第九单元　8.6空间直线、平面的垂直专项训练- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九单元　空间直线、平面的垂直 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.“直线l⊥平面α”是“l垂直于α内的无数条直线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题不正确的是(　　) A.若α∥β,a⊥α,b⊥β,则a∥b B.若a∥b,α∥β,a⊥α,则b⊥β C.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β D.若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则a⊥b 3.点P在平面ABC的射影为O,且PA,PB,PC两两互相垂直,那么O是△ABC的(　　) A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 4.如图,在四面体C-OAB中,OA⊥OC,OB⊥OC且OA=OB,D为四面体C-OAB外一点,要使CD⊥AB,需添加的条件是(　　) A.CD⊥OC B.CD=OC C.DA=DB D.DA⊥DB 5.【情境创新】如图,正八面体灯笼在我国【传统文化】中主要象征着吉祥与丰收,常用于营造节日氛围,表达人们对平安、丰饶生活的祈愿.正八面体E-ABCD-F的所有棱长都相等,则二面角E-AB-F的正切值为(　　) A.-2 B.- C.- D.2 6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则过点B且与异面直线B1C,EF所成的角都是60°的直线(　　) A.有无数条 B.有两条 C.有三条 D.有一条 7.如图,已知正四棱锥P-ABCD的高PO为4,棱AB的长为2,点H为侧棱PC上一动点,则当△HBD的面积最小时,OH与平面ABCD所成角的余弦值为(　　)  A. B. C. D. 8.如图,已知三棱柱ABF-CDE和BDG-ACH是两个完全相同的直三棱柱,侧棱EF与GH互相垂直平分,EF,GH交于点I,AF=BF=a,AF⊥BF,则点G到平面ACEF的距离是(　　) A.a B.a C.a D.a 多项选择题 9.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,BC=2AC=2,AB=,则(　　) A.PA⊥PC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 10.如图,若ABCDEF-A1B1C1D1E1F1为正六棱台,A1B1=3,AB=4,AA1=2,则下列说法正确的是(　　)  A.AB∥E1C1 B.EC⊥平面ADD1 C.AA1∥平面CED1 D.侧棱与底面所成的角为60° 11.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点,且BD=CE,现将△ADE沿直线DE折起,使平面ADE⊥平面BCED,当D从B滑动到A的过程中,下列选项中正确的是(　　) A.∠ADB大小不变 B.二面角A-BD-C变小 C.BD与平面ABC所成的角变大 D.AB与DE所成的角先变小后变大 填空题 12.【开放创新】已知平面α,β和直线l,给出以下条件:①l⊥β;②l⊥α;③l⊂α;④l⊂β.要想得到α⊥β,则所需要的条件是　　　　.(填上你认为正确的一组条件的序号即可)  13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=AB,PB=BC,点A在平面PBC上的射影M在PB上,若棱PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN,且PC=tPN,则实数t的值为　　　　.  14.如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,E为棱BB1上的动点,AA1=2,AB=2,BC=2,AC=4.当三棱锥A1-AEF的外接球的半径最小时,直线EF与AA1所成角的余弦值为　　　　.  解答题 15.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1B1的中点. (1)证明:E,F,C1,D四点共面. (2)在线段BD上是否存在点G,使得平面EFG⊥平面BC1D?若存在,请证明;若不存在,请说明理由. 16.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,E是BB1上的一点,且EB1=1,D,F分别是CC1,B1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求直线EF到平面ABD的距离. 17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD=PB,底面ABCD是边长为2的菱形. (1)证明:平面PAC⊥平面ABCD; (2)若PD⊥AB,PA⊥PC,且∠BAD=,求四棱锥P-ABCD的体积. 18.(17分)如图,☉O的直径为AB,点C是☉O上异于A,B的点,直线KC⊥平面ABC,其中KC=2AO=2AC=2. (1)求证:BC⊥KA; (2)求二面角B-AK-C的正弦值; (3)M为线段KC上的动点,以AM为直径作球O1,求球O1与平面KAB相交得到的截面圆的周长的最小值. 参考答案 1.A　直线l⊥平面α⇒l垂直于α内的所有直线⇒l垂直于α内的无数条直线,故充分性成立;l垂直于α内的无数条直线,当这无数条直线都是平行直线时,不能推出直线l⊥平面α,故必要性不成立.所以“直线l⊥平面α”是“l垂直于α内的无数条直线”的充分不必要条件. 2.D　A(√)若α∥β,a⊥α,则a⊥β,又b⊥β,所以a∥b. B(√)若a∥b,a⊥α,则b⊥α,因为α∥β,所以b⊥β. C(√)由题意易知α与β相交(若α∥β,则a∥b,与a⊥b矛盾),设α∩β=l,因为a⊥α,a⊥b,所以在平面α内存在直线c,使得c∥b,又b⊥β,所以c⊥β,所以α⊥β. D(✕)方法一　若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则a,b平行、相交或异面. 方法二　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面DAA1D1⊥平面ABCD,直线A1D⊂平面DAA1D1,直线BD⊂平面ABCD,但∠A1DB=60°,故D错误. 3.A　如图,  由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,所以AP⊥BC,又PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC,又AP∩PO=P,所以BC⊥平面PAO,所以BC⊥OA.同理可证AB⊥OC,AC⊥OB,所以点O是△ABC三条高的交点,所以点O是△ABC的垂心. 4.C　如图,取AB的中点M,连接OM,因为OA=OB,所以AB⊥OM,因为OA⊥OC,OB⊥OC,OB∩OA=O,OB,OA⊂平面OAB,所以OC⊥平面OAB,又AB⊂平面OAB,所以OC⊥AB,因为OM∩CO=O,OM,CO⊂平面OMC,所以AB⊥平面OMC,要使CD⊥AB,其中C∈平面OMC,故需D∈平面OMC,连接DM,则DM⊂平面OMC,故只需AB⊥DM,又M为AB的中点,故DA=DB时,满足要求. 5.A　如图,连接AC,BD交于点O,连接EF,依题意,EF过点O,取AB的中点G,连接EG,FG,由正八面体的几何特征,得EG⊥AB,FG⊥AB,所以∠EGF为二面角E-AB-F的平面角,而EF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则EF⊥AC,△AOE是直角三角形,设正八面体的棱长为2,则AO=,OE=,EF=2,在△AEB中,EG=AE=,同理GF=,在△EGF中,cos∠EGF===-,因为∠EGF∈(0,π),所以sin∠EGF==,所以tan∠EGF==-2( 二面角的范围是[0,π],所以二面角的平面角可以是钝角,切莫记混异面直线所成角的范围与二面角的范围). 6.C　 如图,连接BD,A1D,因为EF∥BD,B1C∥A1D,所以过点B且与异面直线B1C,EF所成的角都是60°的直线即为过点B且与直线BD,A1D所成的角都是60°的直线,因为直线BD与A1D所成的角为60°,所以∠A1DB的平分线平分角为30°,∠A1DB的补角的平分线平分角为60°.因为∠A1DB补角的平分线平分角为60°,所以此角平分线与直线BD、直线A1D所成的角都是60°,将此角平分线所在直线平移使其经过点B,故有一条直线与异面直线B1C,EF所成角都是60°.因为∠A1DB的平分线平分角为30°,所以此角平分线与直线BD、直线A1D所成的角都是30°,则将此角平分线所在直线绕D点转动到与平面A1DB垂直的过程中,存在两条与直线BD、直线A1D所成的角都是60°的直线,此时将这两条直线平移使其经过点B,故有两条直线与异面直线B1C,EF所成角都是60°.综上,过点B且与异面直线B1C,EF所成的角都是60°的直线有三条. 7.C　 如图,连接OC,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,则PO⊥BD,而CO⊥BD,PO∩CO=O,PO,CO⊂平面POC,于是BD⊥平面POC,又OH⊂平面POC,则BD⊥OH,而BD=2,要使△HBD的面积取得最小值,则OH⊥PC,此时OH====.由平面POC⊥平面ABCD,得OH在平面ABCD内的射影为OC,即∠COH是OH与平面ABCD所成的角,cos∠COH==,所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为. 8.B　如图,取AC的中点M,连接MI,过G作MI的垂线交MI的延长线于点K,取AB的中点N,连接FN,由已知,M,I分别为AC,EF的中点,因为ABF-CDE是直三棱柱,所以AF⊥AC,EF∥AC且 EF=AC,所以FI∥AM且FI=AM,所以四边形AMIF为平行四边形,又AF⊥AC,所以四边形AMIF为矩形,所以EF⊥MK,又EF⊥GH,MK⊂平面KIG,GH⊂平面KIG,MK∩GH=I,所以EF⊥平面KIG,又KG⊂平面KIG,所以EF⊥KG,又因为KG⊥MK,EF⊂平面ACEF,MK⊂平面ACEF,EF∩MK=I,所以KG⊥平面ACEF,所以点G到平面ACEF的距离等于线段KG的长度.在Rt△ABF中,AF=BF=a,所以AB==a,∠FAB=,因为四边形AMIF为平行四边形,所以MI∥AF,又因为BDG-ACH是直三棱柱,所以AB∥HG,且HG=AB=a,所以∠KIG=∠FAB=,IG=,在Rt△KIG中,KG=IGsin∠KIG=×=,所以点G到平面ACEF的距离是. 9.BD　A(✕)由题意,PA⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC,在△PAC中,不可能存在两个内角都是90°,故PA⊥PC不成立. B(√)D(√)因为BC=2AC=2,AB=,所以BC2+AC2=AB2,所以AC⊥BC( 根据所给的各条线段的长度,利用勾股定理的逆定理证明两线垂直,这种技巧要掌握),因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以PC⊥BC. C(✕)若AC⊥PB,又AC⊥BC,PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,则AC⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,则AC⊥PC,这与PA⊥AC相矛盾. 10.BCD　A(✕)因为AB与E1D1平行,所以与E1C1异面. B(√)如图,记正六棱台上、下底面的中心分别为O1,O,连接A1D1,OO1,所以OO1⊥平面ABCDEF,又CE⊂平面ABCDEF,故OO1⊥CE,又底面ABCDEF是正六边形,所以AD⊥CE,AD∩OO1=O,AD⊂平面ADD1A1,OO1⊂平面ADD1A1,所以EC⊥平面ADD1A1,即EC⊥平面ADD1. C(√)设AD与EC交于点M,连接D1M,因为AB=4,A1B1=3,所以AD=8,A1D1=6,又DM=2,所以AM=6,即A1D1=AM,又A1D1∥AM,所以AMD1A1是平行四边形,AA1∥MD1,因为D1M⊂平面CED1,AA1⊄平面CED1,所以AA1∥平面CED1. D(√)过点A1作A1N⊥AD于点N,则A1N∥OO1,因为OO1⊥平面ABCDEF,所以A1N⊥平面ABCDEF,所以∠A1AN为侧棱与底面所成的角,在Rt△A1AN中,cos∠A1AN==,所以∠A1AN=60°. 11.AD　设等边三角形ABC的边长为1,AD=x(0<x<1),则BD=1-x. A(√)在△ABC中,由BD=CE,得DE∥BC,如图1,过点A作AG⊥BC,交DE于点H,交BC于点G,连接BH,则AH⊥DE,AG=,∠ADH=∠ABG=60°,所以AH=x,HG=-x=(1-x).在△ADE沿直线DE折起的过程中,AH⊥DE,HG⊥BC始终满足.如图2,由于平面ADE⊥平面BCED,平面ADE∩平面BCED=DE,AH⊂平面ADE,所以AH⊥ 平面BCED,又BH⊂平面BCED,则AH⊥BH,在△BHG中,BH=,所以AB===,所以cos∠ADB===-,为定值,所以∠ADB大小不变. B(✕)如图2,过H作HO⊥BD交BD的延长线于点O,连接OA,由DH=,得OH=x,由AH⊥平面BCED,BD⊂平面BCED,得AH⊥BD,又AH∩OH=H,AH,OH⊂平面AOH,所以BD⊥平面AOH,又OA⊂平面AOH,所以BD⊥AO,所以∠AOH为二面角A-BD-C的平面角.在Rt△AOH中,tan∠AOH===2,所以∠AOH大小不变,即二面角A-BD-C大小不变. C(✕)如图2,连接DC,AG,S△BCD=×BC×HG=×1×(1-x)=(1-x),由AH⊥DE,得AH⊥BC,又HG⊥BC,且HG∩AH=H,HG,AH⊂平面AGH,所以BC⊥平面AGH,又AG⊂平面AGH,所以BC⊥AG,又AH⊥平面BCED,HG⊂平面BCED,则AH⊥HG,所以AG==,S△ABC=·BC·AG.设点D到平面ABC的距离为d,由等体积法可得VA-BCD=VD-ABC,即·S△BCD·AH=·S△ABC·d,则d===,设BD与平面ABC所成的角为θ,则sin θ===,在D从B滑动到A的过程中,x的值从1变小到(不包括0和1),这一过程中逐渐变大,所以在这一过程中,sin θ变小,则角θ变小. D(√)由DE∥BC,得∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角.由C可知,BC⊥AG,则tan∠ABC==2AG=·=·,函数y=2x2-2x+1图象的对称轴为x=,当0<x<时,函数y=2x2-2x+1单调递减,当<x<1时,函数y=2x2-2x+1单调递增,所以在x从1变到的过程中(不包括1),tan∠ABC变小,∠ABC变小,在x从变到0的过程中(不包括0),tan∠ABC变大,∠ABC变大. 12.①③(答案不唯一,也可以填②④)　利用面面垂直的判定定理,即可选①③或②④. 13.4　如图所示,取PC的中点E,PE的中点N,连接BE,MN,AN,∵AM⊥平面PBC,PB⊂平面PBC,∴AM⊥PB,∵PA=AB,∴M为PB的中点,∵PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC,∵M,N分别为PB,PE的中点,∴MN∥BE,∴MN⊥PC,∵AM⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,∴PC⊥AM,∵AM∩MN=M,AM,MN⊂平面AMN,∴PC⊥平面AMN,∵PC⊂平面PCD,∴平面AMN⊥平面PCD.∵E为PC的中点,N为PE的中点,∴PN=PE=PC,即PC=4PN,又PC=tPN,所以t=4. 14.　如图,过B作BH⊥AC,垂足为H,过B1作B1H1⊥A1C1,垂足为H1,连接HH1,易知棱BB1在平面ACC1A1上的射影为HH1,则点E在平面ACC1A1上的射影E1在线段HH1上,连接E1E,因为AB2+BC2=AC2=16,所以△ABC为直角三角形,易知 ∠BAC=,则AH=1,BH=,则EE1=.设AF的中点为Q1,三棱锥A1-AEF的外接球的球心为Q,半径为R1,连接QQ1,FQ,QE,则Q1为三角形△AA1F的外接圆圆心,QQ1⊥平面ACC1A1,即QQ1∥EE1,在Rt△FQQ1中,QF2==Q+()2　①,又因为QE2==(-QQ1)2+Q1　②,由①②,可得2QQ1=Q1,所以当Q1E1取最小值时,QQ1最小,即R1最小,此时Q1E1⊥HH1,因为Q1是AF的中点,则E1是HH1的中点,则E是棱BB1的中点.因为AA1∥BB1,所以直线EF与AA1所成角即为直线EF与BB1所成角.连接B1F,因为△A1B1C1为直角三角形,所以B1F=2,因为EB1=,所以EF=,cos∠FEB1===. 15.【解析】 (1)如图1,连接AB1,因为E,F分别是AA1,A1B1的中点, 所以EF为△A1AB1的中位线,(1分) 所以EF∥AB1,(2分) 在正方体中,AB1∥DC1,所以EF∥DC1,(3分) 所以E,F,C1,D四点共面.(4分) (2)取BD的中点G,则满足平面EFG⊥平面BC1D.(5分)   证明如下: 如图2,取BD的中点G,连接EC1,EB,EG,ED,C1G,则EB=ED=,(6分) 在△BED中,EG⊥BD,由EB=,BG=,得EG=,(7分) 由BC1=2,BG=,得C1G==,(8分) 连接A1C1,由A1E=1,A1C1=2,得C1E==3,(9分) 在△C1EG中,C1G2+EG2=C1E2, 所以EG⊥C1G,(11分) 又C1G,BD⊂平面BC1D,BD∩C1G=G, 所以EG⊥平面BC1D,(12分) 又因为EG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面BC1D. 所以线段BD上存在点G,使得平面EFG⊥平面BC1D.(13分) 16.【解析】 (1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=CB,∠ABC=90°, ∴AB⊥平面BCC1B1,又B1D⊂平面BCC1B1, ∴AB⊥B1D.(3分) 根据已知条件可得,D为CC1的中点,B1D=DB=2,B1B=4,B1D2+DB2=B1B2,∴BD⊥B1D,又BD∩AB=B,∴B1D⊥平面ABD.(6分) (2)如图所示,取BB1的中点T,连接TC1, ∵B1B=4,EB1=1,∴E为TB1的中点,而F为B1C1的中点,∴EF∥TC1. 又∵C1D∥TB,且C1D=TB, ∴四边形BDC1T为平行四边形, ∴BD∥TC1,∴EF∥BD. ∵EF⊄平面ABD,BD⊂平面ABD, ∴EF∥平面ABD.(9分) EF与B1D相交于点H,又∵B1D⊥平面ABD,∴HD⊥平面ABD,∴直线EF到平面ABD的距离即为点H到平面ABD的距离,即HD的长.(12分) ∵EF∥BD, ∴△B1EH∽△B1BD,∴=, ∴B1H=,∴HD=, 故直线EF到平面ABD的距离为.(15分) 17.【解析】 (1)如图1所示, 连接DB交AC于点O,连接PO, 因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC,且O为BD的中点.(3分) 因为PB=PD,所以PO⊥BD, 又AC∩PO=O,AC,PO⊂平面APC, 所以BD⊥平面APC, 又BD⊂平面ABCD,所以平面APC⊥平面ABCD.(7分) (2)方法一　由(1)可知,BD⊥平面APC, 所以VP-ABCD=2VB-PAC,由已知可得AC=2,BD=2, 又AP⊥PC,且O为BD的中点,所以OP=AC=,PD=2.(10分) 又PD⊥AB,AB∥CD,所以PD⊥CD, 所以PC=2,PA=2, 所以VP-ABCD=2VB-PAC=×S△PAC×BD=××2×2×2=.(15分) 方法二　由已知可得,△ABD为正三角形,且AC=2,BD=2, 又AP⊥PC,且O为BD的中点, 所以OP=AC=,PD=PB=2,又PD⊥AB,AB∥CD, 所以PD⊥CD, 从而PC=2,PA=2,(12分) 所以三棱锥P-ABD是棱长为2的正四面体,而它所对应的正方体的棱长为, 所以VP-ABCD=2VP-ABD=2××V正方体=.(15分) 方法三　如图2所示,取AB的中点M,连接DM交AC于点H,连接PM,PH. 因为∠BAD=,所以△ABD是等边三角形,所以DM⊥AB, 又因为PD⊥AB,PD∩DM=D,PD,DM⊂平面PDM, 所以AB⊥平面PDM,又PH⊂平面PDM,所以AB⊥PH. 由(1)知BD⊥PH,且AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(10分) 由题意知,AH==,AO=AB·cos=,HC=AC-AH=2-=, 在Rt△APC中,PH2=AH·HC=×=,所以PH=.(12分) 又S菱形ABCD=2S△ABC=2××2×1=2, 所以四棱锥P-ABCD的体积为V=·S菱形ABCD·PH=×2×=.(15分) 18.线线垂直的证明+二面角+点到平面的距离 思路导引　(1)欲证BC⊥KA,只需证BC⊥平面KAC,只需在平面KAC内寻找两条相交直线与直线BC垂直; (2)过点C作CH⊥KA于点H,连接BH,结合BC⊥KA可推出∠BHC即二面角B-AK-C的平面角,在Rt△BCH中,求sin∠BHC,即可得结果; (3)先求得球O1的半径,设点O1到平面KAB的距离为d,则点M到平面KAB的距离为2d,利用余弦定理求出相关边与角,根据VM-KAB=VB-KAM求出d,接着利用球的截面圆性质求出截面圆周长的表达式,借助配方法,即可求截面圆的周长的最小值. 【解析】 (1)因为AB是圆O的直径,所以BC⊥AC,(1分) 因为KC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以KC⊥BC,(2分) 又KC∩AC=C,KC,AC⊂平面KAC, 由线线垂直证得线面垂直,注意线不在多,重在相交的说明. 故BC⊥平面KAC.(3分) 因为KA⊂平面KAC, 由线面垂直证得线线垂直,注意线在平面内的说明. 所以BC⊥KA.(4分) (2)如图,过点C作CH⊥KA于点H,连接BH, 由(1)知BC⊥KA, 因为BC∩CH=C,BC,CH⊂平面BCH,故KA⊥平面BCH,(5分) 又BH⊂平面BCH,则KA⊥BH,即∠BHC为二面角B-AK-C的平面角.(6分) 求二面角问题,注意利用定义,证明找到的角是二面角的平面角,再解三角形求角,即注意“先证后算”. 在Rt△ABC中,BC==,在Rt△ACK中,AK===,CH==. 由(1)知BC⊥平面KAC,CH⊂平面KAC,所以BC⊥CH,所以BH==,(8分) 所以sin∠BHC===. 所以二面角B-AK-C的正弦值为.(10分) (3)设KM=t(0≤t≤2),则CM=2-t,AM== , 则球O1的半径为R=. 设点O1到平面KAB的距离为d,则点M到平面KAB的距离为2d.(11分) 在△KAB中,AB=2,KA=,KB=, 由余弦定理,得cos∠AKB==,(12分) 则sin∠AKB==,则S△AKB=×××=,(13分) 在△KAC中,sin∠AKC=,则S△AKM=××t×=, 由VM-KAB=VB-KAM可得××2d=××, 求点面距离问题,常利用等体积法,把不易求的点面距离转化为易求的点面距离. 解得d=.(14分) 设球O1与平面KAB相交得到的截面圆半径为r,则r2=O1A2-d2=()2-()2=,(15分) 则截面圆的周长为m=2πr=2π=,(16分) 因为0≤t≤2,故当t=2时,mmin==. 所以球O1与平面KAB相交得到的截面圆的周长的最小值为.(17分) 19.(17分)【探索创新】阅读数学材料:多面体Γ的一个顶点为P,记Γ在点P处的离散曲率为 1-(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1),其中 Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为Γ的所有与点P相邻的顶点,且面Q1PQ2,面Q2PQ3,…,面Qk-1PQk和面QkPQ1为Γ的所有以P为公共点的面. (1)求正方体EFGH-E1F1G1H1在顶点E处的离散曲率. (2)已知各条棱长都相等的直四棱柱ABCD- A1B1C1D1. (i)若四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为,求BC1与平面ACC1所成角的余弦值; (ii)截取四面体A1-ABD,若该四面体在点A1处的离散曲率为,AC1与平面A1BD交于点G,△AGC,△ACC1的面积分别记为S1,S2,S2=λS1,求实数λ的值. 【解析】 (1)在正方体EFGH-E1F1G1H1中, ∵EE1⊥平面EFGH,EF,EH⊂平面EFGH, ∴EE1⊥EF,EE1⊥EH,(2分) ∴在顶点E处的离散曲率为1-(++)=.(4分) (2)(i)∵AA1⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥AB,AA1⊥AD, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1-(++∠DAB)=, 则∠DAB=, 连接BD,则△DAB是等边三角形, ∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,∴CC1⊥BD,(5分) 又AC,CC1⊂平面ACC1,AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1. 设AC∩BD=O,连接C1O,则∠BC1O即为BC1与平面ACC1所成的角(找线面角的核心是过直线上的点作面的垂线,找到垂足,也就找到了线面角),(7分) 在△BC1O中,OB=BD=AB,BC1=BC=AB, ∴sin∠BC1O===, 又∵∠BC1O∈(0,),∴cos∠BC1O==, 即BC1与平面ACC1所成角的余弦值为.(10分) (ii)在四面体A1-ABD中,AA1⊥AB,AA1⊥AD,AA1=AB=AD, ∴∠AA1B=∠AA1D=,A1B=A1D=AB, ∴四面体A1-ABD在点A1处的离散曲率为1-(++∠BA1D)=, ∴∠BA1D=,∴△BA1D为等边三角形,∴BD=A1D=AB, 又在△ABD中AB=AD,∴AB⊥AD,∴直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体(如图),连接AD1.(11分) ∵C1D1⊥平面 ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴C1D1⊥A1D, 又A1D⊥AD1,AD1∩C1D1=D1,AD1,C1D1⊂平面AC1D1, ∴A1D⊥平面AC1D1, 又AC1⊂平面AC1D1,∴AC1⊥A1D. ∵CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴CC1⊥BD,又BD⊥AC,AC,CC1⊂平面ACC1,AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1, 又AC1⊂平面ACC1,∴AC1⊥BD, 又A1D∩BD=D,A1D,BD⊂平面A1BD,∴AC1⊥平面A1BD, ∴AG是三棱锥A-A1BD的高.(14分) 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, ∴BD=a,AC1=a,∵=,∴··AG=·S△ABD·AA1,得AG==.(15分) 设点C到直线AC1的距离为d,∵△AGC,△ACC1的面积分别记为S1,S2,且S2=λS1, ∴====, ∴S2=3S1,∴λ=3.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $