专题5.3转化表达(知识点+题型+强化专练)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦几何转化与表达核心知识点，系统梳理几何转化的核心思想（化繁为简、化未知为已知等）、常用方法（分割、拼接、图形变换等），以及几何语言（文字、符号、图形）的类型与规范，构建从思想方法到关系转化的完整学习支架。 该资料突出数学眼光（几何直观、空间观念）、数学思维（推理意识、模型意识）与数学语言（规范表达）的融合，通过正方体展开图识别、几何体表面积体积计算等题型设计，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

专题5.3 转化 表达 *目录 知识点 梳理 1.几何转化的核心思想 2图形转化的常用方法 3.几何语言的表达类型与规范 4.几何关系的转化与表达 5.几何推理的转化与表达规范 6.实际几何问题的转化与表达 题型 巩固 一.几何体展开图的认识 二.由展开图计算几何体的表面积 三.由展开图计算几何体的体积 四.正方体几种展开图的识别 五.正方体相对两面的字 六.从不同方向看几何体 强化 专练 一.选择题(5) 二.填空题(5) 三.解答题(3) 知识梳理 知识点一.几何转化的核心思想 将陌生、复杂的几何问题，通过等价变形、图形重构、维度转换等手段，转化为熟悉、简单的基本几何问题， 1.化繁为简：拆分复杂图形为基本图形 2.化未知为已知：借助性质转化条件与结论 3.数形结合：几何问题代数化与代数问题几何化 4.图形变换：利用变换性质实现等效转化 5.化异为同：统一图形属性或解题标准 知识点二.图形转化的常用方法 1.分割转化（把多边形分割为三角形、四边形等基本图形，用于求周长、面积）； 2.拼接转化（将分散图形拼接为完整图形，利用整体性质推导局部关系）； 平移 / 旋转 / 轴对称转化（通过图形变换，构造全等、平行关系，简化证明与计算）； 3.模型转化（将实际几何情境转化为几何图形模型，如将 “电线杆高度测量” 转化为直角三角形边角关系问题）。 知识点三.几何语言的表达类型与规范 表达类型主要分为文字语言、符号语言、图形语言三类，三者相互关联、缺一不可；而表达规范则聚焦 “准确、严谨、简洁”，确保几何推理和描述无歧义。 知识点四.几何关系的转化与表达. 1.线段关系的转化与表达 **常见转化方法 (1)线段相等：转化为 “全等三角形对应边相等”“等腰三角形两腰相等”“平行四边形对边相等”“垂直平分线性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）” 等； (2)线段和差：采用 “截长补短法”，如求证 “AB=CD+EF”，可在 AB 上截取 AG=CD，再证明 GB=EF；或延长 CD 至 H，使 DH=EF，再证明 CH=AB； (3)线段倍数：转化为 “中点性质（如三角形中位线等于第三边的一半）”“等腰三角形三线合一”“相似三角形对应边成比例（如相似比为 1:2，则对应边为 2 倍关系）”； (4)线段比例：转化为 “相似三角形对应边成比例”“平行线分线段成比例”“锐角三角函数（直角三角形中边与角的比例关系）”。 规范表达示例 (1)相等关系：“∵△ABC≌△DEF（SAS），∴AB=DE（全等三角形对应边相等）”； (2)和差关系：“在 AB 上截取 AC=AD，连接 CE，∵AD=AC，∠1=∠2，AE=AE，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴DE=CE，又∵CE=CB，∴DE=CB，故 AB=AD+DB=AC+DB=DE+DB”； 2.角度关系的转化与表达 常见转化方法 (1)角度相等：转化为 “平行线的同位角 / 内错角相等”“全等三角形对应角相等”“相似三角形对应角相等”“等腰三角形两底角相等”“对顶角相等”； (2)角度和差：转化为 “三角形内角和为 180°”“三角形外角等于不相邻两内角和”“多边形内角和公式（n-2）×180°”； (3)互余 / 互补：直角三角形中两锐角互余；邻补角互补；平行线同旁内角互补；圆内接四边形对角互补。 规范表达示例 (1)相等关系：“∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）”； (2)互余关系：“∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）”； 外角关系：“∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠B（三角形外角等于不相邻两内角和）”。 3.位置关系的转化与表达 常见转化方法 (1)平行关系：转化为 “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”“平行四边形对边平行”“三角形中位线平行于第三边”； (2)(垂直关系：转化为 “夹角为 90°”“直角三角形的直角”“等腰三角形三线合一”“勾股定理逆定理（若 a²+b²=c²，则夹角为 90°）”“圆的直径所对的圆周角为直角”； (3)共线关系：转化为 “平角（180°）”“三点连线中某两点的连线经过第三点”。 规范表达示例 (1)平行关系：“∵DE 是△ABC 的中位线（已知），∴DE∥BC（三角形中位线定理）”； (2)垂直关系：“∵AB=AC，AD 平分∠BAC（已知），∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）”； (3)共线关系：“∵∠AOB+∠BOC=180°（已知），∴点 A、O、C 在同一条直线上（平角的定义）”。 4.图形变换中几何关系的转化与表达 常见转化方法 (1)平移：对应边平行且相等，对应角相等，转化后可构造平行四边形； (2)旋转：对应边相等，对应角相等，旋转角相等，转化后可构造全等三角形； (3)轴对称：对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线，转化后可解决最短路径问题。 规范表达示例 (1)旋转变换：“将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到△A'B'C'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'，OA=OA'，∠AOA'=90°（旋转的性质）”； (2)轴对称变换：“∵点 A 与点 A' 关于直线 l 对称（已知），∴直线 l 垂直平分 AA'，且 AB=A'B（轴对称的性质）”. 知识点五.几何推理的转化与表达规范. 1.几何推理的核心转化思路 (1)顺向转化：从已知推未知 (2)逆向转化：从结论倒推条件 (3)双向转化：顺逆结合破难点 几何推理的表达需遵循 “格式标准、依据明确、语言精炼” 的原则，分为基础格式规范、符号表达规范、推理依据规范三部分. 知识点六.实际几何问题的转化与表达 步骤: ① 提取实际问题中的几何要素（如长度、角度、位置关系）； ② 转化为几何图形模型； ③ 用几何语言表达图形特征与数量关系 ④ 利用几何知识求解并验证。 （练习题） 题型一.几何体展开图的认识 1．如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的特征． 展开图为三棱柱特征，进而根据三棱柱的特征判断即可． 【详解】解：展开图为三棱柱特征，底面为三角形，有9条棱，有3个侧面． 故选：C． 2．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，设长方体的高为，则该长方体的宽是，该长方体的长是，由题意得，求出的值，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方体的高为，则该长方体的宽是，该长方体的长是， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．根据正八面体的展开图的折叠过程，判定解答即可． 【详解】解：根据展开图和折叠的过程，得在Q的右边的那个面上的数是1， 故选：A． 4．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，根据原图形逐项分析即可得解，解题时勿忘记正四棱锥的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力． 【详解】解：选项A和C带颜色的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项B能折叠成原几何体的形式； 选项D无法折叠成几何体． 故选：B． 5．将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（    ）    A．    B．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面的一半，故可解答． 【详解】解：点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面的一半， 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，考核了学生的空间想象能力． 6．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 7．一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，要展成一个平面图形，至少置要剪开条棱，则 ． 【答案】61 【分析】本题主要考查了棱柱的认识、几何体的展开图以及代数式求值，关键是数出该棱柱展开时没有剪开的棱的条数．根据题意可得该棱柱为十棱柱，共有12个面，30条棱，将该棱柱展成一个平面图形，至少置要剪开19条棱，即可确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：若该棱柱共有20个顶点， 则该棱柱为十棱柱，共有12个面，30条棱， ∴，， 要将该棱柱展成一个平面图形，必须有11条棱连接， 则至少置要剪开19条棱，即， ∴． 8．将一个边长为20的正方形纸片的四周分别剪去一个边长为整数的小正方形，剩下的部分折叠成一个无盖的长方形，则长方体的最大容积为 ． 【答案】588 【分析】本题考查展开图折叠成几何体．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为x， 根据题意得长方体的容积为， 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； ...， ∴长方体的容积随x的增大先增大后减小， 当时，容积最大，最大值是588． 故答案为：588． 题型二.由展开图计算几何体的表面积 9．有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 10．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 11．一个长方体长20厘米，宽15厘米，高10厘米，把它切成两个完全相同的长方体，两个长方体表面积之和最大是( )平方厘米． 【答案】1900 【分析】由“一个长方体长20厘米，宽15厘米，高10厘米，把它切成两个小长方体”可知，切成小长方体后增加了两个面，要求这两个长方体的表面积的和最大是多少，先求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面，然后加上原长方体的表面积即可． 【详解】解： （平方厘米） 故答案为：1900． 【点睛】本题考查长方体的表面积，解题的关键是明白，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面． 12．如图所示，把底面周长厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】由题意知：把圆柱切拼成一个近似的长方体后，底面积、高及体积都没有变，只有表面积比原来的圆柱体多了两个长方形的面积，而这两个长方形的长跟圆柱的高相等，宽跟圆柱的底面半径相等；所以，要求长方体的体积，可求得圆柱体的体积即可;求长方体的表面积可用圆柱的表面积加上多出来的两个长方形的面积即可. 【详解】解：（1）底面半径：（厘米）， 长方体的表面积＝圆柱的侧面积+2个底面积+2个长方形的面积， ， （平方厘米）； （2）长方体的体积：， （立方厘米）； 答：这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米． 故答案为：，． 【点睛】此题在求长方体的表面积时易出错，要弄清切拼后表面积增加了，是增加了哪几个面的面积． 13．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 故选：D． 14．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 15．把两个长、宽、高的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面积大 ． 【答案】10 【分析】本题考查了粘合长方体的表面积，分类思想．注意两个大小相同的小长方体粘合最小面所成大长方体的表面积最大；大长方体切分成两个大小相同的小长方体，切分最大面所成小长方体的表面积最大． 若把两个长方体粘合成一个新的长方体只有三种办法：1、把两个长方体的1×2的面粘在一起，新的长方体长6cm、宽2cm、高1cm，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最大时，小长方体的长6cm、宽2cm、高0.5cm；2、把两个长方体的1×3的面粘在一起，新的长方体长4cm、宽3cm、高1cm，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最大时，小长方体的长4cm、宽3cm、高0.5cm；3、把两个长方体的2×3的面粘在一起，新的长方体长3cm、宽2cm、高2cm，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最大时，小长方体的长3cm、宽2cm、高1cm．再根据长方体的表面积公式求解后，比较即可得出结果． 【详解】由题知，原小长方体的表面积， 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长6cm、宽2cm、高1cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大； 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长4cm、宽3cm、高1cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大； 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长3cm、宽2cm、高2cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大， 故最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面大． 故答案为：10． 题型三.由展开图计算几何体的体积 16．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体，根据体积计算方法可求出长方体的体积． 【详解】解：将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体， 于是，体积为， 故答案为：． 17．如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．设长方体的高为，然后表示出其宽为，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可． 【详解】解：设长方体的高为，则其宽为， 根据题意得：， 解得：， 故长方体的宽为，高为；长为， 则长方体的体积为． 故选：A． 18．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，则长方形纸板的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查整式的运算，认识立体图形，一元一次方程的应用，设长方体底面的另一边长为，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．掌握长方体的体积公式是解题的关键． 【详解】解：设长方体底面的另一边长为， 依题意，得：， 解得：， ∴长方形纸板的长为：． 故答案为：． 19．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 20．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 题型四.正方体几种展开图的识别 21．如图，是一个无盖正方体盒子的展开图，则折叠后盒子的底面是（   ） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据题干的一个无盖正方体盒子的展开图，运用空间想象能力，即可作答． 【详解】解：结合题干的这个无盖正方体盒子的展开图，面与其他面都是相邻的面，得出折叠后盒子的底面是B面 故选：B 22．如图，个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则拼接方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，结合正方体侧面展开图即可求解，正确理解正方体侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 故小丽总共能有种拼接方法； 故选：． 23．下列说法正确的有（    ）． （1）八棱柱有8条侧棱，16条棱，10个面；（2）将正方体展开需要剪开条棱；（3）圆锥的侧面展开图是一个三角形；（4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查棱柱的性质、正方体的展开、圆锥的侧面展开图以及正方体的截面．根据棱柱的性质、正方体的展开、圆锥的侧面展开图以及正方体的截面的定义逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：（1）八棱柱有8条侧棱，但总棱数为条，而非16条，故错误； （2）正方体有12条棱，展开需剪开条棱，∵展开图有5条公共边，故正确； （3）圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形，错误； （4）正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，正确． ∴正确的说法有2个， 故选：B． 24．在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图的特点，正方体共有11种展开图，分为三种类型，分别是“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型．解题的关键是掌握正方体展开图的特点． 根据正方体的展开图的特点解答即可． 【详解】解：题干中的图经过剪去某字后可将图变成正方体展开图的“1-4-1”型或“2-3-1”型，“1-4-1”型应剪去标记为“弘”或“扬的小正方形，“2-3-1”型应剪去标记为“精”的小正方形． 故选：A． 25．如图，平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积为，则 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，有理数的乘法运算，求代数式的值，根据正方体表面展开图的特征，判断相对的面，求出、的值，最后代入计算即可．掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知： “”与“”是对面，“”与“”是对面， 又∵相对面上两个数之积为， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型五.正方体相对两面的字 26．如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．设 B．丽 C．中 D．国 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题关键．根据正方体的平面展开图特点求解即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图特点可知，“设”字与“丽”字处在相对的面上，“美”字与“中”字处在相对的面上，“建”字与“国”字处在相对的面上， 故选：D． 27．一个正方体的相对面上的数相等，其展开图如图所示，则的结果是（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，根据相对的面上所标的两个数相等，得出的值，继而求出的值． 【详解】解：由正方体表面展开图可知， “a”与“1”的面是相对的面， “b”与“”的面是相对的面， “c”与“3”的面是相对的面， 又因为相对的表面上所标的数相等， 所以， 则． 故选：D． 28．有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查正方体的特征；根据题意易得5的对面数字是1，6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 29．如图，已知正方体展开图相对两面的两数之和相等，则数字0的相对面上数字的相反数是（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，一元一次方程，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键．先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，12和相对，A和0相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， 所以，， 所以，的相反数是， 故选：D． 30．《2023年中国诗词大会》全新提炼十大主题热词：“欢喜、寻味、燃、寒暑、先生、本来、心动、天下、十年、远方”，绽放穿越寒冬的温暖诗意，讲述对新一年的美好期待与展望．小铭选取“寒暑、十年、远方”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字，根据图中该正方体在三种状态所显示的汉字，可推出图中“？”的汉字是 ． 【答案】年 【分析】本题考查学生的空间想象能力和推理能力，通过三个正方体中能看到的数字推出三组相对的数字是完成本题的关键．根据相邻的面判断出相对的面即可． 【详解】解：由图1，2图可知，与寒相邻的面是十，暑，远，方 所以寒与年相对， 由图2，3图可知，与远相邻的是十，方，寒，年 故远与暑是相对面，十与方是相对面， 又十在上面远在右面， 所以年在前面寒在后面， 所以“？”处是年． 故答案为：年． 31．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．    【答案】51 【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值． 【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：， 故答案为：51． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力． 题型六.从不同方向看几何体 32．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图从上面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，判断几何体的三视图，理解平面图形与立体图形的关系是解题的关键．根据不同向上几何图形的特征回答即可． 【详解】解：因为构成正六棱柱的两个底面积是正六边形，所以从上面看的形状就是正六边形， 故选：D． 33．如图，这是一个由7个相同的正方体组成的立体图形，从正面、左面、上面看该立体图形得到的平面图形的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从各个角度看几何体，分别得出面积是解题关键． 根据从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，从左面看得到的图形计算面积的大小，可得答案． 【详解】解：几何体从正面看有个小正方形，故， 几何体从左面看有个小正方形，故， 几何体从上面看有个小正方形，故， 所以， 故选：C． 34．一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 【答案】A 【分析】本题考查正方体的对面问题，掌握相关知识是解决问题的关键．先由三个图显示的邻面能够确定红色的对面是蓝色，黄色和黑色的对面分别是剩余的两个颜色，再由各个面的相对位置关系最终得出答案． 【详解】由图可知： 红色的邻面是黄、黑、绿、白， ∴红的对面是蓝， 黄色的邻面是黑、蓝、红， ∴黄的对面是绿或白， 黑色的邻面是黄、红、蓝， ∴黑的对面是绿或白， 结合三个图形中各个面的相对位置可知， 在第二个图中红色在最前面时，黑色应该在底部，而它的左侧应该是绿色， ∴白对黄，黑对绿． 故选：A． 35．如图是用棱长为的正方体搭成的几何体，把几何体所有的表面都涂上红色．则4个面涂上红色的有 个正方体；这个几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体.正方体有6个面，只有2个面与其它小正方体拼到一起的小正方体，有4个面涂色；先确定有几个小正方体，根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出一个小正方体体积，再乘小正方体个数即可． 【详解】解：从上往下看的图形中，最下层的2个小正方体和最上层的2个小正方体只有2个面与其它小正方体拼到一起， 所以4个面涂色的小正方体有4个， ()， 这个几何体的体积是． 故答案为：；． 36．从正面、上面看由相同的小正方体堆成的几何体的形状图如图所示，则堆成该几何体的小正方体的个数的最大值和最小值的和是 ． 【答案】30 【分析】本题考查由三视图判断几何体，从上面看可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面看可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出堆成该几何体的小正方体的个数的最大值和最小值个数，进而即可解题． 【详解】解：从上面看可以看出最底层小正方体的个数为7个， 第二层最多有（个），第二层最少有（个）， 第三层最多有（个），第三层最少有（个）， 那么堆成该几何体的小正方体的个数的最大值为（个），最小值为（个）， （个）． 故答案为：30． 37．如图，棱长为4的正方体，可以看成由24个棱长为1的小正方体组成．M、N分别为棱、的中点，剩下部分为三棱柱（如图阴影部分），那么此三棱柱还包括 个完整的棱长为1的小正方体． 【答案】16 【分析】此题主要考查了正方体和三棱柱的认识，理解题意，首先画4×4的网格，在网格上画出三棱柱底面的平面图，找出中所包括的完整的边长为1的小正方形，进而根据正方体的棱长为1可得出三棱柱中，包括完整的棱长为1的小正方体的个数，是解答此题的关键． 【详解】解：画出底面的平面图，其中正方形网格的边长1， 在中，完整的正方形有4个， 又∵正方体的棱长为4， ∴三棱柱中，包括完整的棱长为1的小正方体的个数是：（个）． 故答案为：16． 38．如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） . A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 【答案】D 【分析】本题考查简单组合体的不同方面的观察以及图形的变化类，发现各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律是正确解答的关键． 根据各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律进行计算即可． 【详解】解：第①个图形从上面可以看到1个正方形，即； 第②个图形从上面可以看到3个正方形，即； 第③个图形从上面可以看到6个正方形，即； 第④个图形从上面可以看到10个正方形，即； 第200个图形从上面可以看到的正方形的个数为 ． 故选：D． (强化巩固专练) 一.选择题 1．图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 【答案】D 【分析】本题考查棱柱有关的运算，根据图形的形状以及边长进行判断即可． 【详解】解：A.原正方形纸片的边长为，四个角都切去边长为的小正方形，所以，本选项正确，不符合题意； B.根据题意得出该无盖的长方体纸盒的表面积是，本选项正确，不符合题意； C.当时，，所以图为正方体，本选项正确，不符合题意； D.长方体的所有棱长之和为，不是定值，本选项错误，符合题意； 故选：D． 2．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 【答案】C 【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键． 3．一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查根据从不同方向看到几何体的图形，判断组成几何体立方块的个数．根据从上面看到的图形，得出最底层小立方体的个数，再根据从正面和左面看到的图形得出每一层小立方体的层数和个数，从而计算出总的个数即可． 【详解】解：从上面看最底层有4个小立方体，由正面看可得有2层，上面一层是1个小立方体，从左面看，一列是1个小立方体，另一列有2个小立方体，如下图所示： ∴搭成这个几何体的小立方块的个数是个， 故选：B． 4．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是不小心少画了一个，若在图上补涂一个小正方形，使阴影部分能折成一个正方体，则不同的涂法有（    ） A．1和 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，以下几种情况图中阴影部分可以组合成正方体： 故选：D． 5．如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 二.填空题 6．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了正方体的展开图，熟练掌握空间想象能力是解题的关键． 一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点，再“马走日”一次，就与原数字重合，由此即可求解． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 7．如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．正确的找到正方体展开图的相对面，是解题的关键． 先确定展开图的相对面，利用相对面上的两个数字之和均为6，求出，再代入代数式进行求值即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴． 故答案为：2． 8．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 【答案】3 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 9．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 10．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块． 【答案】 16 10 【分析】本题考查从不同方向看立体图形，有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 分别画出搭建该几何体需要小立方块最多与最少时的示意图，再逐个计算即可． 【详解】解：如图所示 ∴搭建该几何体最多需要个小立方块， ∴最少需要个小立方块． 故答案为：16，10． 三.解答题 11．如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． (3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)36 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）根据从不同方向看几何体作图即可得； （2）从上面看确定位置，即可得到最多添加的数量； （3）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小正方体， 故答案为：4； （3）解：这个几何体的总表面积（含底面）为：， 故答案为：． 12．某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． 【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程． 【答案】（1）这个无盖长方体纸盒的底面积是；（2）；（3）无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据题意可得图1中的长方体底面是一个边长为的正方形，利用正方形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到该有盖长方体的长为，宽为，高为，据此利用长方体体积计算公式求解即可； （3）仿照（1）先求出无盖长方体的底面积进而，再求出高即可求出无盖长方体的体积；先求出有盖长方体的长、宽、高，进而可求出有盖长方体的体积． 【详解】解：（1）由题意得，图1中的长方体底面是一个边长为的正方形， ∴这个无盖长方体纸盒的底面积为； ∴当，时，． （2）由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， 故答案为：． （3）无盖长方体的体积为， 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍． 13．如图，长方形纸板中，长为20米，长为a米．下面我们将研究用不同裁剪方法，将该纸板制作成长方体纸盒． (1)如图①所示，用把长方形分成2个长方形，如图②所示，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒．若，请你求这个纸盒底面的周长． (2)如图③、④所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒． ①若，请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长． ②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等？如果相等，请求出此时a的值．如果不相等，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)①图③、④两种不同方案的底面周长，14 ②相等，5 【分析】（1）设，则，则每一段的长度为，根据长方体纸盒的意义，得到，解方程即可． （2）①若，图③中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 图④中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． ②图③中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 图④中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 【详解】（1）设，则，则每一段的长度为，根据长方体纸盒的意义，得到， 解得， ∵ ∴， 故底面的周长为：． （2）①若，图③中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 图④中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． ②相等，．理由如下： 图③中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 图④中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 根据两种方案的底面周长相等，得， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 转化 表达 *目录 知识点 梳理 1.几何转化的核心思想 2图形转化的常用方法 3.几何语言的表达类型与规范 4.几何关系的转化与表达 5.几何推理的转化与表达规范 6.实际几何问题的转化与表达 题型 巩固 一.几何体展开图的认识 二.由展开图计算几何体的表面积 三.由展开图计算几何体的体积 四.正方体几种展开图的识别 五.正方体相对两面的字 六.从不同方向看几何体 强化 专练 一.选择题(5) 二.填空题(5) 三.解答题(3) 知识梳理 知识点一.几何转化的核心思想 将陌生、复杂的几何问题，通过等价变形、图形重构、维度转换等手段，转化为熟悉、简单的基本几何问题， 1.化繁为简：拆分复杂图形为基本图形 2.化未知为已知：借助性质转化条件与结论 3.数形结合：几何问题代数化与代数问题几何化 4.图形变换：利用变换性质实现等效转化 5.化异为同：统一图形属性或解题标准 知识点二.图形转化的常用方法 1.分割转化（把多边形分割为三角形、四边形等基本图形，用于求周长、面积）； 2.拼接转化（将分散图形拼接为完整图形，利用整体性质推导局部关系）； 平移 / 旋转 / 轴对称转化（通过图形变换，构造全等、平行关系，简化证明与计算）； 3.模型转化（将实际几何情境转化为几何图形模型，如将 “电线杆高度测量” 转化为直角三角形边角关系问题）。 知识点三.几何语言的表达类型与规范 表达类型主要分为文字语言、符号语言、图形语言三类，三者相互关联、缺一不可；而表达规范则聚焦 “准确、严谨、简洁”，确保几何推理和描述无歧义。 知识点四.几何关系的转化与表达. 1.线段关系的转化与表达 **常见转化方法 (1)线段相等：转化为 “全等三角形对应边相等”“等腰三角形两腰相等”“平行四边形对边相等”“垂直平分线性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）” 等； (2)线段和差：采用 “截长补短法”，如求证 “AB=CD+EF”，可在 AB 上截取 AG=CD，再证明 GB=EF；或延长 CD 至 H，使 DH=EF，再证明 CH=AB； (3)线段倍数：转化为 “中点性质（如三角形中位线等于第三边的一半）”“等腰三角形三线合一”“相似三角形对应边成比例（如相似比为 1:2，则对应边为 2 倍关系）”； (4)线段比例：转化为 “相似三角形对应边成比例”“平行线分线段成比例”“锐角三角函数（直角三角形中边与角的比例关系）”。 规范表达示例 (1)相等关系：“∵△ABC≌△DEF（SAS），∴AB=DE（全等三角形对应边相等）”； (2)和差关系：“在 AB 上截取 AC=AD，连接 CE，∵AD=AC，∠1=∠2，AE=AE，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴DE=CE，又∵CE=CB，∴DE=CB，故 AB=AD+DB=AC+DB=DE+DB”； 2.角度关系的转化与表达 常见转化方法 (1)角度相等：转化为 “平行线的同位角 / 内错角相等”“全等三角形对应角相等”“相似三角形对应角相等”“等腰三角形两底角相等”“对顶角相等”； (2)角度和差：转化为 “三角形内角和为 180°”“三角形外角等于不相邻两内角和”“多边形内角和公式（n-2）×180°”； (3)互余 / 互补：直角三角形中两锐角互余；邻补角互补；平行线同旁内角互补；圆内接四边形对角互补。 规范表达示例 (1)相等关系：“∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）”； (2)互余关系：“∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）”； 外角关系：“∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠B（三角形外角等于不相邻两内角和）”。 3.位置关系的转化与表达 常见转化方法 (1)平行关系：转化为 “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”“平行四边形对边平行”“三角形中位线平行于第三边”； (2)(垂直关系：转化为 “夹角为 90°”“直角三角形的直角”“等腰三角形三线合一”“勾股定理逆定理（若 a²+b²=c²，则夹角为 90°）”“圆的直径所对的圆周角为直角”； (3)共线关系：转化为 “平角（180°）”“三点连线中某两点的连线经过第三点”。 规范表达示例 (1)平行关系：“∵DE 是△ABC 的中位线（已知），∴DE∥BC（三角形中位线定理）”； (2)垂直关系：“∵AB=AC，AD 平分∠BAC（已知），∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）”； (3)共线关系：“∵∠AOB+∠BOC=180°（已知），∴点 A、O、C 在同一条直线上（平角的定义）”。 4.图形变换中几何关系的转化与表达 常见转化方法 (1)平移：对应边平行且相等，对应角相等，转化后可构造平行四边形； (2)旋转：对应边相等，对应角相等，旋转角相等，转化后可构造全等三角形； (3)轴对称：对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线，转化后可解决最短路径问题。 规范表达示例 (1)旋转变换：“将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到△A'B'C'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'，OA=OA'，∠AOA'=90°（旋转的性质）”； (2)轴对称变换：“∵点 A 与点 A' 关于直线 l 对称（已知），∴直线 l 垂直平分 AA'，且 AB=A'B（轴对称的性质）”. 知识点五.几何推理的转化与表达规范. 1.几何推理的核心转化思路 (1)顺向转化：从已知推未知 (2)逆向转化：从结论倒推条件 (3)双向转化：顺逆结合破难点 几何推理的表达需遵循 “格式标准、依据明确、语言精炼” 的原则，分为基础格式规范、符号表达规范、推理依据规范三部分. 知识点六.实际几何问题的转化与表达 步骤: ① 提取实际问题中的几何要素（如长度、角度、位置关系）； ② 转化为几何图形模型； ③ 用几何语言表达图形特征与数量关系 ④ 利用几何知识求解并验证。 （练习题） 题型一.几何体展开图的认识 1．如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 2．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ． 3．正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 4．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 5．将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（    ）    A．    B．  B．  C．   D．   6．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 7．一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有个面，共有条棱，要展成一个平面图形，至少置要剪开条棱，则 ． 8．将一个边长为20的正方形纸片的四周分别剪去一个边长为整数的小正方形，剩下的部分折叠成一个无盖的长方形，则长方体的最大容积为 ． 题型二.由展开图计算几何体的表面积 9．有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 10．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 11．一个长方体长20厘米，宽15厘米，高10厘米，把它切成两个完全相同的长方体，两个长方体表面积之和最大是( )平方厘米． 12．如图所示，把底面周长厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． 13．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 15．把两个长、宽、高的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面积大 ． 题型三.由展开图计算几何体的体积 16．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为 立方毫米．（用含x、y的式子表示） 17．如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 18．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为，则长方形纸板的长为 ．    19．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 20．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 题型四.正方体几种展开图的识别 21．如图，是一个无盖正方体盒子的展开图，则折叠后盒子的底面是（   ） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 22．如图，个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则拼接方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 23．下列说法正确的有（    ）． （1）八棱柱有8条侧棱，16条棱，10个面；（2）将正方体展开需要剪开条棱；（3）圆锥的侧面展开图是一个三角形；（4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 24．在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 25．如图，平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积为，则 题型五.正方体相对两面的字 26．如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．设 B．丽 C．中 D．国 27．一个正方体的相对面上的数相等，其展开图如图所示，则的结果是（   ） A．5 B．1 C． D． 28．有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 29．如图，已知正方体展开图相对两面的两数之和相等，则数字0的相对面上数字的相反数是（    ） A．12 B．5 C． D． 30．《2023年中国诗词大会》全新提炼十大主题热词：“欢喜、寻味、燃、寒暑、先生、本来、心动、天下、十年、远方”，绽放穿越寒冬的温暖诗意，讲述对新一年的美好期待与展望．小铭选取“寒暑、十年、远方”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字，根据图中该正方体在三种状态所显示的汉字，可推出图中“？”的汉字是 ． 31．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．    题型六.从不同方向看几何体 32．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图从上面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 33．如图，这是一个由7个相同的正方体组成的立体图形，从正面、左面、上面看该立体图形得到的平面图形的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 34．一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 35．如图是用棱长为的正方体搭成的几何体，把几何体所有的表面都涂上红色．则4个面涂上红色的有 个正方体；这个几何体的体积是 ． 36．从正面、上面看由相同的小正方体堆成的几何体的形状图如图所示，则堆成该几何体的小正方体的个数的最大值和最小值的和是 ． 37．如图，棱长为4的正方体，可以看成由24个棱长为1的小正方体组成．M、N分别为棱、的中点，剩下部分为三棱柱（如图阴影部分），那么此三棱柱还包括 个完整的棱长为1的小正方体． 38．如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） . A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 (强化巩固专练) 一.选择题 1．图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 2．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米 A．157 B．985.96 C．1142.96 3．一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是不小心少画了一个，若在图上补涂一个小正方形，使阴影部分能折成一个正方体，则不同的涂法有（    ） A．1和 B．2种 C．3种 D．4种 5．如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 二.填空题 6．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 7．如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 8．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 9．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 10．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块． 三.解答题 11．如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． (3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____． 12．某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． 【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程． 13．如图，长方形纸板中，长为20米，长为a米．下面我们将研究用不同裁剪方法，将该纸板制作成长方体纸盒． (1)如图①所示，用把长方形分成2个长方形，如图②所示，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒．若，请你求这个纸盒底面的周长． (2)如图③、④所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒． ①若，请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长． ②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等？如果相等，请求出此时a的值．如果不相等，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $