5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

10.6或10 11.解：(1)证明：因为∠ACB=90,∠A=50°，M为边AB的中 点，所以CM=MA=MB,∠B=40°， 所以∠MCB=∠B=40°， 所以∠EMC=∠MCB+∠B=80° 因为∠ACE=30°， 所以∠MEC=∠A十∠ACE=80° 所以∠MEC=∠EMC,所以CE=CM (②因为AB=4,所以CE=CM=AB=2 因为EF⊥AC,∠ACE=30,所以EF=号CE-1, 在RAEFC中，FC=VCE-EF-√2-1下=V3. 12.解：(1)续写解客过程如下： 由题意，得AB=AC=BC=6. 因为AD1BC于点D,所以CD=2BC=3. 在R:△ACD中，根据勾股定理可得， AD=/AC-CD=√6-3=33， 所以Sae-号AD,BC-X35X6=95 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D.设C BD=x,则CD=15一x 在Rt△ABD与R:△ACD中 AD=AB2-BD,AD*=AC2-CD*, 所以AB2-BD2=AC2-CD3, 即42-x”=13-(15-x)2, 得-号，期BD-号。 所以AD-√B-BD-√-（传- 16 所以Sac=ZBC·AD=X15× =24 一题多解法。 (2)如图，过点C作CD⊥AB交BA的C 延长线于点D. 设AD=x,则BD=4十x 因为CD⊥AB, 所以在Rt△ACD与Rt△BCD中， CD2=AC2-AD2,CD2=BC-BD, 所以AC2-AD2=BC-BD2, 即132-x=158-(4十x), 解得x=5,即AD=5, 所以CD=√AC-AD=√13-5=12， 断以5AMx=含AB:CD=号×4X12=24 第2课时勾股定理的实际应用 1.C2.A3.D4.535.356.B7.B8.C9.7 10.解：设机器人行走的路程BC为xcm,则AC=BC=xcm, 所以OC=(9-x)cm.在Rt△OBC中，因为OB+OC= BC2,所以3十(9-x)2=x”,解得x=5,故机器人行走的 路程BC是5cm. 11.解：村庄A能听到广播宜传。 理由：因为村庄A到公路N的距离AB为600m,且在宣讲 车P周围1000m以内能听到广播宜传，所以村庄A能听 196 /八年级数学XJ版 蜀广播宜传 如图，设当宣讲车P在线段 CQ上行驶时，村庄A都能听 到广播宣传， 则AC=AQ=1000m M PC 所以BC=BQ=√10002-60c=800(m), 所以CQ=BC十BQ=1600m, 所以村庄A总共能听到1600÷200一8(min)的广播宣传. 2.解：沿过点A的圆柱的高展开圆柱的侧面，得到长方形EF GH,过点B作Q⊥EF于点Q,作点A关于EH的对称点 A',達接A'B交EH于点P,连接AP,如图所示，则AP十 PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 易知AP=AP,所以AP十PB=AP十PB=AB 因为B0=号×32=16(am,AQ=14-5+3=12am,所 以在Rt△A'QB中，由勾股定理，得A'B=√16+12=0 (cm). 第3课时勾股定理的逆定理 1.D2.A3.B4.30°变式题6.5 5.号变式题24cm2613s 7.解：在△BDC中，BC=15,BD=9,CD=12. 因为BD2+CD2=92+122=152=BC2, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， 所以△ADC是直角三角形， 因为Sac=2AB·CD=84,CD=12 所以AB=14,听以AD=AB一BD=14一9=5. 在R±△ADC中，AD+CD2=AC,即5+12=AC, 所以AC=13,所以△ABC的周长是13十14十15=42. 8.解：(1)③ (2)没有考忘a2一b2可能为0的情况 (3)△ABC是等腰三角形或直角三角形 9.C10.=11.2 12.解：运动59后，动点P运动的路程为2×5=10（©m), 动，点Q运动的路程为2.8×5=14(cm). 因为AB=BC=CD=BD=5cm,所以运动5s后，点P与 点D重合，点Q在AB上，且BQ=14-10=4(cm). 在△BPQ中，因为BP=5cm,BQ=4cm,PQ=3cm 所以BQ2十PQ=42十32=25=BP2, 所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP=90, 所以∠AQP=180°-90°=90°， 所以此时△APQ是直角三角形. 13.解：连接AC,如图 0 因为AB=6cm,BC=8em, 26 cm ∠ABC=90°， 24 cm 所以AC=√AB+BC=6em B 8 cm C V62+82=10(cm). 又因为CD=24cm,AD=26cm,且10°+24=26， 所以AC+CD2=AD2 所以AC⊥CD 因为图中1cm代表实际距离10m, 所以S-5AMe十5A-2×60X80+7×10 1 ×240=2400+12000=14400(m2), 所以绿化这块空地所需的费用为14400×60=864000 (元). 应用技巧专题勾股定理在面积问题上的应用 1.242号3.D4.485.14 6.解：如图，连接BE,在Rt△EBD中 BD=14 m,ED=8 m, 所以BE=BD2+ED2=14+8 =260. 因为AB=16m,AE=2m, 所以AB+AE2=16+2=260,所以AB+AE2=BE2, 所以△ABE是直角三角形，且∠A=90', 所以四边形ABDE的面积为S△E十S△E=2AB·AE +8D,DB=号×16×2+号×14×8=16+56=72 (m). 数学思想专题关于直角三角形的思想方法 1.71°2.5 3解：(1)是，理由如下： 因为AM+BN2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25, 所以AM2+NB8=MN2, 所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， 所以M,N是线段AB的“勾股分割点” (2)设BN=x,则MN=AB-AM-BN=18-x.分以下两 种情况讨论： ①当MN为最长线段时，依题意，得MN=AM+NB,即 (18-x)2=36十x2,解得x=8, ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM+MN2,即 x2=36+(18-x)2, 解得x=10. 综上所运，BN的长为8或10. 4.解：如图，延长AD,BC交于点E 因为∠B=90°，∠A=60°， 所以∠E=90°-60°=30 在R△ABE和Rt△CDE中， AB=2,CD=1, 所以AE=2AB=2×2=4,CE=2CD=2×1=2, 所以由勾殷定理，得BE=√AE一AB=√一2=23，DE =√CE-CD=√2-1下=E, 所以SACD-SAs-SAat-是X25X2-壹X5X 1=2-83v3 2=2 5.解：在R±△ABC中，因为∠A=45°， 所以AC=BC. 设AC=a,则a2+a2=62, 解得4=3√2， 所以56A0■乞×32X32=9. 在Rt△DBE中，∠E=30”,设BD=x,则BE=2x. 根据勾股定理，得(2x)2=x十62， 解得x=2W3, 所以BD=2W3,所以AD=6一2y3, 在R△ADF中，因为∠A=45°， 所以DF=AD=6-2W5 所以Sar=×6-2y5=24-12, 所以Sa边聚Dm-S4Ae-SaDP=9-(24-12W3)=123 -15. 5.3直角三角形全等的判定 1.C2.D 3.(答案不唯一)用直尺测量出斜边和一条直角边的长度斜 边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 4.60 5.解：(1)△AD02△AE0,△D0C2△EOB,△COM2 △BOM,△ACM≌△ABM,△ADB2△AEC,△BCE 2△CBD. (2)示例：进举△ADO2△AEO,△DOC2△EOB 证明：因为BD,CE是△ABC的高，所以∠ADO=∠AEO =90°， 在Rt△AD0与R△AEO中，QA-0A, OD=OE. 所以Rt△ADO2Rt△AEO(HL). ∠COD=∠BOE, 在△DOC与△EOB中，OD=OE, ∠ODC=∠OEB=90', 所以△DOC2△EOB(ASA). 6.解：如图，R:△DEF即为所求 D 7.5或108.D9.C10.1 11.解：(1)正明：因为∠ABC=90°，所以∠CBF=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， (AE=CF, AB=CB, 所以Rt△ABE≌R△CBF(HL). (2)因为AB=CB,∠ABC=90°， 所以∠CAB=∠ACB=45°， 听以，∠BAE=∠CAB-,∠CAE=459-30°=15. 由1)知，Rt△ABE2Rt△CBF 所以∠BAE=∠PCF=15°”， 所以∠ACP=∠BCF+∠AGB=15+45=60°. 12.解：(1)①BE=√2CD@90 (2)①补全图形如图. BE=√ECD. 证明：连接AE. 由题意，得AD=DE,CD=ME, ch 所以Rt△ACD≌Rt△DME(HL), 所以AC=DM 因为AC=BC, 所以BM=BC-CM=DM-CM=CD, 所以BM=EM 因为EM⊥CB, 所以BE=VBM十EM√2EM=√ECD ②90 44444 上册参考答案 197第3课时勾股定理的逆定理 y 要恩提园 直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三条边长a,b,c满足a十b=c2,那么这个三角 形是直角三角形.满足：2十b2=c2的三个正处数称为眼数 念课内基础练 6.如图，在四边形ABCD中，AB= 知识点勾股定理的逆定理及勾股数 2,BC=2,CD=3,DA=1,且 1.(2025衡阳期末)下列各组3个整数是勾股 ∠ABC=90°，则∠BAD的度数 数的是 ( 为 第6题图 A.4,5,6 B.6,8,9 7.(教材变式)如下图，在△ABC中，BC=15, C.13,14,15 D.8,15,17 D是线段AB上一点，BD=9,CD=12.若 2.若在△ABC中，BC=13,AC=5,AB=12, S△ABC=84,求△ABC的周长. 则下列判斯正确的是 A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.△ABC是锐角三角形 3.已知a,b,c为△ABC的三边长，在下列条 件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 A.a=6,b=8,c=10B.a=2,b=2a,c=a C.a:b:c=3:4:5D.b2=a-c2 易错点因使用逆定理前考虑不全而漏解 4.(2024一2025郴州永兴月考)已知三角形的 8.已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足 三边长为1,2，√3，则它的最小角的度数为 a2c8-b2c2=a-b,试判斯△ABC的 形状.请阅读下列解题过程： 变式题求角度→求中线长 解：因为a2c2-b2c2=a4-b,① 一个三角形的三边长分别为5,12,13，则这 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),@ 个三角形最长边上的中线长为 所以c2=a2+b2,③ 所以△ABC为直角三角形.④ 5.在△ABC中，若其三条边的长度分别为1， (1)在上述解题过程中，从第 1,√2，则这个三角形的面积为 步开始出现错误（填序号） (2)错误的原因： 变式题已知边长→已知边长比和周长 一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周 (3)本题的正确结论： 长为24cm,则其面积为 八年级数学X划版 已课外拓展练 巴核心素养练 9.已知a,b,c是△ABC的三条边长，且满足 13.(2025怀仁期未)综合与实践：某中学计划 (a-5)2+16-12|十c2-26c+169=0,则 实施空地绿化工程，负责人王老师将一块 △ABC的面积为 ( 四边形空地绿化费用的预算任务交给了 A.10 B.20 C.30 D.40 “求知”小组.该小组的同学把“空地绿化的 10.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D 合理颈算”作为一项课题研究，利用课余时 均在网格线的交点上，则△ABC与△ADB 间完成了实践调查报告. 的面积大小关系为S△ABC 研究课题空地绿化的合理预算 S△ADB(填“>“<”或“=”). 学会运用勾股定理及其递定理解决 研究目的 生活实际问题 测量工具测角仪、表尺 研究方式走访调研、实地勘察测量 第10题图 第11题图 别量示意图： D 26 cm 11.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的 /24cm 网格图中，连接AB,AC,BC.有下列结论： 6 cm 8 em C ①BC=√3AD: 研究方案 相关数据及说明：①在四边形AB ②△ABC是直角三角形： 及测量 CD中，∠ABC=90°： ③∠BAC=45. 数据 勿多次测量并求取平均值后的相关 其中，正确的个数为 长度如上图所示： ③别量示意图中1cm代表实际距 12.运算能力如下图，线段AB,BC,CD和 离10m: BD的长都为5cm.动点P从点A出发沿 ④每平方米的绿化费用为60元 A→B→D方向以2cm/s的速度运动到点 计算结果 4+ D,动点Q从点D出发沿D→C→B→A方 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需 向以2.8cm/s的速度运动到点A.若两点 的费用. 同时开始运动5s后，点P,Q相距3cm,求 此时△APQ的形状. 上册第5章 9△