2.6.1 双曲线的标准方程（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.6.1 双曲线的标准方程 题型一 双曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·广西梧州·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则.故选：C. 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】由题意知，，， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，，故选：B. 3．双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【解析】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意.故选：B. 4．（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以.故选：B 题型二 求双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 所以双曲线的顶点为，，焦点为，，， 所以双曲线方程为.故选：A 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是．故选：D． 3．经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ，解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 题型三 双曲线方程中的参数问题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·月考）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，解得， 所以实数m的取值范围是.故选：A. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以，解得.故选：D. 3．（24-25高二上·河南平顶山·月考）已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 【答案】D 【解析】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得．故选：D． 4．（23-24高二上·江苏·月考）（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】ACD 【解析】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确； 对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，当时，方程表示圆，故C正确； 对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；故选：ACD 题型四 双曲线的焦点三角形问题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【解析】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为.故选：C 2．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为等边三角形，∴， ∴，，， 中，由余弦定理有， ∴，∴，∴.故选:B. 3．（23-24高二上·浙江·期中）双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（    ） A． B．26 C．25 D．23 【答案】B 【解析】由题设知：， 令，则，， 中，， 则， 所以， 则，故，则， 所以.故选：B 4．（23-24高二上·河北衡水·月考）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得 ， 由双曲线的定义得 ，而 ， 解得 ， 由余弦定理得 所以 .故选：A. 题型五 双曲线中线段和差的最值问题 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 【答案】A 【解析】如图，圆的圆心为，半径为1，， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为， 而，所以．故选：A 2．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B. 3．（23-24高三上·江西南昌·月考）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 题型六 与双曲线有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设与圆的切点分别为， 则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即， 又，所以，所以方程为.故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有， 由，得，该圆的半径为， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以， 所以点的轨迹方程为，故选：D 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得， 则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即.故选：B. 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为.故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为.故选：A 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题设，是双曲线与以为直径的圆在第一象限上的交点， 且，，则， 则，， 联立，解得， 故，.故选：ABC 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线，点为平面内一动点，且与曲线的焦点不重合.已知关于曲线的左焦点的对称点为，关于右焦点的对称点为，线段的中点在双曲线右支上，则的值为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的实半轴长为，则， 设双曲线的左、右焦点分别为、， 设的中点为，连接、. 因为是的中点，是的中点，所以，是的中位线， 则，同理， 所以，， 因为P在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义知，所以，. 故答案为：. 6．（23-24高三上·江苏镇江·月考）过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】17 【解析】由，得，所以双曲线的焦点坐标为， 由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径， 圆圆心的坐标为，半径， 分别为两圆切线， ， ， 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为， 又（当为双曲线右顶点时取等号）， ， 即的最小值为. 故答案为：17. 7．（23-24高二上·河北石家庄·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：，化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.1 双曲线的标准方程 题型一 双曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·广西梧州·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 3．双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 4．（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型二 求双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．经过点的双曲线的标准方程为 ． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 题型三 双曲线方程中的参数问题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·月考）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南平顶山·月考）已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 4．（23-24高二上·江苏·月考）（多选）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．若曲线为双曲线，则或 B．若曲线为椭圆，则 C．曲线可能是圆 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 题型四 双曲线的焦点三角形问题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 2．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·期中）双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（    ） A． B．26 C．25 D．23 4．（23-24高二上·河北衡水·月考）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五 双曲线中线段和差的最值问题 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 2．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高三上·江西南昌·月考）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 题型六 与双曲线有关的轨迹问题 1．（24-25高二上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 4．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线，点为平面内一动点，且与曲线的焦点不重合.已知关于曲线的左焦点的对称点为，关于右焦点的对称点为，线段的中点在双曲线右支上，则的值为 ． 6．（23-24高三上·江苏镇江·月考）过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·河北石家庄·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$