第七章复数章末测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第7章　 复数 【章末测试】 单项选择题 1.[2025深圳外国语学校高一期中]若复数z1=1+i,z2=3-2i,则z1+z2=(　　) A.4+i B.2-3i C.4-i D.-2+3i 2.[2025辽宁省实验中学高一期末]若复数z=a2-a-6+(a-3)i(a∈R)为纯虚数,则(　　) A.a=3 B.a=-2 C.a=-2或a=3 D.a≠3且a≠-2 3.[2023新课标Ⅰ卷]已知z=,则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 4.[2024天津市河北区高一期中]如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1-z2|的值为(　　) A. B.2 C.2 D. 5.[2025贵阳一中高一期末]已知复数z1,z2,则“=”是“|z1|=|z2|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2025菏泽一中高一月考]若=x+yi(a,x,y∈R),且xy>1,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(,+∞) D.(2,+∞) 7.[2025成都七中高一月考]已知复数z满足(i2 026+i1 011)z=4i2 025,则z+的实部与虚部的和为(　　) A.- B.-2 C. D.2 8.[2025合肥一中期中改编]已知复数z1=1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,若复数z满足|z-z1|=|p-q|,复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M,则图形M的面积为(　　) A.π B.4π C.16π D.25π 多项选择题 9.[2024济宁一中高一期中]已知复数z1=1-2i,z2=i(2-i),z3=,则(　　) A.=4i B.复数z2在复平面上对应的平面向量的坐标为(2,1) C.|z2|=5|z3| D.复数z3在复平面上对应的点在虚轴上 10.[2025六安一中高一阶段测试]已知复数z,,在复平面内对应的点分别为A,B,C,其中点A在第一象限,且原点O是△ABC的外心,则下列说法正确的是(　　) A.点B一定在第四象限 B.点C可能在第三象限  C.|z|=2 D.若∠BAC=,则△ABC的面积为2 11.【数学文化】[2025天一中学高一期中]欧拉公式exi=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式,下列选项正确的是(　　) A.eπi为纯虚数 B.复数的模为 C.(cos+isin)(cos+isin)·…·(cos+isin)=i D.-+1在复平面内对应的点位于第四象限 填空题 12.【教材变式】[2025吉林一中模拟]已知复数z1,z2,z满足z1=1+2i,z2=3+4i,=+,则z=　　　　.  13.[2024北京一零一中开学考试]已知复数z1=1+2i,z2=,z3=-1-2i在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点,则这个正方形的第四个顶点所对应的复数z4=　　　　.  14.[2025上海卷]已知复数z满足z2=()2,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值是　　　　.  解答题 15.(13分)[2024广东省梅州市高一期末] (1)已知复数z=3+bi(其中i为虚数单位)满足|z-2i|=5,求实数b的值; (2)在复数范围内解方程:5x2-2x+1=0. 16.(15分)[2025武汉二中高一期中]已知复数z=a+bi(a,b∈R),且z+2i和均为实数,其中i是虚数单位,复数z在复平面内对应的点为Z. (1)求向量的坐标; (2)若z1=+-i在复平面内对应的点在第四象限,求实数m的取值范围. 17.(15分)[2025石家庄二中高一期中改编]已知复数z=a-2i(a∈R),且·(1+i)为纯虚数(是z的共轭复数). (1)求实数a的值; (2)设复数z1=a+mi,m∈R,且|z1|>|z|,求m的取值范围; (3)若复数z2满足|z2-ai|=1,则复数z2在复平面内对应点的轨迹是什么图形?求此图形的周长. 18.(17分)[2025芜湖一中高一月考]已知i为虚数单位,z1,z2是x2+mx+n=0(m,n∈R,Δ=m2-4n<0)的两个根. (1)设z1,z2满足方程z1+(1-i)z2=9+6i,求; (2)设z1=1+2i,复数z1,z2对应的向量分别是a与b,若向量ta-b与a+2b的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 19.(17分)【探索创新】[2024哈师大附中高一下开学考试]一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式,即其中r为复数z的模,θ是以x轴的非负半轴为始边,向量(Z为复数z在复平面内对应的点)所在射线为终边的角,叫做复数z的辐角,我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,记作arg z.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角形式. (1)设复数z1=r1(cos α+isin α),z2=r2·(cos β+isin β),求z1·z2,的三角形式; (2)设复数z3=1-cos θ+isin θ,z4=1+cos θ+isin θ,其中θ∈(π,2π),求arg z3+arg z4; (3)在△ABC中,已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明: ①==; ②a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A. 注:使用复数以外的方法证明不给分. 参考答案 1.C　z1+z2=1+i+3-2i=4-i. 2.B　复数z=a2-a-6+(a-3)i(a∈R)为纯虚数(纯虚数实部为0,虚部不为0),则解得a=-2. 3.A　因为z===-i,所以=i,所以z-=-i-i=-i. 4.C　先数形结合得出复数对应向量的坐标,再根据坐标求出模即可.由题图,可得=(-2,-1),=(0,1),所以-=(-2,-2),所以|z1-z2|=|-|===2. 5.A　=⇔-=0⇔(z1-z2)(z1+z2)=0⇔z1=z2或z1=-z2⇒|z1|=|z2|,充分性成立.取z1=+i,z2=i,此时|z1|=|z2|=1,但≠,必要性不成立.所以“=”是“|z1|=|z2|”的充分不必要条件. 6.A　由复数运算结合复数相等概念可得然后结合xy>1可得答案.因为=x+yi(a,x,y∈R),所以2+2ai=(x+yi)(1+i)=x-y+(x+y)i,所以(两复数相等,实部和虚部分别相等),解得因为xy>1,所以a2-1>1,解得a<-或a>. 7.A　因为i2 026=i506×4+2=i2=-1,i1 011=i252×4+3=i3=-i,i2 025=i506×4+1=i,所以(-1-i)·z=4i⇒z====-2-2i,所以复数z的共轭复数=-2+2i,z+=-2-2i+=-2-2i+=,所以z+的实部与虚部的和为--=-. 8.C　复数范围内解方程+复数减法的几何意义 思路导引　先由z1是方程的根求出p,q,然后由复数减法的几何意义求解即可. ∵z1=1+i是关于x的方程x2+px+q=(p,q∈R)的一个根,∴(1+i)2+p(1+i)+q=(p,q∈R),化简得(p+q)+(2+p)i=0,∴解得∴|z-z1|=|p-q|=|-2-2|=4.如图所示,在复平面内,  设复数z1=1+i表示的点为Z1,则z,z1表示的向量分别为和(O为坐标原点),则由复数减法的几何意义,复数z-z1表示的向量为-=,若|z-z1|=4,则||=4,∴图形M是以Z1为圆心,4为半径的圆,∴图形M的面积为S=π×42=16π. 9.AD　z1=1-2i,z2=i(2-i)=1+2i,z3====-i. A(√)===4i. B(✕)复数z2在复平面上对应的平面向量的坐标为(1,2). C(✕)|z2|==,|z3|=1,|z2|≠5|z3|. D(√)复数z3在复平面上对应的点为(0,-1),在虚轴上. 10.ACD　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,=+abi,所以A(a,b),B(a,-b),C(,ab). A(√)由题意知点A在第一象限,则a>0,b>0,所以点B一定在第四象限. B(✕)因为a>0,b>0,所以ab>0,点C不可能在第三象限. C(√)因为原点O是△ABC的外心,所以|z|=||=||,即|z|=,由题知|z|≠0,所以|z|=2. D(√)易知AB与y轴平行,若∠BAC=,则AC与x轴平行,z与的虚部相等,即b=ab,得a=1,又因为|z|=2,所以a2+b2=4,则b=,从而可得A(1,),B(1,-),C(-1,),|AB|=2,|AC|=2,所以S△ABC=|AB|×|AC|=2. 11.BCD　A(✕)由已知可得eπi=cos π+isin π=-1为实数. B(√)由已知可得===+i,所以||==). C(√)由已知可得cos+isin=,cos+isin=,…,cos+isin=,所以(cos+isin)·(cos+isin)·…·(cos+isin)=··…·===cos+isin=i. D(√)由已知可得=cos+isin=--i,=cos+isin=-+i,所以-+1=--i-(-+i)+1=1-i,在复平面内对应的点(1,-)位于第四象限. 12.i　由题意可得=+=+=+=-i+-i=-i,故z=====+i. 13.-2+i　复数的除法运算+复数的几何意义 思路导引　根据复数的除法运算求得z2,结合复数的几何意义可得z1,z2,z3对应的点,利用正方形的性质,根据向量相等,即可求得答案. 由z2====2-i,设复数z1=1+2i,z2=2-i,z3=-1-2i在复平面上分别对应点A(1,2),B(2,-1),C(-1,-2),设正方形的第四个顶点是D(x,y),则其对应的复数为z4=x+yi,x,y∈R,结合对应点的位置特征知=(关键点),又=(x-1,y-2),=(-3,-1),∴(x-1,y-2)=(-3,-1),∴x-1=-3,y-2=-1,∴x=-2,y=1,故这个正方形的第四个顶点对应的复数z4=-2+i. 14.2　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由z2=()2,可得(a+bi)2=(a-bi)2,即a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,故ab=0.由|z|≤1可得≤1,即a2+b2≤1. 方法一　当a=0时,b≤1,|z-2-3i|=|-2+(b-3)i|=,此时|z-2-3i|min ==2.当b=0时,a≤1,|z-2-3i|=|a-2-3i|=,此时|z-2-3i|min==.当a=0,b=0时,|z-2-3i|=|-2-3i|==.综上,|z-2-3i|的最小值为2. 方法二　设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),其中x=(-1≤y≤1)或y=(-1≤x≤1),表示两条相交线段.|z-2-3i|表示z在复平面内对应的点与点(2,3)的距离,作出图形如图,结合图知,当z在复平面内对应的点为(0,1)时,|z-2-3i|取到最小值,为=2. 15.【解析】 (1)因为z=3+bi,所以|z-2i|=|3+(b-2)i|==5,(4分) 所以b=6或b=-2.(6分) (2)因为Δ=(-2)2-4×5×1=-16<0, 所以方程的根为x==, 即x=或x=.(13分) 16.【解析】 (1)由z+2i=a+(b+2)i为实数,得b+2=0,则b=-2,(2分) 又===+i为实数, 所以=0,解得a=4.(5分) 因此z=4-2i,所以=(4,-2).(7分) (2)由(1)知,=4+2i,而z1=+-i,则z1=4++(2-)i,(9分) 又复数z1在复平面内对应的点(4+,2-)在第四象限, 于是即解得-2<m<或1<m<, 所以m的取值范围为(-2,)∪(1,).(15分) 17.【解析】 (1)因为z=a-2i(a∈R),所以=a+2i, 所以·(1+i)=(a+2i)·(1+i)=(a-2)+(a+2)i,(2分) 又·(1+i)为纯虚数,所以解得a=2.(5分) (2)由(1)可知z=2-2i,z1=a+mi=2+mi, 所以|z|==2,|z1|=.(7分) 因为|z1|>|z|,所以>2, 整理可得m2>4,解得m>2或m<-2. 所以m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).(10分) (3)因为|z2-ai|=1,即|z2-2i|=1,所以z2在复平面内对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.(13分) 此图形的周长为2π.(15分) 18.【解析】 (1)第一步:由题意设出z1,z2 由z1,z2是x2+mx+n=(m,n∈R,Δ=m2-4n<0)的两个根, 不妨设z1=a+bi(a,b∈R),易知z2=a-bi.(2分) 第二步:根据条件求出z1,z2 因为z1,z2满足方程z1+(1-i)z2=9+6i,则a+bi+(1-i)(a-bi)=9+6i, 化简可得2a-b-ai=9+6i, 所以解得 所以z1=-6-21i,z2=-6+21i.(6分) 第三步:结合根与系数的关系得m,n的值,得结果 所以z1+z2=-m=-12,z1z2=n=(-6)2+212=477,即m=12,n=477. 所以==477.(8分) (2)第一步:由一元二次方程根的关系得z2 由z1=1+2i可得z2=1-2i.(9分) 第二步:根据复数的几何意义得向量a,b 因为复数z1,z2对应的向量分别是a与b,所以a=(1,2),b=(1,-2).(10分) 第三步:由夹角为钝角得t的取值范围 ta-b=t(1,2)-(1,-2)=(t-1,2t+2),a+2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2), 若向量ta-b与a+2b的夹角为钝角,则(ta-b)·(a+2b)<0,且ta-b与a+2b不共线, 即3t-3-4t-4<0,且-2(t-1)≠3(2t+2), 解得t>-7且t≠-, 所以实数t的取值范围是(-7,-)∪(-,+∞).(17分) 19.【解析】 (1)z1·z2=r1(cos α+isin α)·r2(cos β+isin β)= r1r2[cos αcos β-sin αsin β+i(sin αcos β+cos αsin β)]=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)],(2分) === =[cos(α-β)+isin(α-β)].(4分) (2)设arg z3=α0,arg z4=β0,z3的模为r3,z4的模为r4,α0,β0∈[0,2π), 对于z3=1-cos θ+isin θ,有θ∈(π,2π), 对于z4=1+cos θ+isin θ,有θ∈(π,2π), 所以tan α0=,tan β0=,α0,β0∈(,2π).(7分) 又α0+β0∈(3π,4π),所以α0+β0=,即arg z3+arg z4=.(10分)  (3)如图,建立平面直角坐标系,在复平面内,过原点A作BC的平行线,过C作AB的平行线,交于点D,则+=, 所以c(cos A+isin A)+a[cos(-C)+isin(-C)]=b, 即ccos A+icsin A+acos C-iasin C=b, 即(ccos A+acos C)+i(csin A-asin C)=b.(12分) 根据复数相等,可得 所以=,ccos A+acos C=b,(14分) 同理=,acos B+bcos A=c, =,bcos C+ccos B=a, 所以==,a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $