第四章图形的平移与旋转同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

第四章 图形的平移与旋转同步练习2 一、单选题 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕B点顺时针方向旋转，得到，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（    ） A． B． C． D． 6．点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（    ） A． B． C． D． 8．在等腰直角三角形中，．如果以的中点O为旋转中心，将旋转，使点B落在点处，那么点和B的距离是（     ） A． B． C． D． 9．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 12．在平面直角坐标系中，点P与点Q关于原点对称，则的值为 ． 13．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若点P为上一动点，旋转后点P的对应点，则线段的最小值是 ． 14．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ． 15．如图，在和中，，点D在上．将绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转．在旋转过程中，当时，旋转的时间为 ． 三、解答题 16．如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求的长． 17．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)填空：①___________， ②如图，是由△ABC逆时针旋转得到的，其中旋转中心是点_________，旋转角至少为________度； (2)画出关于原点O对称的图形． 18．已知在中，，，D为直线AC上的一动点（点D不与点A、C重合），将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE，连接CE，DE． (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：． (2)当点D在直线AC上时，如图2，图3所示，线段AC，CD，CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个结论写出证明． 19．如图1，在等边三角形中，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将线段绕点A顺时针旋转，点D的对应点E恰好落在射线上． (1)求证：． (2)如图2，若点B关于直线的对称点为F，直线交于点N，连接． ①求证：． ②若，求的度数． 20．综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的平移与旋转同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B B B C C B A 1．D 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得,，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：， ∴， 将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查的知识点是求旋转角，解题关键是理解旋转角的定义． 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， 该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， 角的大小可以为． 故选：． 4．B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角的和差等知识点，熟记旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出、，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：将绕B点顺时针方向旋转，得到， ，， 的度数为． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．五角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是即可求出最小的旋转角度． 【详解】解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分， 那么最小的旋转角度为：． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标都变为相反数； 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 【详解】解：∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均取相反数， ∴ 点 的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 对称点为. 故答案为：B. 7．C 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由题意得，，则．由旋转得，，则，由勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵绕着点A逆时针旋转后到达的位置， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形和旋转的性质，关键是求得的长． 根据旋转的性质，得，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，为的中点， ， 根据勾股定理，， 由旋转可得． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理，利用旋转得到，进而得出四边形和正方形面积关系，再根据勾股定理求解即可． 【详解】把绕点顺时针旋转到的位置， ， ，， 四边形的面积正方形的面积， ∵，， ， 四边形的面积正方形的面积=， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了点的旋转，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数解析式，转化思想是解题的关键．先分别求当点在轴上时的坐标，然后利用待定系数法求出点的轨迹方程，设此轨迹方程交轴于点，当垂直轨迹方程时，最小，在中，根据求解即可． 从而解决本题． 【详解】解：求点运动轨迹， Q是直线上的一个动点， 当点在轴上时，由时，， ， 将Q绕点顺时针旋转90°，得到点，过点作轴于点，则 ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 的坐标为； 当点在轴上时，把代入直线得，， 解得，， 点的坐标为，， ， 轴， 点的坐标为， 设点所在直线方程为，将，代入，得 ，解得， 所在直线方程为， 当直线时，的值最小， 令直线分别交轴于点， 当时，， 当时，，解得， 点， ， 在中，， ，即， ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点，点的横纵坐标均互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，． ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点，由等腰三角形的“三线合一”得到，从而，进而得到，由旋转得到，，根据勾股定理求得，求出的最小值，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，过点A作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，运用勾股定理列式计算得，再结合周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到， ，， ， 为等边三角形， ， 在中，， 与的周长之和 ， 故答案为：． 15．或 【分析】作出图形，分①当和在点O同侧时，设与相交于点E．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，再根据每秒旋转列式计算即可得解；②当和在点O异侧时，延长与相交于点F．根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解． 【详解】解：，， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当和在点O同侧时，设与相交于点E． ， ， 旋转角． 每秒旋转， 此时旋转的时间为； ②如图②，当和在点O异侧时，延长与相交于点F． ， ， ∴旋转角为， ∴旋转的时间为． 综上所述，当时，旋转的时间为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 16．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由为等边三角形，则，，由旋转性质可知，，，证明，所以，再由平行线的判定即可求证； （）由是边长为的等边三角形，点是的中点，则，，，所以，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是边长为的等边三角形，点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴． 17．(1)①2；②B， (2)见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质及点的坐标关于原点对称，熟练掌握旋转的性质及点的坐标关于原点对称是解题的关键； （1）①根据割补法可进行求解；②根据旋转的性质可进行求解； （2）先得出点关于原点对称的点，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①由图可知：； 故答案为2； ②由图可知：是由△ABC逆时针旋转得到的，其中旋转中心是点B，旋转角至少为度； 故答案为B，； （2）解：所作如图所示： 18．(1)证明见解析 (2)①，②；证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是找出全等三角形． （1）证明，由全等三角形的性质可得，即可证明； （2）同（1）由全等三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图2：①． 证明：当点在的延长线上时 由旋转可得，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 如图3：②． 当点D在CA的延长线上时： 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由旋转可得，利用证明，从而证明结论； （2）①设，则，得，分别表示出和的度数即可证明；②由（1）得，根据，可得，得方程，从而得出x的值． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴， 由①知，， 如图2，连接， 则， ， ∵， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，运用代数方法表示各角的度数是解题的关键． 20．（1），理由见解析；（2）①；②12． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：．理由：如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $