湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.BC 10.ABC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 13.2 14.5-1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析（1)h题知3a,-2S。=1,① 当n=1时，S,=a1,所以3a1-2a,=1,即a1=1. …(2分）) 当n≥2时，3an-1-2Sn-1=1,② ①-②，得3an-3a。-1-2(S,-S,-1）=0,即an=3a- (4分) 所以{4n}是首项为1，公比为3的等比数列， 故un=3"-1. (6分) (2)由(1)知b。=2+1-3-1 i以元g-3-2-苦-子 2-2 (9分) 计算{bn}的前儿项：b1=3,b2=5,b=7,b4=5,b5=-17,…, 由十3-1比2增长快，可知当n≥5时，b,<0, 所以Tn的最大值为T4=20.… (13分) 16.解析（1)山题意知a,b,c∈N",且a+b+c=9, 用“隔板法”可得(，b,c)的不同结果种数为C?=28,…(3分) 其中，满足a<b<c的结果共有3种：(1,2,6)，（1.3,5)，（2,3,4)，…(5分) 所以P(A)= 28 …(7分) (2)对(u,b,c)的所有结果进行分类： 中位数为1：(1,1,7)，不同的排列有3种； 中位数为2：(1,2,6)，(2,2,5)，不同的排列有A+A=9种： 一1 中位数为3：(1,3,5)，（2,3,4)，（3,3,3)，不同的列有A+A+1=13种； 中位数为4：（1,4,4)，不同的排列有3种. (11分)》 所以X的所有可能取值为1,2.3,4，X的分布列为 X 1 2 3 4 9 13 3 28 28 28 (13分)》 所以E(X)= 8×1+ 8×2￥13 ×3+3 ×4 18 28 (15分)》 I7.解析(I)由题可知ADL平面AEB,又GEC平面AEB,所以AD⊥GE,…(1分) 因为AE=BE,G是AB的中点，所以GE⊥AB, 又AB∩AD=A,所以GE⊥平面ABCD. (4分) 因此，平面GED⊥平面ABCD.… (5分) (2)山AD=2,得AE+EB=√2AD=2,所以AE=BE=1, 则三棱柱AEB-DC的体积为V=AD×分AE×BEsn∠AB-受in=百 4 所以sim∠ABB-,又LABB为纯角，所以LAB-要 3 …（7分) 如图，以F为坐标原点，F心，F的方向分别为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系. E 由已知得1,0.0)，0，E,0),d(-2,0,）41,2,0),-之，，)，c2.） 则成=(-1.0).d=(-0,)成(-点，) (9分) 设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), rn.刀i=-x+2y=0, 则 成+ 取n=(2,1,6). (11分)》 28=0, 设平面GDE的法向量为=（u,b,c), —2 m·D2=-a+v2b=0: 则 m:+a+Ae-0 取m=(6,5,-√万)… (13分) 设二面角C-DE-G为8，则1os01=m:mL=区 1 mlInl3×√33 所以sin8=√-cos日=2_46 √3333 (15分) 18.解析 （1)由题意知14AB1=2b=4,所以b=2. (1分) 因为离心率e三√0-6=5，所以a=3. (3分) 因此C的方程为号+专=1. (4分) (2)(1)由已知得A(0,2),B(0,-2),D(-3,0),直线AP:y=x+2. ry=+2, 由 得(4+9%)x2+36x=0.解得x=0或x=-366 4+92 (6分) 4 所以点P的横华标为-部，代入)=：+2，得y 8-18k2 4+9k2 所以点P的坐标为 36k8-18k 4+9k’4+9E2 (8分) (i)由(i)可知直线8D的方程为y=-子-2，与)=&+2联立，解得Q(3就号》 …(10分) 设T0）,由D(-3,0),P(-4+974+9 36k8-18k2 T(0,)-点共线， 8-182 -0 得 4+9 0+3解得 1-0 8-18K= (2-3k)(2+3k)4+6h 36k +3 9k2-12k+4 (3k-2)2 2-3k1 4+9 所以0) (13分) 4+6k4-6k 所以直线QT的斜率为m= 2-3k3k+2_(4+6k)(3k+2)-(4-6k)(2-36)=,4 12 2-3R …(15分) 12(2-3k) 3k+2 所以上-名日-22-号3站：是为定值 2le (17分) 19.解析(1)由题意得'(x)=(x2+4x+u+2)e, (1分) 令f'(x)=0,则x2+4x+a+2=0,△=16-4(a+2)=8-4a. ①当8-4a≤0，即a≥2时，x2+4x+a+2≥0恫成立， 即'(x)≥0恒成立，(x)在R上单调递增. (3分) ②当8-4a>0,即a<2时，方程x2+4x+a+2=0有2个不同实根， 出求根公式可知该方程的根为x=二4土8=40=-2士√2-4，…(4分)） 2 当x飞（-2-√2-a,-2+√2-a)时f(x)<0,当x飞(-0，-2-√2-a)或x飞（-2+√2-a,+o)时， f'(x)>0, 所以fx)在区间(-2-√2-a,-2+√2-a)上单调递减，在区间(-，-2-√2-a)和(-2+/2-a,+0)上 单递增。…(6分） (2)(i)令fx)=(x2+2x+am)e"=0,得a=-x2-2x, 由于f(x)无零点，所以直线y=a与曲线y=-x2-2x无交点， 又因为-x2-2%≤1，所以>l.…(8分)》 由(1)知，当a<2时f(x)有两个极值点，故a的取值范围为(1,2). (9分)》 （ii)由(1)中方程有x1+x2=-4,x3=a+2.… (10分)》 不妨设1=-2-√2-a,x2=-2+√2-a,内为ae（1,2),所以1∈（-3，-2). f(x,)+f(x2)=(x+2x1+a)e1+(x号+2x2+u)e2 =(x号+2x1+x1-2)e1+(+2x2+x2-2)e2 =[x1(x1+x2+2）-2]e1+[x2(x1+2+2)-2]e =-2[(x,+1)e1+(x+1)e2] =-2[(x,+1)e1-(x1+3)e4-1].…(13分) 设g(x)=-2(x+1)e-(x+3)e4-| 则g(x)=-2(x+2)(e+e4-“), 当x∈（-3，-2)时，g'(x）>0,所以g(x)在(-3，-2)上单调递增，…（15分) 又(-3)=48(-2)=4 故)+)的取值范用是（号 …(17分）》保密★启用前 高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码 贴在答题卡上的指定位置： 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 是符合题目要求的 1.已知复数z=3-i,则z(z-i)= A.7-3i B.11-3i C.7-9i D.11-9i 2.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={xln(x+1)<1},则A∩B= A.{0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 3.已知向量a=(2x+3,x)与b=(x,1)的方向相同，则x= A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体 积为 A.860 B.688 C.2236 D.888 3 3 5.已知fx)是定义域为R的奇函数，且当x<0时f)=e-1,若(a)=7,则a= A.In 2 Bh号 C.In 3 6设A,B是两个相互独立的随机事件，已知P(A)-号，P(A+B)-号则P(B)= 4 R号 c号 D号 数学试题第1页（共4页） 7.已知函数f(代x)=Isin-a的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的a的个 数为 A.5 B.4 C.3 D.2 、￥2 &设双曲线C1(@>0,6>0的左右焦点分别为R,,点P,Q在C上，满足E克码 3d,且∠PRQ=号则C的离心率为 A 2 B.5 C.7 D.22 攻 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 写 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 以若。<分<0，则下列不等式成立的是 页 A.a2>62 B.e“>e C.a+b<ab D.lal -axlbl-6 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知asin C=42,a2=+c2+2bc,则下 3 列说法正确的是 A.sin A= 3 B.c=6 C若aB:82则2v而 D.若△ABC是等腰三角形，则AB边上的高为22 11.记数列{a.}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,已知a1>1,且Sn+1=a.+1S.,则下列说法正 确的是 A.若a1=2,则a= 4 B.存在大于1的正整数n,使得an+1>an C.对任意neN*,Sn=T。 D当≥3时，Z≤ 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f代)=hx-号的图象在x=1处的切线与直线龙+3y-2=0垂直，则a= 13.已知P,A,B是抛物线x2=2y上三点，直线PA与PB的斜率互为相反数，直线AB的斜率 为-2，则点P的横坐标为 14,已知x,B∈R,sin(ax+B)=cosa-sinB,则sin(ax+B)的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知Sn为数列{an}的前n项和，且3an-2Sn=1. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=2+1-an,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式及最大值. 16.(15分) 将9个相同的小球放入甲、乙、丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放 球的结果都是等可能的，记甲、乙、丙盒中的小球个数分别为a,b,c. (1)设事件“a<b<c”为A,求P(A); (2)设X为a,b,c的中位数，求X的分布列和数学期望 数学试题第3页（共4页） 7、(15分) A4纸是长、宽比为√2：1的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为A,B,C,D,以两长边 的中点连线EF为折痕，将矩形BCFE折起，连接AB,CD,得到如图所示的直三棱柱AEB- DFC,G是AB的中点， (1)证明：平面GED⊥平面ABCD; (2)设AD=,2,三棱柱ABB-DC的体积为万，且∠ABB为钝角，求二面角C-DE-G的 正弦值。 18、(17分) 猫▣C:+1@>6>0)的离心率为，上、下顶点分别为AB,且 (1)求C的方程 (2)D是椭圆C的左顶点，P是C上除顶点外的任意一点，直线AP与BD交于点Q,直线 DP与y轴交于点T,设直线AP的斜率为k,直线QT的斜率为m. (i)求点P的坐标（用k表示）； :2为定值。 (ⅱ)证明：m 19、.（17分) 已知函数f(x)=(x2+2x+a)e. (1)讨论f(x)的单调性 (2)若f(x)无零点，但有两个不同的极值点， （i)求a的取值范围； (ⅱ)设x1,x2为f(x)的两个极值点，求f(x1)+f代x2)的取值范围. 数学试题第4页（共4页）