精品解析：重庆市育才中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

重庆市育才中学高2027届高二（上）期中考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名､准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 4. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 49 5. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 7. 如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列是递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 10. 已知圆和直线，点为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心到直线的距离为 B. 若直线与平行，且与圆相切，则直线与的距离为 C. 切线长的最小值为4 D. 的最大值为 11. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 第卷 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线，若，则实数__________. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为__________. 14. 已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 16. 已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于两点，且，求的值. 17. 已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 18. 如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且 （1）若点为线段的中点时，证明：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市育才中学高2027届高二（上）期中考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名､准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间点的坐标定义直接可得. 【详解】根据空间点的坐标定义可知，点到平面的距离等于其纵坐标的绝对值， 所以点到平面的距离为2. 故选：A 2. 已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率确定方向向量. 【详解】直线方程为，斜率为2， 选项A中，选项B中，选项D中， 选项C中斜率为. 所以该直线的一个方向向量为C. 故选：C. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆外切列方程求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由题意知，圆与圆外切，且， 所以，解得. 故选：C 5. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】令得，将题设问题转化成直线与圆相切截距的解即可由点到直线距离公式计算求解. 【详解】由化为， 则点为圆心为、半径为的圆上的点， 令，则， 则的最大值为直线在y轴上的截距的最小值， 点为直线与圆的交点， 则当直线与圆相切时截距取得最值， 令圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值是. 故选：C 7. 如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D 8. 已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列是递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 10. 已知圆和直线，点为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心到直线的距离为 B. 若直线与平行，且与圆相切，则直线与的距离为 C. 切线长的最小值为4 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可判断A；根据与直线平行且与圆相切的直线有两条可判断B；根据，结合圆心到直线的距离可判断C；分析取最小值的条件，结合二倍角公式和数量积定义求解可判断D. 【详解】对A，将圆化为标准方程得，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，正确； 对B，直线与平行，且与圆相切时，直线与的距离等于， 即或，错误； 对C，由切线定理可知，， 又的最小值即为圆心到直线的距离，所以，正确； 对D， 在中，， 由余弦函数单调性可知，当最小时，取得最小值，此时取得最小值， 此时，， 所以的最大值为，正确. 故选：ACD 11. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线定义判断即可；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，所以，正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 因为（证明见后）， 所以，即， 因为抛物线的焦点弦中通径最短，且直线的斜率不存在时取得最小值， 所以直线的斜率不存在时，的面积最小， 又，所以此时取得最小值， 所以，正确； 对于D，当直线的斜率不存在时，， 满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以，所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， ，，所以， 所以， 因为，，所以， 因为，所以， ，所以， 同理， 令，则， 因为，所以， 所以， 所以， 其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 第卷 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线，若，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为：2 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程求出倾斜角，然后求出焦点三角形的内角，利用余弦定理建立关于的齐次式即可得解. 【详解】将代入得，所以直线过左焦点， 由题知，，所以， 所以，所以，故， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍去）. 故答案为： 14. 已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的轨迹方程，作出圆关于轴对称的圆，转化为求两圆上的动点之间的距离的最小值问题，结合图形分析即可. 【详解】设点，因为，所以， 整理得，表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为. 记点关于轴的对称点为，则点在圆， 圆的圆心为，半径为， 则， 当且仅当五点共线，且在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距之和等于0，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的截距式方程为，根据已知列方程组求解即可； （2）求出的垂直平分线方程，联立直线的方程求出圆心坐标，然后求半径即可得到标准方程. 【小问1详解】 因为直线不过原点，所以在两坐标轴上的截距不为0，设方程为， 由题知，解得， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以的中点坐标为，， 所以的垂直平分线斜率为，方程为，即， 联立，解得，即圆心， 由两点间距离公式可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 16. 已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于两点，且，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义列方程求出可得方程； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去，根据向量关系和韦达定理求出，然后代入数量积计算可得. 【小问1详解】 由抛物线定义可得，，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，点，点， 联立得， 则，， 因为，所以，所以， 联立解得或， 所以， 所以， 又， 所以. 17. 已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 【答案】（1） 依题意，设，，， 则， 两式相减可得，即，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用点差法计算可得； （2）首先求出，由离心率求出，即可求出，从而求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出交点、，代入双曲线方程求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为圆，所以， 所以， 又双曲线的离心率为，即，所以， 则双曲线，又，所以， 因为是圆的一条直径， 所以直线的方程为，即， 由，解得或，即，， 又点在双曲线上，所以， 解得， 所以双曲线的方程为. 18. 如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且 （1）若点为线段的中点时，证明：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 因为为矩形，分别是的中点，所以， 所以，所以为二面角的平面角， 所以，又，所以为正三角形，故为正三角形， 因为，平面，， 所以平面，所以为正三棱柱， 记的中点分别为，连接，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设， 则， 若点为线段的中点，即时，， 易知是平面的一个法向量， 因为，且直线在平面外，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记的中点分别为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量关系证明即可； （2）根据向量的模长公式求出的长度最小时的，确定的坐标，然后求出平面法向量，根据向量夹角公式求解可得； （3）求出直线的方向向量和平面的法向量，表示出线面角的正弦值，结合二次函数性质求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 , 所以，当时，的长度取得最小值，此时， 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 令，则， 即， 记平面与平面的夹角为，则. 【小问3详解】 设为平面的法向量， 则， 令，得，即， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当，即时，取得最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式可得长度为定值，进而得到轨迹是圆，求解轨迹方程；（ii）根据圆的对称性将平行四边形面积转化为三角形面积，分情况利用基本不等式求弦长范围，进而得到面积范围，求出答案即可. 【小问1详解】 由题意得椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得，解得， 则可得椭圆. 【小问2详解】 是定值，理由如下： 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，, 则，， 因为，所以， 则，解得， 可得，此时点的轨迹为圆，方程为， 如图，作出符合题意的图形，当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得， 解得，而， 则由点到直线的距离公式得. 此时点的轨迹为圆，方程为， 综上可得，点的轨迹为圆，方程为. （ii）如图，作出符合题意的图形， 由题意得平行四边形即为符合题意的平行四边形，设其面积为 由平行四边形性质结合圆的对称性得 ， 由（i）可知：当直线的斜率不存在时，， 而，则， 此时， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立， 而，则，即， 则，此时，故， 综上可得，，即该平行四边形的面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $