：y=|x﹣（﹣3）|=|x+3|， 即y； （2）列表： 函数图象如图， 【点睛】本题主要考查函数及其图像，掌握函数图象的画法是解题的关键． 题型十二、动点问题的函数图象 34．（24-25八年级上·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， 开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大； 接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐减小； 选项符合题意， 故选：． 35．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，动点P在上从点C向终点A匀速运动，同时，动点Q在上从点A向终点B匀速运动，它们同时到达终点．设，，则y关于x的函数表达式是 ． 【答案】/ 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据点P和点Q同时到达终点，得出和之间的数量关系，求出运动时间t，最后根据即可进行解答． 【详解】解：设点P的运动速度为，点Q的运动速度为，时间为t， ∵，， ∴， ∵点P和点Q同时到达终点， ∴，即，整理得： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一次函数表达式，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出自变量和因变量之间的关系． 36．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 【答案】(1)，14，10 (2)点的运动时间为或． 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 分层强化 一、单选题 1．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 3．已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，且 ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查求函数解析式及自变量x的取值范围，根据题意列等量关系式及根据实际有意义求取值范围是解题的关键． 4．某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如下表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是（   ） 凳子的数量n（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度h（厘米） 52 57 62 67 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数关系式．由表格中的数据可知，每增加一个凳子，增加的高度是5厘米，据此作答即可． 【详解】解：由表格中的数据可得， ， ⋯⋯ 由此，凳子按图中的方式叠放在一起，凳子总高度与数量满足的函数关系， 故选：D． 5．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，变化的量为变量，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，单价是固定不变的，金额随着油量的变化而变化； 故金额和油量为变量； 故选：D． 6．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 7．小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一次函数的应用、不等式的应用等知识，正确地用代数式表示三角形的周长，根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键． 由周长为的等腰三角形，则底边长，腰长得，则，由三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵周长为的等腰三角形，则底边长，腰长， ∴， 整理得， 根据三角形的三边关系得， 解得， 故选：D． 8．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 9．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 11．函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能等于0得：， 解得， 所以函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 12．若函数，则当函数值时，自变量的值为 ． 【答案】或 【分析】将分别代入函数解析式，求出x的值，然后根据取值范围得出x的值． 【详解】解：当时，则时， 解得：，   ∵，   ∴； 当时，时， 解得：，符合题意， ∴综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型．根据取值范围确定自变量的值是解题的关键． 13．有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 【详解】解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， 14．甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【答案】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据函数图象求出两人的速度，求出小华到达乙地时，小明的路程，根据第二次相遇为小华追上小明，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图可知：小明的速度为：； 小华的速度为：， ∴当小华到达乙地时，小明的路程为：， 由题意，得：，解得：； 故答案为：． 15．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，结合函数图象可得的值，再利用勾股定理求出的值，即可求出的面积和周长． 【详解】解：根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0， 由函数图象可得当时，的面积最大， ， 当时，的面积为0，此时，P点运动到C点，重合， ， ∴在中，， ∴， ∴的面积为，周长为． 故答案为：，． 三、解答题 16．某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题： (1)机动车行驶__________小时后，在途中加油站加油__________升． (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有300千米，车速为60千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)5，24 (2) (3)够用，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象的应用，函数关系式，有理数加、减、乘、除的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油升，计算求解即可； （2）由图可知，出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升），则每小时耗油量为（升），进而可求函数关系式； （3）由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米），由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由图得机动车行驶5小时后，在途中加油站加油（升）， 故答案为：5，24． （2）解：出发前油箱内余油量为42升，行驶5小时后余油量为12升，共用去（升）， ∴每小时耗油量为（升）， ∴； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米）， ∵， ∴油箱中的油够用． 17．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据图像可知食堂离小明家∶，小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶． （3）根据路程除以时间计算即可． 【详解】（1）由图可知： 食堂离小明家∶， 小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知： 小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶ ． （3）图书馆离小明家∶ ， 小明从图书馆回家的平均速度∶ ． 【点睛】此题考查了距离与时间图像问题，解题的关键是读懂图像信息． 18．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 【答案】(1) (2) (3)这台拖拉机已工作了5个小时 【分析】本题主要考查函数的解析式，熟练掌握函数的相关概念是解题的关键． （1）根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”即可得出其函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算求解即可； （3）把代入（1）中函数关系式计算求解即可． 【详解】（1）解：根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”得：， ∴油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式为； （2）解：当时，， 所以，当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是 （3）解：当时，， 解得：， ∴这台拖拉机已工作了5个小时． 19．如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【答案】(1)正 (2)香蕉 (3)4x， 【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算． （1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例． （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价． （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可． 【详解】（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例； （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉； （3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元， 买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉； 故答案为：，． 20．某省慈善总会采购了一批医用物资捐给上海，为了找到合适的配送车辆，相关人员查阅资料，了解某种车的耗油量，其数据记录如下表： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …… 油箱剩余油量Q（升） 100 95 90 85 …… (1)如表反映的两个变量中，自变量是 ． (2)根据表可知，汽车行驶3小时，该车油箱剩余油量为 升，汽车每小时耗油 升． (3)用t表示汽车行驶时间，用Q表示油箱剩余油量，请直接写出两个变量之间关系式． (4)当行驶时间为时，汽车剩余油量多少？ 【答案】(1)汽车行驶时间t (2)85，5 (3) (4)75升 【分析】（1）根据表格直接解答即可； （2）根据图表可直接读取汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量，再根据汽车每小时耗油=汽油消耗量÷时间即可得到答案； （3）根据表格中的数据直接写出函数关系式即可； （4）把代入（3）中关系式计算即可． 【详解】（1）根据表格可知，自变量是汽车行驶时间t，因变量是油箱剩余油量Q， 故答案为：汽车行驶时间t； （2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为85升， ∵汽车每小时耗油为（升）， 故答案为：85，5； （3）∵汽车每小时耗油为5升， ∴两个变量之间的关系式为． （4）当时， ． ∴当行驶时间为时，汽车剩余油量为75升． 【点睛】本题考查函数的表示方法，根据表格中的数据准确找出变量之间的关系是解答此题的关键． 21．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，14，10 (2) (3)或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）根据（1）中数据求出，再根据即可解答； （3）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）由（1）知，点H在线段上运动时，，， 此时，， ； （3）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 22．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式． （1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可； （2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可； （3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 23．受疫情的影响，各类学校纷纷延迟开学时间，教育部提倡“停课不停教，停课不停学”的在线教学方式．寒假期间，线上教育的用户使用量猛增，现“钉钉”平台整理出“线上教学”项目投入资金及预计利润如表： 投入资金（亿元） 预计利润（千万元） (1)反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)预计获得千万元的利润，投入资金应为______亿元． (3)如果公司可以拿出亿元进行“线上教学”项目的投资，预计利润是多少？说说理由． 【答案】(1)反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量 (2)5 (3)2.1千万元，理由见解析 【分析】（1）根据函数的定义即可求解； （2）根据表格数据即可求解； （3）从表格数据看，与之间的关系为，进而求解． 【详解】（1）解：反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量； （2）解：从表格数据看，如果预计获得千万元的利润，投入资金应为亿元， 故答案为； （3）解：从表格数据看，与之间的关系为， 当时，， 故预计利润是千万元． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是列出函数关系式. 学科网（北京）股份有限公司 $