8.2.1两角和与差的余弦 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦“两角和与差的余弦”公式推导及应用，通过复习单位圆、向量夹角、数量积等旧知，结合“雪花摩天轮”实际问题引发思考，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究公式来源。 以体验探究为主线，通过单位圆几何构造和向量数量积证明公式，培养学生数学眼光（抽象实际问题）和数学思维（逻辑推理），例题设计注重公式应用与诱导公式等旧知联系，提升数学语言表达能力，助力学生理解公式本质与应用。

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 8.2.1两角和与差的余弦 课型 新授课 课时 第1课时 授课教师 学习目标 1.能利用向量的数量积和两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式。 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值. 【复习回顾】: 1、任意角的终边与单位圆的交点坐标用角可以表示为 . 2、平面内任意两个向量,的夹角的范围是 . 3、数量积定义式: . 4、已知,,则 . 思考:雪花摩天轮的半径为50米,设摩天轮中心为点 ,启动时摩天轮顺时针旋转。已知某人在图处,2分钟后到了处,则此人距离摩天轮竖轴的距离是多少米?(用三角函数值表示) 体验探究一:由于那么为什么? 能否根据的正弦、余弦值求出的值呢? 如图,在单位圆中,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,过点P作PA⊥O,垂足为A;过点A作AB⊥x轴,垂足为B;再过点P作PC⊥AB,垂足为C。 显然 OM=cos 15 体验探究二:你能利用OM=OB+BM,求出 cos 15 的值吗? 你能猜测出的表达式吗? . 已知角的终边是射线 ,角的终边是射线 . 观察下面的 图1 图二 则 . 则 . 进一步, . 体验探究三:结合图1与图2,请运用向量数量积的定义和坐标运算,证明你在【体验探究二】的猜想。 如图,设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角, ,它们的终边分别与单位圆相交于点P1, A1,把扇形OA1P1绕着点O旋转 角,得到扇形OAP ( P 1 P 1 A 1 x y A 1 O 终边 终边 ) 体验探究四:线段A1P1与线段AP是什么关系?你能用坐标表示这种关系吗? 体验探究五: 观察 公式有何特征?如何记忆? 学以致用: 例1:利用证明以下诱导公式 (1) (2) 例2.求的值。 例3:求的值. 例4: 课堂小结:你这节课的有那些收获 1.知识层面 2.情感价值层面 课后巩固提升 1.利用公式求下列三角函数值: (1)cos 75 ; (2); (3); (4). 2. _ 3. _ 5、 (1) 化简 (2)化简 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $