广东省湛江市 雷州市覃斗中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

雷州市覃斗中学九年级期中检测 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 8．对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 9．我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（   ）个． ①；②；③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．方程的解是 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 13．如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是 14．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是 ． 15．如图，四边形内接于，，连接、，则 ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16．解方程：． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 18．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19．如图，是⊙的直径，是⊙的弦． (1)请在图中作出的角平分线交⊙于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，过点作直线，交的延长线于点，请依题意补全图形，并证明：； (3)若，，求的长． 20．某商店销售一批玩具，平均每月可售出500个，每个盈利10元．经调查发现，每个玩具每涨价1元，月销售量就减少10个． (1)商店要使月销售利润达到8000元，每个玩具应涨价多少元？ (2)这次涨价活动中，8000元是最高月盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值． 21．已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22．如图，在中，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)如图一，线段三者之间的数量关系是___________ (3)当转动至如图二所示的位置时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)直接写出该二次函数的表达式； (2)当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值； (3)点、点在二次函数图像上，若对于任意，，都有恒成立，请直接写出实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州市覃斗中学九年级期中检测 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A A C C B D D 1．D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如 ），只有选项C符合条件；选项A和D不是整式，选项B是一次函数 【详解】∵ 二次函数的标准形式为， 选项A：含有分式，不是整式函数； 选项B：最高次数为1，是一次函数； 选项C：满足 ，符合二次函数定义，是二次函数； 选项D：是根式函数，不是整式函数 ∴ 只有C是二次函数 故选C 3．A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题． 求抛物线与y轴的交点坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：将代入抛物线方程，得：， 因此，抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 4．A 【分析】先把原方程化为：，可得：，从而可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选： 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 5．A 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∴， ∴， ∵与相切，为切点， ∴, ∴． 故选C． 7．C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 8．B 【分析】由抛物线即可得判断选项A、C、D，将化为即可得判断选项B，即可得． 【详解】解：A、对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、，，抛物线开口向上，无最大值，选项说法错误，符合题意； C、，抛物线开口向上，顶点坐标（5，3），选项说法正确，不符合题意； D、时，y随x的增大而增大，选项说法正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 10．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，通过图象获取参数符号和判定式子的符号是解题的关键． 根据抛物线开口方向可知，根据对称轴可得可知b的正负、函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，进而判定①是否正确；根据抛物线与x轴的交点个数可以判定②是否正确；根据抛物线的对称性可以得到与x轴的另一个交点，从而判定③是否正确；根据图象可以判定④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，，即，， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，故③正确； ④根据抛物线图象可得，当时，随增大而减小，故④正确； 故正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 11．或 【分析】本题考查了一元二次方程的运算，熟悉掌握直接开方法是解题的关键． 利用直接开方法运算求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， 故答案为：或． 12． 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 13． 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键会是综合应用这些知识解题． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系：，． 先根据根与系数的关系求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 16．， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用配方法求解一元二次方程． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上4，得， 即， 所以， 即，． 17．(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【详解】（1）解：如图所示： 的坐标为； （2）解：如图所示， 的坐标为； （3）解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【详解】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用尺规作图的方法作出的角平分线； （2）根据角平分线的定义结合等边对等角即可证明，推出； （3）利用勾股定理求得的长，利用垂径定理结合三角形中位线定理求得，证明四边形是矩形，在中，求出，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：所作如图所示： ； （2）解：所作如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于K． ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 20．(1)每个玩具应涨价10元或30元． (2)8000元不是最高月盈利，最高盈利为9000元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每个玩具涨价x元，则每个玩具盈利为元，月销售量为个，再根据月销售利润公式建立方程求解即可； （2）先列出月盈利，再通过二次函数性质判断最大值，并计算最高盈利即可． 【详解】（1）解：设每个玩具涨价x元，则每个玩具盈利为元，月销售量为个． 月销售利润为， 整理得：， 因式分解得， 解得或． 答：每个玩具应涨价10元或30元． （2）解：月盈利． ∵，对称轴为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为． ∴8000元不是最高月盈利，最高盈利为9000元． 21．(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答； （3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得到可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，， ∴当，y有最小值；当时，则； 当时，则； ∴y有最大值0， ∴． （3）解：∵，是抛物线上不同的两点， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 22．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据ASA证明即可； （2）连，则可得到，然后证明得到，则； （3）连接，同理可得，则，然后证明得到，则． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2），理由如下： 如图所示，连， ∵，O为AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．(1) (2)①；②，最大值为 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）①先求得直线的解析式为，设点，则，根据，可得，解方程，即可求解；②过点作于点，过点作轴交于点，点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值，进而设点，则，得出的关系式，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据，即可求解． （3）先求抛物线的对称轴，然后分，，三种情况，利用二次函数的图象及性质可以分别求出t的值． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图所示，过点作轴于点， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点代入， 得，， ∴， ∴直线的解析式为，   ∵、， ∴ 设点，则， ∵ ∴ ∴，即 解得：或（舍去） ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作轴交于点， ∵点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当线段最大时，取得最大值，， 设点，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， ∴，此时； （3）在中，对称轴为直线， 若，即时， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴； 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∵， ∴ 解得，； ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $