专题3.3立体图形的表面展开图（知识点总结+9大题型+解题技巧）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

本讲义聚焦立体图形表面展开图核心知识点，系统梳理正方体11种展开图类型及3种无效形式，常见几何体（棱柱、圆柱、圆锥等）展开图组成特征，正方体相对面定位（隔一相对、Z端相对）等内容，形成从基础识别到综合应用的学习支架。 资料以题型为载体，融合口诀记忆、排除法等技巧，如正方体展开图口诀培养几何直观（数学眼光），相对面定位推理提升推理意识（数学思维），表格对比强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后同步练习与变式题帮助学生巩固，弥补知识盲点。

3.3立体图形的表面展开图 【题型1】正方体展开图的“有效vs无效”快速判定 1.核心知识点总结 正方体展开图共11种，分4类：“一四一”型（6种）、“二三一”型（3种）、“二二二”型（1种）、“三三”型（1种）。 3种无效形式：①“田”字形（4个正方形组成田字）；②“凹”字形（中间缺一个正方形的凹状）；③一行/一列超过4个正方形（或4个一排且另两个在同侧）。 2.高频考点梳理 选择题形式判断给定图形能否围成正方体。 结合实物模型，识别展开图的有效类型。 3.易错点警示 误将“三三型”与“田字格”混淆（“三三型”是两个3个正方形并排，无重叠顶点）。 忽略“二二二”型需呈阶梯状，不可同侧对齐。 4.解题技巧拆解 排除法：第一步看面数（必须6个正方形）；第二步排除“田”“凹”形；第三步验证是否符合4类有效类型。 口诀记忆：“中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线”。 【例题1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是一个正方体的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体平面展开图的特征，需逐个分析选项中的图形是否符合正方体平面展开图的特征，判断能否折叠成正方体． 【详解】解：A项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故A错误； B项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故B错误； C项：图形结构符合正方体展开图的特征，折叠后各面无重叠且能围成封闭的正方体，故C正确； D项：折叠时会出现面重叠的情况，不满足正方体展开图的要求，故D错误． 故选：C． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的表面展开图一一判断即可得出答案． 【详解】解：第一个图形可以围成无盖正方体， 第二个图形不能围成正方体， 第三个图形可以围成无盖正方体， 第四个图形可以围成有盖的正方体， 故第一个图形和第三个图形可以围成无盖正方体， 故选C 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 【答案】1或2或6 【分析】本题考查了正方体的展开图，依据正方体表面展开图的特征，判断图中哪些小正方形不能与剩余部分组成正方体，从而确定应剪去的小正方体． 【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：应剪去1或2或6． 故答案为：1或2或6． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·山西运城·期中）将图1中的正方体沿部分棱剪开得到如图2所示的展开图，除了图1中描粗的棱（）外，还需要剪开的三条棱为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据图中的信息以及运用空间想象能力进行分析，得出除了图1中描粗的棱（）外，还需要剪开的三条棱为，即可作答． 【详解】解：依题意，认真观察图1中的正方体，如图2所示的展开图， ∴除了图1中描粗的棱（）外，还需要剪开的三条棱为， 故选：B． 【题型2】常见几何体展开图的“特征匹配” 1.核心知识点总结 常见几何体展开图组成： 几何体 表面展开图组成 侧面展开图 n棱柱 2个n边形（底面）+n个长方形（侧面） n个长方形 圆柱 2个等圆（底面）+1个长方形（侧面） 长方形（长=底面圆周长） 圆锥 1个圆（底面）+1个扇形（侧面） 扇形（弧长=底面圆周长） 棱锥 1个n边形（底面）+n个三角形（侧面） n个三角形 2.高频考点梳理 根据展开图识别几何体。 判断给定展开图对应的几何体类型（棱柱/圆柱/圆锥/棱锥）。 3.易错点警示 混淆圆柱与圆锥的展开图（圆锥含扇形，圆柱不含）。 误将棱柱侧面展开图的长方形个数与底面边数不匹配（如三棱柱侧面需3个长方形）。 4.解题技巧拆解 关键图形定位法：见“扇形”→优先圆锥；见“两个等圆”→优先圆柱；见“多个长方形+两个相同多边形”→棱柱；见“多个三角形+一个多边形”→棱锥。 验证法：核对侧面图形个数与底面边数是否一致（棱柱必相等）。 【例题2】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】此题重点考查学生对空间立体图形的认识，把握四棱锥的特点是解题的关键． 根据几何体的展开图把它利用空间思维复原即可得到答案． 【详解】解：仔细观察几何体的展开图，根据底面正方形的形状可以确定它是四棱锥． 故选C 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的特征． 展开图为三棱柱特征，进而根据三棱柱的特征判断即可． 【详解】解：展开图为三棱柱特征，底面为三角形，有9条棱，有3个侧面． 故选：C． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列表面展开图写出这些多面体的名称： 【答案】三棱锥，正方体，长方体，三棱柱，三棱柱，三棱锥 【分析】本题考查了几何体表面展开图的问题，几何体表面展开图的性质是解题的关键．分别根据对应的展开图写出这些几何体的名称即可． 【详解】解：图1是三棱锥，图2是正方体，图3是长方体，图4是三棱柱，图5是三棱柱，图6是三棱锥． 故答案为：三棱锥，正方体，长方体，三棱柱，三棱柱，三棱锥． 【变式题2--3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，根据原图形逐项分析即可得解，解题时勿忘记正四棱锥的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力． 【详解】解：选项A和C带颜色的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项B能折叠成原几何体的形式； 选项D无法折叠成几何体． 故选：B． 【题型3】正方体相对面与相邻面的“定位技巧” 1.核心知识点总结 相对面特征：展开图中无公共边、无公共顶点。 两大定位方法：①“隔一相对”（上下/左右隔一行/一列）；②“Z端相对”（呈Z字形的两端面）。 2.高频考点梳理 求相对面上的字、数字或代数式）。 判断给定两个面是否为相对面/相邻面。 3.易错点警示 将相邻面误判为相对面（如“一四一”型中间四个面互为相邻面）。 忽略“Z端相对”需Z字为直线型，不可弯曲。 4.解题技巧拆解 标记法：先固定一个面为“正面”，再按展开图折叠逻辑标记“上、下、左、右、后”面。 公式法：若相对面数字/代数式互为相反数/倒数，先定位相对面再列等式计算（如a与b相对，a+b=0）。 【例题3】．（2026九年级·广西·专题练习）一个正方体的表面展开图如图，把它折成正方体后，与“我”字相对的字是 ，与“要”字相对的字是 ，与“细”字相对的字是 ，与“要”字相邻的字是 ． 【答案】 心 查 检 我、细、心、检 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析并解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，把它折成正方体后，与“我”字相对的字是“心”，与“要”字相对的字是“查”，与“细”字相对的字是“检”，与“要”字相邻的字是“我、细、心、检”． 故答案为：①心；②查；③检；④我、细、心、检． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查正方体的特征；根据题意易得5的对面数字是1，6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 【变式题3-2】．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图是正方体的一个表面展开图，原正方体上“尖”“青”两个字所在面的位置关系是（   ） A．相对 B．相邻 C．重合 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“尖”与“青”是相对面， 故选：A． 【变式题3-3】．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为2，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，解题的关键是利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为2，列出方程求出，的值代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ，解得： ； ，解得：； ，解得：； 将；；代入代数式得： .       ∴的值为：. 【题型4】含图案/数字的正方体折叠还原问题(培优) 1.核心知识点总结 折叠还原规律：展开图中相邻的面，折叠后仍为相邻面；图案方向与相对位置不变。 关键：确定图案所在面的相邻面特征(如颜色、数字、图形方向)。 2.高频考点梳理 给定含图案的展开图，判断折叠后能得到的正方体。 多个正方体骰子折叠后，求可见面点数之和。 3.易错点警示 忽略图案方向(如展开图中“↑”在右侧，折叠后可能在正面)。 混淆相邻面的相对位置(如骰子点数1的相邻面不是7-1=6)。 4.解题技巧拆解 实物模拟法：用草稿纸画展开图，折叠后标记图案位置。 排除法：先排除相对面图案同时出现的选项，再排除相邻面图案位置错误的选项。 【例题4】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立体几何的展开图，解题的关键在于把握立方体展开图中相邻面与相对面的位置逻辑，通过逐一验证选项中各面的相邻关系，确定符合目标立方体结构的展开图． 【详解】解：A．选项A中展开图折叠后可以形成所给的几何体，因此选项A符合题意； B．根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项B中的图形不是正方体的表面展开图，因此选项B不符合题意； C．选项C中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“您”，因此选项C不符合题意； D．选项D中的展开图折叠后虽然能折叠成正方体，但“红桃的尖”所对的面不是“深”而是“圳”，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）如图，按“上、右、前、左、后、下”的顺序在正方体的6个面上分别写上“喜迎澳门回归”字样，在以下几种表面展开图中，（   ）是正确的．    A．   B．   C．   【答案】B 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查正方体的展开与折叠，正方体相对面上的字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 【详解】解：根据题意得，“喜”字的对面是“归”字，“迎”字的对面是“门”字，“澳”字的对面是“回”字， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，小欣同学用该硬纸板折成了一个正方体盒子，里面放了一瓶墨水，则墨水所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的展开图的特点，解题的关键是熟知立体位置和平面位置之间的关系．由正方体展开图得出两个阴影三角形的两个直角边会合在一起，呈现一个三角形形状，圆在它的底面上，据此即可得答案． 【详解】解：如图所示，折叠后与重合，且点A与点C重合，点B与点D重合， ∴折叠后两个阴影三角形的直角顶点重合，呈现一个三角形，圆在它的底面上， 故选：B． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，关键在于利用空间想象能力还原立体图形．根据正方体的位置变换可知心与素相对，数与核相对，再根据数，学，心三面的斜线构成一个三角形即可得解． 【详解】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 【题型5】补全展开图围成立体图形(提升) 1.核心知识点总结 正方体补全要求：已有n个正方形(n=5)，补1个使总面数=6，且符合11种有效展开图。 长方体补全要求：补全后满足“两个相同底面+四个侧面”，对应边长度相等。 2.高频考点梳理 补一个正方形使图形能围成正方体。 补全长方体展开图，求未知边长。 3.易错点警示 补在无效位置(如“凹”字形缺口处，补后仍为无效展开图)。 长方体补全时忽略对应边长度相等(如侧面长方形的长需等于底面边长)。 4.解题技巧拆解 正方体补全：先判断已有图形属于哪类有效展开图的一部分，再按类型补全(如已有“二三一”型的“二二”，补“一”在同侧)。 长方体补全：标记已知边长度，补全的面需与对应边长度一致(如底面长a，侧面长方形长必为a)。 【例题5】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 【变式题5-1】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）图①是一个正方体，图②的阴影部分是这个正方体展开图的一部分，请你在图②中再涂黑两个正方形后成图①的表面展开图，请涂6种不同的情况． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握正方体的展开图的各种图形．根据正方体的展开图（如：一四一结构），将所给图形填涂完整即可． 【详解】解：如图所示：（任意画出六个即可） 【变式题5-2】．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·江西萍乡·月考）周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）解：如图所示，答案不唯一． 【题型6】立体图形表面两点间最短路径(培优) 1.核心知识点总结 最短路径原理：将立体图形表面展开为平面图形，两点间线段最短。 正方体/长方体展开方式：有多种展开图，需计算不同展开方式的路径长度，取最小值。 2.高频考点梳理 求正方体/长方体表面两点间的最短距离。 结合勾股定理计算路径长度。 3.易错点警示 未考虑所有展开方式，漏算最短路径。 展开后两点连线不经过表面(如穿过内部)。 4.解题技巧拆解 展开法：将两点所在的两个面展开为同一平面，构造直角三角形。 公式计算：设正方体棱长为a，两点在相邻面，展开后直角边为和。 【例题6】．（25-26七年级上·河南·开学考试）如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有（   ）种 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查排列组合问题．找出从A到B的最短路线有几种，从B到C的最短路线有几种，两者相乘就是从A经过B最终到达C的最短路线的种数． 【详解】解：从A到B的最短路线有3种，从B到C的最短路线也有3种． （种） 所以从A经过B最终到达C的最短路线有9种． 故选：C． 【变式题6-1】．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式题6-2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    【变式题6-3】．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【题型7】多面体截角后的展开图与边长问题（培优） 1.核心知识点总结 截角影响：正方体截去一个小正方体，表面积可能不变（截去面与新增面面积相等），棱长之和可能增加（新增截口棱）。 展开图修正：截角后的几何体展开图需补充截口对应的平面图形（如三角形、四边形）。 2.高频考点梳理 截角后几何体的表面积/棱长之和计算。 修正截角后的展开图。 3.易错点警示 认为截去小正方体后表面积减少（实际截去1个面，新增3个面，表面积增加）。 修正展开图时漏画截口对应的平面图形。 4.解题技巧拆解 表面积分析：原表面积+新增面面积-截去面面积（正方体截小正方体时，新增3个面=截去1个面，表面积不变）。 展开图修正：在原展开图的截角位置，补充截口的多边形（如截去一个顶点，新增三角形面，展开图中对应位置画三角形）。 【例题7】．（24-25六年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)72立方厘米 【分析】本题考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③④； （3）解：， 答：体积是72． 【变式题7-1】．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图是一个几何体的表面展开图．    (1)写出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填全所有可能的序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)表面积是，体积是，见解析 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题的关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，根据长方体的基本性质即可得到答案； （3）利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由于几何体的展开图共有个面，各个面有长方形或正方形， 故该几何体的名称为：长方体； （2）解：由于长方体有六个面， 用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得到三角形， 故截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． （3）解：， ． 【变式题7-1】．（21-22九年级下·山东青岛·单元测试）图是一个正方体，四边形表示用平面截正方体的截面，其中分别是的中点．请在展开图图中画出四边形的四条边．    【答案】见解析 【分析】把立体图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 【详解】解：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见图． （2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面： 顶点：，，P在边上，Q在边上．边在面上，在面上，在面上，在面上． （3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，D点在展开图上有三个，B，C点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如图．   ． 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 【变式题7-3】．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      【答案】①②/②① 【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断①；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断②③；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断④． 【详解】解：①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以要剪开条棱． ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形．正确． ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2， 是等边三角形，则．故（3）错误． ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是6，最多是11，则．故（4）错误． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键． 【题型8】由展开图求几何体的表面积（提升） 1.核心知识点总结 表面积公式： 几何体 表面积公式 注意事项 正方体 （a为棱长） 6个面完全相同 长方体 （a,b,c为长宽高） 相对面面积相等 圆柱 （r为底面半径，h为高） 侧面积=底面周长×高 无盖长方体 （缺一个上底面ab） 需明确缺哪个面 2.高频考点梳理 已知展开图边长，求正方体、长方体、圆柱的表面积。 含裁剪的展开图表面积计算（如剪去小正方形后）。 3.易错点警示 计算圆柱表面积时漏加两个底面（误算侧面积为表面积）。 无盖几何体多算缺失的面，或盖几何体少算底面。 4.解题技巧拆解 还原法：先根据展开图还原几何体，确定关键参数（棱长、长宽高、半径）。 分步计算：先算单个面面积，再按“总面数×单个面面积”（正方体/长方体）或“侧面积+底面积×2”（圆柱）求和。 【例题8】．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据展开图求几何体的表面积和体积，熟练掌握圆柱体的表面积和体积的计算公式，圆锥的体积的计算公式是解题的关键： （1）由展开图可知，几何体为圆柱体，根据圆柱体的表面积等于展开图的侧面积加上两个底面圆的面积，进行计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式进行计算即可； （3）根据圆柱体和圆锥的体积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，几何体为底面直径为4，高为5的圆柱体， ∴表面积为：； （2）圆柱体的体积为： （3）圆锥体的体积为圆柱体体积的，即为． 故答案为： 【变式题8-1】．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 【变式题8-2】．（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)12，432 (2) 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为： ； 故答案为：； （2）解：， 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：3． 长方体纸盒的表面积为． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （2）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （2）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】无盖几何体展开图的容积最值计算（提升） 1.核心知识点总结 无盖几何体（长方体/正方体）展开图特征：由底面图形+侧面图形组成（缺一个顶面）。 容积公式：(S为底面积，h为高)。 2.高频考点梳理 已知长方形纸片边长，剪去四角小正方形后折成无盖长方体，求容积或最值。 3.易错点警示 剪去小正方形边长x后，底面边长计算错误(如原长方形长a，剪去后底面长应为，而非)。 忽略x的取值范围()。 4.解题技巧拆解 设元法：设剪去小正方形边长为x，用x表示底面长宽和高(高=x)。 公式代入：容积，代入数值计算。 【例题9】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）在学校社团活动中，慎思小组的同学用一张边长为20cm的正方形纸板制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒时，将剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体容积对应填入下表： 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 观察表格，随着剪去的小正方形的边长的增大，所得无盖长方体盒子的容积（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．通过表中容积的变化可以直接得到结果． 【详解】解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故选：D． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在数学实验课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 活动三：在边长为的正方形卡纸上规划“图1展开图”的分布（每个展开图需完整，不重叠、不超出卡纸边界）． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积＝底面积×高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 任务3：在图3（边长为正方形示意图）中画出设计方案；评分将综合“卡纸利用率”和“图1展开图数量”，其中展开图数量最多的方案得满分． 【答案】（1）无盖长方体纸盒的容积为432；（2）①见解析；②新无盖长方体纸盒的容积为864（3）见解析 【分析】本题考查长方体的容积，立体图形的展开图，掌握知识点是解题的关键． （1）根据长方体的容积公式计算即可； （2）①根据长方体的展开图解答即可；②根据长方体的容积公式计算即可； （3）根据长方体的展开图进行解答即可． 【详解】解：（1）无盖长方体纸盒底面ABCD为正方形， 底面边长为，高为， 容积为， 答：无盖长方体纸盒的容积为． （2）①如图所示： ②新无盖长方体纸盒底面为正方形，边长为12，高为6， 容积为， 答：新无盖长方体纸盒的容积为． （3）作图如图，即为所作的图形． 【变式题9-33】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_____（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．                       B． C．                       D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 【答案】（1）C；（2）；（3） 【分析】本题主要考查立体图形和平面图形的关系，以及容积的求解： （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）根据题目所给剪法可以得解边长，结合长方体的体积计算公式解答； （3）根据长方体的侧面展开图的模式即可求得长宽高，利用长方体的体积计算公式解答． 【详解】解：（1）制作一个无盖的正方体纸盒需要5个面，排除B和D，A有“田”字无法折叠为无盖的正方体纸盒， 故选：C． （2）该纸盒的容积为 ． （3）牛奶盒身的高为． 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． 答：这个牛奶盒子的容积是． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对圆锥几何体形状特征的理解与应用，解题关键是清晰把握圆锥的定义（一个圆形底面、一个曲面侧面、一条高），并将各实物模型形状与之对比甄别．需依据圆锥的形状特征（一个圆形底面、一个曲面侧面、仅一条高），对每个选项的实物模型形状逐一分析判断． 【详解】解：选项A的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 选项B的实物模型整体形状为圆柱，不符合圆锥特征．其具备两个平行的圆形底面和曲面侧面，属于圆柱结构，不具备圆锥的形状特点； 选项C的实物模型整体形状呈现为圆锥形象．它有一个圆形底面，侧面是曲面，从顶部到底面圆心的距离为唯一的一条高，符合圆锥的形状特征； 选项D的实物模型整体形状为长方体（四棱柱），不符合圆锥特征．长方体由六个矩形面组成，有12条棱、8个顶点，与圆锥的曲面、单一底面等特征完全不同． 故选：C． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的青花瓷器，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个青花瓷器形状的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点，线，面，体之间的关系，理解“面动成体”是解题的关键．将平面图形绕虚线旋转一周，再与这个青花瓷器相比较即可得出答案． 【详解】解：A、绕虚线旋转一周后，能大致形成这个青花瓷器形状，则此项符合题意； B、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意； C、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意； D、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键；根据面动成体结合长方形绕底边旋转一周可得圆柱体，即可得答案． 【详解】解：面动成体，长方形绕底边旋转一周可得圆柱体， ∴所求的图形是空心圆柱体． 故选：D． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一个由七个相同的正方体组成的立体图形，则它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，解决本题的关键是观察从左面看到的小正方形的个数． 根据该几何图形从左往右看一共两列，根据每一列的小正方形的个数判断选项即可． 【详解】解：该几何体从左面看可得到左边第一竖列为2个正方形，第二竖列为1个正方形， ∴左视图为： ． 故选：B ． 5．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图，将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的截面，沿圆柱底面直径截圆柱所得的截面是矩形． 【详解】解：将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是矩形． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面去截一个五棱柱，截面最多可以是 边形． 【答案】七 【分析】本题考查立体几何的截面问题，需要学生具有一定的空间想象能力．截面多边形的边数由平面与几何体相交的面数决定．五棱柱有七个面（五个侧面和两个底面），因此截面最多可以是七边形． 【详解】解：用一个平面去截一个五棱柱，截面最多与七个面相交，产生七条交线，形成七边形． 故答案为：七． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．正确的找到正方体展开图的相对面，是解题的关键． 先确定展开图的相对面，利用相对面上的两个数字之和均为6，求出，再代入代数式进行求值即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    【答案】 【分析】本题考查了由两种视图判定该堆砌图形的小正方体的个数，结合主视图（正面看到的形状图）和俯视图（上面看到的形状图），分析每个位置小正方体的层数是解题的关键． 结合两种视图分别在俯视图上标注某个位置上放置的小正方体的个数，从而可得答案． 【详解】解：如图，（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个）， 最少有：（个）， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·四川阿坝·月考）如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为．    （1）它有 个侧面；（2）它的所有侧面的面积之和是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查直棱柱的侧面数量以及侧面积的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据直棱柱的定义，棱柱有个侧面，直五棱柱的，因此可直接得出侧面数量； （2）直棱柱的侧面都是长方形，且每个侧面的面积等于底面边长乘以侧棱长，先求出一个侧面的面积，再乘以侧面的数量即可得到所有侧面的面积之和． 【详解】解：（1）∵直五棱柱是5棱柱，根据棱柱的特征，棱柱有个侧面， ∴直五棱柱有5个侧面． 故答案为：5； （2）直五棱柱的每个侧面都是长方形，长方形的长为侧棱长，宽为底面边长， 一个侧面的面积为： ， 一共有5个侧面，则所有侧面的面积之和为： ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键． 通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【详解】解：由题意可知： 的邻面有，，，， 的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 12．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)12，7 (3)长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体一共有4个侧面和上下2个底面，观察所给图形可知，多了一个底面，多余块涂黑如下图，为所求： （2）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开，那么若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， ． 答：长方体的体积为． 13．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2) 【分析】本题考查了六棱柱．熟练掌握六棱柱的表面展开图，侧面积计算，是解题的关键． （1）根据表面展开图有2个正六边形作底面，6个长方形作侧面，判断包装盒形状； （2）运用长方形面积公式计算侧面积． 【详解】（1）解：∵文创礼品的包装盒的表面展开图由2个大小相同的正六边形，6个大小形状相同的长方形组成， ∴这个包装盒形状是六棱柱． （2）解：六棱柱的侧面积 （）， 答：这个几何体的侧面积． 14．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长求解即可； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （2）解：根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． ∴长方体纸盒的体积为． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． 【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程． 【答案】（1）这个无盖长方体纸盒的底面积是；（2）；（3）无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据题意可得图1中的长方体底面是一个边长为的正方形，利用正方形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到该有盖长方体的长为，宽为，高为，据此利用长方体体积计算公式求解即可； （3）仿照（1）先求出无盖长方体的底面积进而，再求出高即可求出无盖长方体的体积；先求出有盖长方体的长、宽、高，进而可求出有盖长方体的体积． 【详解】解：（1）由题意得，图1中的长方体底面是一个边长为的正方形， ∴这个无盖长方体纸盒的底面积为； ∴当，时，． （2）由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， 故答案为：． （3）无盖长方体的体积为， 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3立体图形的表面展开图 【题型1】正方体展开图的“有效vs无效”快速判定 1.核心知识点总结 正方体展开图共11种，分4类：“一四一”型（6种）、“二三一”型（3种）、“二二二”型（1种）、“三三”型（1种）。 3种无效形式：①“田”字形（4个正方形组成田字）；②“凹”字形（中间缺一个正方形的凹状）；③一行/一列超过4个正方形（或4个一排且另两个在同侧）。 2.高频考点梳理 选择题形式判断给定图形能否围成正方体。 结合实物模型，识别展开图的有效类型。 3.易错点警示 误将“三三型”与“田字格”混淆（“三三型”是两个3个正方形并排，无重叠顶点）。 忽略“二二二”型需呈阶梯状，不可同侧对齐。 4.解题技巧拆解 排除法：第一步看面数（必须6个正方形）；第二步排除“田”“凹”形；第三步验证是否符合4类有效类型。 口诀记忆：“中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线”。 【例题1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是一个正方体的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·山西运城·期中）将图1中的正方体沿部分棱剪开得到如图2所示的展开图，除了图1中描粗的棱（）外，还需要剪开的三条棱为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【题型2】常见几何体展开图的“特征匹配” 1.核心知识点总结 常见几何体展开图组成： 几何体 表面展开图组成 侧面展开图 n棱柱 2个n边形（底面）+n个长方形（侧面） n个长方形 圆柱 2个等圆（底面）+1个长方形（侧面） 长方形（长=底面圆周长） 圆锥 1个圆（底面）+1个扇形（侧面） 扇形（弧长=底面圆周长） 棱锥 1个n边形（底面）+n个三角形（侧面） n个三角形 2.高频考点梳理 根据展开图识别几何体。 判断给定展开图对应的几何体类型（棱柱/圆柱/圆锥/棱锥）。 3.易错点警示 混淆圆柱与圆锥的展开图（圆锥含扇形，圆柱不含）。 误将棱柱侧面展开图的长方形个数与底面边数不匹配（如三棱柱侧面需3个长方形）。 4.解题技巧拆解 关键图形定位法：见“扇形”→优先圆锥；见“两个等圆”→优先圆柱；见“多个长方形+两个相同多边形”→棱柱；见“多个三角形+一个多边形”→棱锥。 验证法：核对侧面图形个数与底面边数是否一致（棱柱必相等）。 【例题2】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【变式题2-1】．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列表面展开图写出这些多面体的名称： 【变式题2-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】正方体相对面与相邻面的“定位技巧” 1.核心知识点总结 相对面特征：展开图中无公共边、无公共顶点。 两大定位方法：①“隔一相对”（上下/左右隔一行/一列）；②“Z端相对”（呈Z字形的两端面）。 2.高频考点梳理 求相对面上的字、数字或代数式。 判断给定两个面是否为相对面/相邻面。 3.易错点警示 将相邻面误判为相对面（如“一四一”型中间四个面互为相邻面）。 忽略“Z端相对”需Z字为直线型，不可弯曲。 4.解题技巧拆解 标记法：先固定一个面为“正面”，再按展开图折叠逻辑标记“上、下、左、右、后”面。 公式法：若相对面数字/代数式互为相反数/倒数，先定位相对面再列等式计算（如a与b相对，a+b=0）。 【例题3】．（2026九年级·广西·专题练习）一个正方体的表面展开图如图，把它折成正方体后，与“我”字相对的字是 ，与“要”字相对的字是 ，与“细”字相对的字是 ，与“要”字相邻的字是 ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【变式题3-2】．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图是正方体的一个表面展开图，原正方体上“尖”“青”两个字所在面的位置关系是（   ） A．相对 B．相邻 C．重合 D．无法确定 【变式题3-3】．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为2，求的值． 【题型4】含图案/数字的正方体折叠还原问题 1.核心知识点总结 折叠还原规律：展开图中相邻的面，折叠后仍为相邻面；图案方向与相对位置不变。 关键：确定图案所在面的相邻面特征(如颜色、数字、图形方向)。 2.高频考点梳理 给定含图案的展开图，判断折叠后能得到的正方体。 多个正方体骰子折叠后，求可见面点数之和。 3.易错点警示 忽略图案方向(如展开图中“↑”在右侧，折叠后可能在正面)。 混淆相邻面的相对位置(如骰子点数1的相邻面不是7-1=6)。 4.解题技巧拆解 实物模拟法：用草稿纸画展开图，折叠后标记图案位置。 排除法：先排除相对面图案同时出现的选项，再排除相邻面图案位置错误的选项。 【例题4】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列哪一个展开图折叠起来可以形成图中的立方体?（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）如图，按“上、右、前、左、后、下”的顺序在正方体的6个面上分别写上“喜迎澳门回归”字样，在以下几种表面展开图中，（   ）是正确的．    A．   B．   C．   【变式题4-2】．（25-26七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，小欣同学用该硬纸板折成了一个正方体盒子，里面放了一瓶墨水，则墨水所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A．B． C． D． 【题型5】补全展开图围成立体图形(提升) 1.核心知识点总结 正方体补全要求：已有n个正方形(n=5)，补1个使总面数=6，且符合11种有效展开图。 长方体补全要求：补全后满足“两个相同底面+四个侧面”，对应边长度相等。 2.高频考点梳理 补一个正方形使图形能围成正方体。 补全长方体展开图，求未知边长。 3.易错点警示 补在无效位置(如“凹”字形缺口处，补后仍为无效展开图)。 长方体补全时忽略对应边长度相等(如侧面长方形的长需等于底面边长)。 4.解题技巧拆解 正方体补全：先判断已有图形属于哪类有效展开图的一部分，再按类型补全(如已有“二三一”型的“二二”，补“一”在同侧)。 长方体补全：标记已知边长度，补全的面需与对应边长度一致(如底面长a，侧面长方形长必为a)。 【例题5】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【变式题5-1】．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）图①是一个正方体，图②的阴影部分是这个正方体展开图的一部分，请你在图②中再涂黑两个正方形后成图①的表面展开图，请涂6种不同的情况． 【变式题5-2】．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式题5-3】．（25-26七年级上·江西萍乡·月考）周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【题型6】立体图形表面两点间最短路径(提升) 1.核心知识点总结 最短路径原理：将立体图形表面展开为平面图形，两点间线段最短。 正方体/长方体展开方式：有多种展开图，需计算不同展开方式的路径长度，取最小值。 2.高频考点梳理 求正方体/长方体表面两点间的最短距离。 3.易错点警示 未考虑所有展开方式，漏算最短路径。 展开后两点连线不经过表面(如穿过内部)。 4.解题技巧拆解 展开法：将两点所在的两个面展开为同一平面，构造直角三角形。 公式计算：设正方体棱长为a，两点在相邻面，展开后直角边为和。 【例题6】．（25-26七年级上·河南·开学考试）如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有（   ）种 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题6-1】．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题6-2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【变式题6-3】．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【题型7】多面体截角后的展开图与边长问题（培优） 1.核心知识点总结 截角影响：正方体截去一个小正方体，表面积可能不变（截去面与新增面面积相等），棱长之和可能增加（新增截口棱）。 展开图修正：截角后的几何体展开图需补充截口对应的平面图形（如三角形、四边形）。 2.高频考点梳理 截角后几何体的表面积/棱长之和计算。 修正截角后的展开图（2025四川达州质检创新题）。 3.易错点警示 认为截去小正方体后表面积减少（实际截去1个面，新增3个面，表面积增加）。 修正展开图时漏画截口对应的平面图形。 4.解题技巧拆解 表面积分析：原表面积+新增面面积-截去面面积（正方体截小正方体时，新增3个面=截去1个面，表面积不变）。 展开图修正：在原展开图的截角位置，补充截口的多边形（如截去一个顶点，新增三角形面，展开图中对应位置画三角形）。 【例题7】．（24-25六年级上·山东青岛·期末）如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【变式题7-1】．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图是一个几何体的表面展开图．    (1)写出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填全所有可能的序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【变式题7-2】．（21-22九年级下·山东青岛·单元测试）图是一个正方体，四边形表示用平面截正方体的截面，其中分别是的中点．请在展开图图中画出四边形的四条边．    【变式题7-3】．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则．其中正确结论为 ．      【题型8】由展开图求几何体的表面积（培优） 1.核心知识点总结 表面积公式： 几何体 表面积公式 注意事项 正方体 （a为棱长） 6个面完全相同 长方体 （a,b,c为长宽高） 相对面面积相等 圆柱 （r为底面半径，h为高） 侧面积=底面周长×高 无盖长方体 （缺一个上底面ab） 需明确缺哪个面 2.高频考点梳理 已知展开图边长，求正方体、长方体、圆柱的表面积。 含裁剪的展开图表面积计算（如剪去小正方形后）。 3.易错点警示 计算圆柱表面积时漏加两个底面（误算侧面积为表面积）。 无盖几何体多算缺失的面，或盖几何体少算底面。 4.解题技巧拆解 还原法：先根据展开图还原几何体，确定关键参数（棱长、长宽高、半径）。 分步计算：先算单个面面积，再按“总面数×单个面面积”（正方体/长方体）或“侧面积+底面积×2”（圆柱）求和。 【例题8】．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【变式题8-1】．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【变式题8-2】．（24-25七年级上·山东滨州·期末）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【变式题8-3】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 【题型9】无盖几何体展开图的容积及最值计算（培优） 1.核心知识点总结 无盖几何体（长方体/正方体）展开图特征：由底面图形+侧面图形组成（缺一个顶面）。 容积公式：(S为底面积，h为高)。 2.高频考点梳理 已知长方形纸片边长，剪去四角小正方形后折成无盖长方体，求容积或最值。 3.易错点警示 剪去小正方形边长x后，底面边长计算错误(如原长方形长a，剪去后底面长应为，而非)。 忽略x的取值范围()。 4.解题技巧拆解 设元法：设剪去小正方形边长为x，用x表示底面长宽和高(高=x)。 公式代入：容积，代入数值计算或配方求最值。 【例题9】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【变式题9-2】．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）在学校社团活动中，慎思小组的同学用一张边长为20cm的正方形纸板制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒时，将剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体容积对应填入下表： 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 观察表格，随着剪去的小正方形的边长的增大，所得无盖长方体盒子的容积（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式题9-2】．（25-26七年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在数学实验课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 活动三：在边长为的正方形卡纸上规划“图1展开图”的分布（每个展开图需完整，不重叠、不超出卡纸边界）． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积＝底面积×高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 任务3：在图3（边长为正方形示意图）中画出设计方案；评分将综合“卡纸利用率”和“图1展开图数量”，其中展开图数量最多的方案得满分． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_____（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．                       B． C．                       D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列实物模型，其整体形状呈现为圆锥形象的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的青花瓷器，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个青花瓷器形状的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一个由七个相同的正方体组成的立体图形，则它的左视图为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图，将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面去截一个五棱柱，截面最多可以是 边形． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·四川遂宁·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    9．（25-26七年级上·四川阿坝·月考）如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为．    （1）它有 个侧面；（2）它的所有侧面的面积之和是 ． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 12．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 13．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 14．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． 【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程． 学科网（北京）股份有限公司 $