精品解析：新疆乌鲁木齐市第九十八中学教育集团2025—2026学年上学期九年级期中考试数学科试题

乌市第九十八中学教育集团2025-2026学年第一学期九年级 第一次月考数学试卷（问卷） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据抛物线的顶点为即可得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则． 5. 二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 8. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 9. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 11. 抛物线（）的对称轴是直线_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．把二次函数的解析式化为顶点式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线（）的对称轴是直线， 故答案为： 12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程两个根， ∴ 故答案为： 13. 两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设小正方形边长为，根据题意则大正方形边长为，根据大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少列方程求解即可． 【详解】解：设小正方形边长为，则大正方形边长为，由题意得： ， 整理得：， 解得，（舍）， 则大正方形边长为：． 故答案为：，． 14. 已知点，，的图像都在二次函数上，则，，的大小关系是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得到抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，然后比较三个点到对称轴的距离即可求解． 【详解】解：在中，，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ，， ∵， ∴． 故答案：． 15. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解． 【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示： ∵H是BG的中点，且BO与HE平行， ∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE， 故要使得HE最短，只需要BO最短即可， 当E点位于C点时，则O点与C点重合， 当E点位于D点时，则O点与A点重合， 故E点在CD上运动时，O点在AC上运动， 由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上． 三、解答题 16. 计算：（1） （2）如图，在中，且． ①分别作的角平分线和线段的垂直平分线，分别交，于点D，E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，最后加减即可； （2）①利用基本作图的方法作角平分线和垂直平分线即可解题； ②根据垂直平分线的性质得到，进而得到，然后根据角平分线和平行线得到，即可得，可得到结论． 【详解】解：（1）， ， ； 解：（2）①如图，与即为所作； ②证明：如图，连接， 且， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作角平分线和垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，掌握基本作图是解题的关键． 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用配方法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 18. 已知抛物线， （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）直接写出，当x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）当时，y有最小值，最小值为； （2）当时，y随x的增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 19. 已知关于一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义．求出的表达式，再判定符号即可求证，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当时方程总有两个不相等的实数根，当时方程总有两个相等的实数根，当时方程无实数根是解题的关键． （）由根的判别式的符号来判定关于的一元二次方程的根的情况． （）利用求根根式求得方程的两个根，得到其中一根是常数． 【小问1详解】 证明∵ ∴此一元二次方程恒有实数根． 【小问2详解】 ， ， 其中根与的取值无关， 所以此方程的定值根为． 20. 如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 【答案】（1）；； （2）长为，宽为或长为，宽为； （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 21. 甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元． 【解析】 【分析】（1）若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程． （2）利用乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可； （3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可． 【详解】（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元， 根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x）-500=67， 解得：x=300， 500-x=200． 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元． （2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为y， 则， 解得：=0.1=10%，=-2.1（不合题意，舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为10%； （3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调 ∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元） ∵商场仍按9折出售，设定价为a元时 0.9a-266.2＞0 解得：a＞ 故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润． 考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题 22. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） （4）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【小问1详解】 解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 如图： 【小问3详解】 二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； 【小问4详解】 ∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 23. 已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点． （1）求函数的表达式． （2）若函数图象始终经过定点， ①用含有的式子表示： ②若时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用待定系数法求解即可； （2）①结合题意，利用待定系数法，将代入求解，即可得到答案； ②根据题意得，再结合的取值范围计算，即可完成求解． 【小问1详解】 将代入解析式， 得： ∴， ∴； 【小问2详解】 ①将代入， 得： ∴， ∴； ②， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即； ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数、二次函数与不等式的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用二次函数的性质，即可完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市第九十八中学教育集团2025-2026学年第一学期九年级 第一次月考数学试卷（问卷） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C D. 且 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，正方形顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 11. 抛物线（）的对称轴是直线_________． 12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13. 两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是________． 14. 已知点，，的图像都在二次函数上，则，，的大小关系是_____________． 15. 如图，正方形的边长为4，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为______ 三、解答题 16. 计算：（1） （2）如图，在中，且． ①分别作的角平分线和线段的垂直平分线，分别交，于点D，E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：． 17. 解方程 （1） （2） 18. 已知抛物线， （1）当x为何值时，y有最小值，最小值多少？ （2）直接写出，当x为何值时，y随x的增大而减小． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 20. 如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 21. 甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 22. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 23. 已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点． （1）求函数的表达式． （2）若函数的图象始终经过定点， ①用含有的式子表示： ②若时，总有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $