精品解析：河南省洛阳市2025-2026学年高二上学期期中数学试题

洛阳市2025——2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角． 【详解】由题意，直线的斜率为1， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：C 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 3. 若直线平分圆的周长，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知圆心在直线上，即可代入求解. 【详解】由题意可得圆心位于直线上， 即，解得. 故选：A 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的公式进行求解． 【详解】在方向上的投影向量为： ， 故选：D 6. 在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 7. 如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则 因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 8. 已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 所以，即， 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 空间中所有的单位向量的模都相等 B. 空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合空间向量的基本概念依次判断即可． 【详解】对于A项，空间中所有的单位向量的模都为1，故A项正确； 对于B项，若两个非零向量方向相同且长度相等则它们是相等向量， 但它们的起点与终点可以不相同，故B项错误； 对于C项，若两个非零向量，不共线， 则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个向量不在此平面内， 使得，，不共面，从而构成空间的一个基底， 这与题设“与任何一个向量都不能构成空间的一个基底”矛盾， 故假设不成立，所以，共线，故C项正确； 对于D项，因为，所以，，，四点共面，故D项正确． 故选：ACD 10. 已知为坐标原点，，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（ ） A. 的最小值为10 B. 的最大值为2 C. 的最小值为15 D. 的最小值为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用求得点关于轴的对称点和关于的对称点，结合三角形边长的性质，可判定A、B正确；设，得到，设，利用导数求得函数的单调性，求得最小值，可判定C正确；求得点到轴和的距离，得到的最小值，可判定D不正确. 【详解】对于A，设点关于轴的对称点为，可得， 如图（1）所示，连接交轴于点，此时， 又由，此时取得最小值，所以A正确； 对于B，设点关于轴的对称点为，且， 可得，解得，即，可得， 如图（2）所示，连接，并延长交于点， 此时，可得的最大值为，所以B正确， 对于C，设，可得， 设， 当时，，此时在上是减函数，无最小值； 当时，，可得， 令，即，即 整理得，且，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减，且， 所以函数的最小值为，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，由点，且轴上一动点，为直线上一动点， 可得点到轴的距离为，点到的距离为， 可得的最小值为，所以D不正确. 故选：ABC. 11. 过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则（ ） A. 弦长的最小值为. B. 当直线的斜率为时，圆上恰有3个点到的距离为3 C. 圆与圆有2条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；B选项，求圆心到直线的距离与半径比较进行求解；C选项，判断两圆的位置关系进行判断；D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程. 【详解】对A，变形为， 圆心C为，半径， 因为，故原点在圆内， 故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值， 其中，故，A错误； 对于B，当直线的斜率为时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，而圆的半径， 则圆上恰有3个点到的距离为3，故B正确； 对于C，圆化为：， 则圆心，半径， 而， 则圆与圆内切，得圆与圆只有1条公切线，故C错误； 对于D，设，则四点共圆，且为直径， 其中线段的中点坐标为，即圆心坐标为， 半径为， 故四点所在圆的方程为：， 化简得：①， ②， ①－②得：， 则直线AB的方程为， 又因为直线AB过原点，将原点代入得：， 故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上， 即直线上，D正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果． 【详解】由题意得， 由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 13. 如图，正三棱柱的每条棱长均为3，点满足，则的长等于_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由余弦定理得，再在中求解即可． 【详解】由，得，如下图所示： ， 在中，由余弦定理得，， 因为平面，而平面，得， 在中，. 故答案为：4 14. 已知两定点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，由，得圆的方程，由直线与此圆有公共点进行求解． 【详解】设，由，得， 整理得到， 即. 依题意，则直线与此圆有公共点， 得，解得或， 得实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． 【小问1详解】 由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. 【小问2详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离； （2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦，进而可得解． 【小问1详解】 根据题意以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 点到平面的距离. 【小问2详解】 设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， ， 所以. 即平面与平面夹角的正弦值为 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用几何法联立直线方程得圆心，即可求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题设，线段的中点为且， 由知， 所以直线方程为，即， 联立，解得，即得， 而， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为0，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设，即 所以， 解得或. 直线的方程为或． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解； （3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为，设，由进行求解． 【小问1详解】 连接，由题意得为等边三角形，则， 在中，，，， ， 由，，，则，故. 又，则，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以 . 化简得，解得（舍去）， 故存在，使直线与平面所成角正弦值为. 【小问3详解】 取中点，设三棱锥的外接球的球心为，由知，点在过点且与平面垂直的直线上，设， 由得 解得， 从而，即三棱锥的外接球的半径为. 19. 已知圆，点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹与圆交于，两点，求； （3）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，利用两点间距离公式化简即可解； （2）两圆方程联立相减可得直线的方程为，利用几何法求圆的弦长； （3）设，，分别与圆的方程联立，利用韦达定理化简直线的斜率. 【小问1详解】 设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. 【小问2详解】 由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由二式相减得. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 由题意知两直线的斜率都存在且互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则，， 设，， 联立化简得 由根与系数的关系得， 同理得， 从而， ， 所以直线斜率， 即直线的斜率为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市2025——2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线平分圆周长，则（ ） A 4 B. 2 C. 1 D. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点是边上异于端点一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 空间中所有的单位向量的模都相等 B. 空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 10. 已知为坐标原点，，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（ ） A. 的最小值为10 B. 的最大值为2 C. 的最小值为15 D. 的最小值为12 11. 过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则（ ） A. 弦长的最小值为. B. 当直线的斜率为时，圆上恰有3个点到的距离为3 C. 圆与圆有2条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为_____. 13. 如图，正三棱柱的每条棱长均为3，点满足，则的长等于_____. 14. 已知两定点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 16. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 18. 如图1，在平行四边形中，，，为中点.将沿折起，使得，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求三棱锥的外接球的半径. 19 已知圆，点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹与圆交于，两点，求； （3）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $