8.6 空间直线、平面的垂直 课时优化训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直——高一数学人教A版必修第二册课时优化训练 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、选择题 1.设是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法对的是( ) A.若,,,,则 B.若,,,则 C.若,,则 D.若,,,则 2.已知平面,,,,则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在三棱锥中,,与平面所成角的大小为,则( ) A.1 B. C. D.2 4.如图所示,平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列说法中正确的是( ) ①平面平面;②;③平面平面. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 5.如图,在正方体中,E,F分别为棱,的中点.下列结论正确的是( ) A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 6.如图所示,在四棱锥中,底面,且底面为菱形,M是上的一个动点,若要使得平面 平面,则应补充的一个条件可以是( ) A. B. C. D.M是棱的中点 7.在正四面体中,已知分别是上的点(不含端点),则( ) A.不存在,使得 B.存在,使得 C.存在,使得平面 D.存在,使得平面平面 8.已知m、n为异面直线,平面,平面,若直线l满足,,,,则( ) A., B., C.直线r, D.直线r, 二、多项选择题 9.已知m,n,l为空间中三条不同的直线,,,为空间中三个不同的平面,则下列说法中正确的是( ) A.若,,则, B.若,,则m与n为异面直线 C.若,,,且,则 D.若,,,则 10.如图,在正方体中,E,F,M,N分别为棱,,,的中点,点P是面的中心,则下列结论正确的是( ) A.E,F,M,N四点共面 B.平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C.平面 D.平面平面 三、填空题 11.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于,则直线l与平面所成角的大小为_. 12.如图,在棱长为1的正方体中,E为棱上的动点且不与B重合,F为线段的中点给出下列四个命题: ①三棱锥的体积为;②;③的面积为定值;④四棱锥是正四棱锥 其中所有正确命题的序号是_. 13.如图,在棱长为1的正方体中,点P是线段上一动点(不与,B重合),则下列命题中: ①平面平面; ②一定是锐角; ③; ④三棱锥的体积为定值. 其中真命题有_.(填序号) 14.已知,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同的直线,给出四个论断:①;②;③;④.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:_. 四、解答题 15.如图所示,平面平面ABC,平面平面,平面PBC,E为垂足.求证: (1)平面ABC; (2)E为的垂心时,是直角三角形. 参考答案 1.答案:D 解析:对于A中,由,,,,只有直线m与n相交时,可得,所以A不正确; 对于B中,由,,,则l与m平行、相交或异面,所以B错误; 对于C中,由,,,则,所以C错误; 对于D中,由,,可得,又因为,所以,所以D正确. 故选:D. 2.答案:C 解析:由于,所以,, 若,则,,故充分性成立, 若,,设,, 则存在直线使得,所以,由于,故, 同理存在直线使得,所以,由于,故, 由于a,b不平行,所以a,b是平面内两条相交直线,所以,故必要性成立, 故选:C. 3.答案:C 解析:取的中点D,连接, 因为, 则,, 且,,平面, 可得平面, 又因为平面, 所以平面平面, 且平面平面, 由面面垂直的性质可知:点P在平面内的投影落在直线上, 且,可知点P在平面内的投影落在线段内, 又因为与平面所成角的大小为,则, 可知为等边三角形,所以. 故选:C. 4.答案:D 解析:平面平面,平面平面,,平面, 平面,又平面, 平面平面,故①正确; 平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,故②正确; 平面,平面,平面平面,故③正确; 故选:D 5.答案:A 解析:设,连接,,由于F是的中点,O是的中点, 所以,,而,, 所以,,所以四边形是平行四边形, 所以,由于平面,平面, 所以平面,所以A选项正确. 由A选项的分析可知,而平面, 所以与平面相交,所以C选项错误. 由于与的夹角为,所以与平面不垂直,D选项错误. 设正方体的边长为2,则,,,不满足勾股定理, 所以与不垂直,而平面,所以与平面不垂直, 所以B选项错误. 故选:A 6.答案:B 解析:因为四边形是棱形,, 又平面,, 又平面平面, 要使平面平面,只需或,故选B. 7.答案:D 解析:为了方便解题,将正四面体放入正方体中,如图所示.连接,对于选项A,取分别为的中点,则易知,所以选项A不正确;对于选项B,在正方体中,易知平面,因为过点且与平面平行的平面不经过点,所以不存在,使得,故选项B不正确;对于选项C,在正方体中,易证平面,所以不存在,使得平面,故选项C不正确;对于选项D,设与平面的交点为,连接,只要令平面与的交点为即可得平面平面,故选项D正确. 8.答案:C 解析:选项A,假设,则,与m、n为异面直线矛盾,故A错误; 选项B,假设,结合,得到,与矛盾,故B错误; 选项C、D, 因为m、n为异面直线,所以在空间内过一点P可以作,,则,,即l垂直于与所在的平面, 又因为平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直于平面,又垂直于平面, 所以平面与平面相交,且交线垂直于平面,故平行于l,故C正确. 故选:C. 9.答案:ACD 解析:对于A,显然,,又,则,,A正确; 对于B,由,,得m与n可能相交、可能平行、也可能为异面直线,B错误; 对于C,由,,,知点P在平面,,内, 即为平面,的公共点,而,因此,C正确; 对于D,由,,得,而,因此,D正确. 故选:ACD. 10.答案:BD 解析:对于A:如图经过E,F,M三点的平面为一个正六边形, 点P在平面外,E,F,M,P四点不共面,选项A错误; 对于B:分别连接E,F和B,, 则平面即平面,截面是等腰梯形, 选项B正确; 对于C:分别取,的中点G,Q, 则平面即为平面, 由正六边形,可知, 所以不平行于, 又,平面, 所以,所以平面, 所以不平行于平面,故选项C错误; 对于D:因为,是等腰三角形, , ,, M,N是,的中点,易证, 由正方体可得平面, 平面,又平面, , ,平面, 平面, 平面, 平面平面,故选项D正确 故选:BD. 11.答案:/ 解析:因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于, 所以直线l所在直线与法向量所在直线夹角为, 所以直线l与平面所成角的大小为. 故答案为: 12.答案:②③④ 解析:对于①,三棱锥体积为, 因此三棱锥体积的最大值为,①错误; 对于②,连接,则, 又平面,平面, 则,而, ,,平面, 则平面, 又平面,因此,②正确; 对于③,设,连接, 则,,, 即F和G到的距离相等且不变, 因此的面积为定值,③正确; 对于④,由,知平面, 又为正方形,G为其中心, 因此四棱锥是正四棱锥,④正确 故答案为:②③④ 13.答案:①③④ 解析:对于①,由正方体的性质可得平面,又平面,所以平面平面,即①正确;对于②,当P是的中点时,易得,,,满足,此时是直角,所以②错误;对于③,连接,,如图所示, 由正方体可知,且平面,平面,所以.又,,平面,所以平面.又平面,所以,即③正确;对于④,三棱锥的体积,又因为的面积是定值,平面,所以点P到平面的距离是定值,所以三棱锥的体积为定值,即④正确.故答案为①③④ 14.答案:①③④②(或②③④①) 解析:,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同的直线,若①,③,则.又④,②.即①③④②.若②,③,则.又④,①.即②③④①. 15.答案:(1)证明见解析 (2)证明见解析 解析:(1)如图,在平面ABC内取一点D,过点D作于点F,于点G. 平面平面ABC,且平面平面,平面PAC. 又平面,.同理可证. ,平面ABC. (2)如图,连接BE并延长交PC于点H. 是的垂心,. 又平面,平面,. 又,平面ABE. 平面,. 又平面,平面,. 又,平面PAC. 平面,,即是直角三角形. 学科网(北京)股份有限公司 $