第4章相交线和平行线单元复习（知识点总结+ 9大题型举+解题技巧）2025-2026学年华东师大版数学七年级上册易错点重难点培优专项复习

该初中数学讲义通过表格系统梳理相交线与平行线的核心知识点，结合全章导览图和思维导图呈现知识脉络，明确对顶角、平行线判定与性质等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题巩固对顶角计算等核心技能，提升题如平行线与折叠综合培养推理意识，拓展题如动态几何问题发展应用意识，助力不同学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

第4章 相交线和平行线 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.相交线相关 知识点 定义/性质 关键结论 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 邻补角之和为 对顶角 有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 对顶角相等 垂线 两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条是另一条的垂线 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 距离是数值，不是线段本身 2.平行线相关 知识点 定义/性质 关键结论 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线 同一平面内，两直线位置关系只有相交和平行 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 三线八角 两条直线被第三条直线所截形成的角 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型） 平行线判定 1.同位角相等，两直线平行； 2.内错角相等，两直线平行； 3.同旁内角互补，两直线平行； 4.垂直于同一直线的两条直线平行 由角的关系推导线的平行 平行线性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补 由线的平行推导角的关系 二、重难点突破 1.重点内容 对顶角、邻补角的识别与角度计算，是相交线问题的基础。 平行线的判定与性质，是全章核心，贯穿各类题型。 垂线的性质与点到直线的距离，是几何计算和实际应用的关键。 2.难点突破 复杂图形中“三线八角”的识别：可通过标记截线和被截线，剥离无关线条，聚焦核心图形。 平行线判定与性质的综合运用：牢记“判定是由角推线，性质是由线推角”，结合辅助线（如过拐点作平行线）解决复杂问题。 实际情境题建模：将生活中的平行、垂直关系转化为几何图形，运用相关性质求解。 三、高频易错点警示 易错点 错误表现 规避方法 对顶角与邻补角混淆 误将有公共边但不互补的角当作邻补角，或忽略对顶角“两边反向延长”的条件 识别时同时验证位置关系和数量关系（邻补角和为，对顶角两边反向） 垂线性质应用错误 认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直，或误将斜线段长度当作点到直线的距离 明确垂线性质限定“同一平面内”，点到直线距离是垂线段的长度 平行线定义理解偏差 忽略“同一平面内”，认为空间中不相交的直线是平行线 牢记平行线定义的前提条件，区分平面与空间中的直线关系 判定与性质混淆 已知两直线平行却用判定定理推角，或已知角的关系用性质定理推平行 先明确已知条件是“线平行”还是“角关系”，再选择对应定理 复杂图形角推导错误 混淆不同直线形成的同位角、内错角，或遗漏辅助线构建的角关系 拆分复杂图形为基础模型，分步推导，标注关键角 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】对顶角与邻补角的识别与计算 1.核心知识点总结 对顶角相等，邻补角之和为。 两条直线相交，可利用对顶角和邻补角的性质建立角度等量关系。 2.高频考点梳理 直接计算对顶角、邻补角的度数。 结合角平分线、平角性质综合求解。 3.易错点警示 漏数对顶角的对数（n条直线相交于一点，对顶角有对）。 误将邻补角当作对顶角计算，忽略“和为”的特征。 4.解题技巧拆解 标记相交直线的交点，明确对顶角和邻补角的对应关系。 利用方程思想，设未知数表示未知角，结合性质列方程求解。 【例题1】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（   ） A．对顶角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 D．若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等 【答案】AC 【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据相关定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，正确，符合题意； B、互补的两个角不一定是邻补角，原说法错误，不符合题意； C、若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，正确，符合题意； D、两个角不是对顶角，这两个角可能相等，也可能不相等，原说法错误，不符合题意； 故选AC． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的性质，角平分线的定义． 根据余角的定义得到，根据对顶角的定义得到，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义． 根据角平分线的定义得到，，根据计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 【题型2】垂线的性质与点到直线的距离 1.核心知识点总结 垂线段最短，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 点到直线的距离是垂线段的长度，需通过作垂线确定。 2.高频考点梳理 利用垂线性质求角度（如直角三角形中角度计算）。 实际情境中最短路径问题（如引水、修路等）。 3.易错点警示 混淆“垂线”与“垂线段”（垂线是直线，垂线段是线段）。 计算点到直线距离时，未作垂线直接用线段长度代替。 4.解题技巧拆解 遇到最短路径问题，优先考虑“垂线段最短”。 求点到直线距离时，先作出垂线段，再计算其长度。 【例题2】.（22-23七年级上·全国·期中）如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义，由对顶角相等可得，再由可知，由此即可解出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 【变式题2-2】.（17-18七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 【题型3】平行线的判定 1.核心知识点总结 判定定理：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行。 辅助判定：平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行。 2.高频考点梳理 利用已知角的关系（相等或互补）判定两直线平行。 结合角平分线、对顶角等性质推导判定条件。 3.易错点警示 误用判定定理（如用同旁内角相等判定平行）。 未找准对应的“三线八角”模型，导致判定依据错误。 4.解题技巧拆解 先找到与判定相关的角，明确其类型（同位角、内错角等）。 若角的关系不直接，通过对顶角、邻补角转化为所需角的关系。 【例题3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 判定两条直线是平行线，可以由内错角相等，同位角相等，同旁内角互补等，应结合题意，具体情况，具体分析．明确作图中移动的三角板的角度是同位角的关系是解题的关键． 【详解】解：同位角相等，两直线平行. 故答案为： 同位角相等，两直线平行． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行 【分析】】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理， 又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为：角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行． 【题型4】平行线的性质求角度 1.核心知识点总结 性质定理：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补。 2.高频考点梳理 已知两直线平行，求未知角的度数。 结合角平分线、直角三角形等知识综合计算。 3.易错点警示 未确认两直线平行，直接套用性质定理。 忽略图形中隐藏的角关系（如对顶角、邻补角）。 4.解题技巧拆解 标记已知平行的直线和相关的角，明确角的转化路径。 复杂图形中，通过作辅助线（如延长线）构建可利用性质的模型。 【例题4】.（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、邻补角的性质等知识点，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，再根据 “内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，进而得到，再结合可得；由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【能力提升篇】 【题型5】平行线在实际生活中的应用 1.核心知识点总结 将生活情境转化为几何图形，识别其中的平行、垂直关系。 运用平行线的性质与判定、垂线的性质解决实际问题。 2.高频考点梳理 建筑施工（如砌墙、修路）中的平行判定。 光的反射、物体投影中的角度计算。 路线规划中的最短路径问题。 3.易错点警示 无法将实际情境抽象为几何模型，找不到对应的知识点。 忽略实际情境中的约束条件（如地形、光线方向）。 4.解题技巧拆解 提取情境中的关键元素（如直线、角度、距离），画出简化的几何图形。 明确问题所求（如最短距离、角度大小），对应选择平行线或垂线的性质。 【例题5】.（2025·山西·一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点N作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题5-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据光线反射得到，，再利用平角的定义得到，，则，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线两直线平行． 【详解】解：．理由如下： 根据光的反射定律和等角的余角相等得到，， ∴，， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型6】平行线与折叠综合 1.核心知识点总结 折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应线段相等。 平行线的性质与判定，结合折叠产生的相等角进行推导。 2.高频考点梳理 长方形、正方形等图形折叠后，利用平行线性质求未知角。 折叠与平行线结合，判断线段或角的关系。 3.易错点警示 忽略折叠后对应的角相等，导致角关系推导错误。 未结合平行线性质，孤立分析折叠图形。 4.解题技巧拆解 标记折叠前后的对应点、对应角，明确相等关系。 利用平行线性质将分散的角集中到同一三角形或平角中求解。 【例题6】.（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 【变式题6-1】.（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【答案】(1)；；垂直的定义；内错角相等，两直线平行 (2)A (3)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可； （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线；第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线，即可． 【详解】（1）证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（垂直的定义） ， ，理由是：（内错角相等，两直线平行）； （2）由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行； 故选A． （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 【拓展培优篇】 【题型7】角平分线与平行线综合 1.核心知识点总结 角平分线的性质：角平分线将角分成两个相等的角。 平行线的性质与判定，结合角平分线推导角的关系。 2.高频考点梳理 角平分线与平行线结合，证明角相等或线段相等。 求复杂图形中特定角的度数（如平分线夹角）。 3.易错点警示 未利用平行线性质转化角，导致无法关联角平分线的作用。 混淆角平分线的对应角，导致角度计算错误。 4.解题技巧拆解 标记角平分线分成的相等角，利用平行线性质将角转移到同一位置。 设未知数表示角的度数，结合平行线性质和角平分线性质列方程。 【例题7】.（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 【变式题7-1】.（16-17八年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，已知，平分，，．求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求出，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（20-21七年级上·甘肃天水·期末）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据可得出答案； （2）先根据得，再根据得，由此可判定与的位置关系； （3）根据角平分线的定义设，，则，，再根据得，，，则，，据此可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： ∵平分，平分， ∴设，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点． (1)如图1，若，则=______； (2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明． ③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析；③ 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解； （2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，根据即可求解；②当点在线段上运动时（不与点，重合），结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解；③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②， 证明如下： 当点在线段上运动时（不与点，重合），如图所示： ∵， ， 则， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ， 则， 即， ， ∴； ③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，如图所示： ∵， ∴平分平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查由平行线的判定与性质求角度及角度关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、垂直定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，数形结合，找准各个角度之间的关系是解题的关键． 【题型8】平行线的判定与性质探究 1.核心知识点总结 给定部分条件，补充条件使两直线平行；或探究两直线平行时角的关系。 运用平行线的判定与性质进行逆向推理。 2.高频考点梳理 补充一个条件，使已知直线平行（开放条件）。 探究平行线中角的和差、倍数关系（开放结论）。 3.易错点警示 补充的条件与已知条件矛盾，或无法推出直线平行。 探究结论时，遗漏特殊情况，导致结论不完整。 4.解题技巧拆解 逆向思考：若需判定平行，思考需要哪些角关系（同位角相等、内错角相等或同旁内角互补），再结合已知条件补充。 多举例验证：探究结论时，通过多个具体图形验证，确保结论的普遍性。 【例题8】.（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，，再由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小北将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点N，M分别在直线上，直线，直线与分别相交于点G，H，，且． 【探索发现】（1）填空：如图，过点P作， ∵， ∴ ， ∴ ，，    ．．．．．． ∴ （填“”“”或“”）． 【操作探究】（2）的平分线交直线于点O． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小北将三角板沿直线左右移动，并保持（点N不与点G重合），在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）， ，；（2）①；②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； ②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ，， ， ∴； （2）解：，， ，， ， 平分， ， ， ， ； 的度数为或， 如图2，当点在点的右侧时，   ，， ， ， ， ，， 平分， ， ； 如图3，当点在点的左侧时，    同理可得， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·广东深圳·期末）根据以下素材， 探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，一副三角尺为我们观察世界提供 一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图 1 是一副三角尺， ， ， ， ． 问题解决 任务图        任务 1 如图 2，将两个三角尺如图摆放，使点 与点 重合，点 在 上， 与 相交于点 ，则 _____度．（提示：过点 作 ） 任务 2 如图 3，将三角尺 的直角顶点放在直线 上，使 ，三角尺 的顶点 在直线 上， 与 相交于 ，则 与 有怎样的数量关系？ 说明理由． 任务 3 将三角尺 固定不动，改变三角尺 的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点 重合， 当点 在直线 的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出 角度所 有可能的值（如图 4 提供了其中一种情况）：_____ 【答案】任务1：75；任务2：，理由见解析；任务3：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点是关键． 任务1：过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； 任务2：过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； 任务3：分五种情况进行讨论：当，当，当，当当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：任务1：过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； 任务2：，理由如下： 过点D作，如图3所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 任务3：的度数分别为或． 解：如图4，∵， ∴， ∴； 如图5，∵， ∴， ∴； 如图6，∵， ∴ 如图7，∵， ∴， ∴， ∴； 如图8，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______． 任务2 如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于，则与有怎样的数量关系？说明理由． 任务3 将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点、重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出角度所有可能的值（如图4提供了其中一种情况）． 【答案】任务1：；任务2：，理由见解析；任务3：的度数分别为或或或或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 任务1：过点D作，则，进而得，，由此可得的度数； 任务2：过点D作，则，进而得，，再根据可得出答案； 任务3：分、、、、5种情况，分别求出∠ACE角度． 【详解】任务1：解：过点作， ， ， ， ， 又， ， ， 任务2： 理由如下： 过点作，如图3所示 ， ， ，且 任务3：的度数分别为或或或或． 如图4， ，， ， ； 如图5， ，， ， ； 如图6， ，， ， 如图7， ，， ， ， 如图8，设与交于点， ，， ， ， ． 【题型9】动态几何中的平行线问题 1.核心知识点总结 直线旋转、点移动等动态过程中，平行线的判定与性质的灵活运用。 结合方程思想、分类讨论思想求解变量（如时间、角度）。 2.高频考点梳理 射线旋转过程中，判断两直线平行的时间节点。 点在平行线间移动时，角度或线段长度的变化规律。 3.易错点警示 遗漏动态过程中的不同情况，未进行分类讨论。 未建立变量与角度、线段长度的关系，无法列方程求解。 4.解题技巧拆解 明确动态元素的运动规律（如旋转速度、移动方向），设变量表示关键量。 分情况讨论两直线平行的条件，结合平行线的判定列出方程，求解后验证合理性。 【例题9】.（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1)120 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：120； （2）解：如图，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）解：如图，当点在上方时，交于点，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，当点在下方时，延长交于点，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·重庆万州·月考）直线，将一副三角板中的两块直角三角形如图放置，在直线上，在上，在同一直线上，，，，． (1)若三角形如图摆放时，此时与重合，求； (2)先固定三角形的位置不变，将三角形沿方向平移，使得点正好落在上，与直线交于点，作 的角平分线交的延长线于点，如果，求的度数（用含α的代数式表示）． (3)将（）中的三角形固定，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，旋转时间为，当的某条边与的一条边平行时，请直接写出的值 【答案】(1)15° (2) (3)的值为或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图中，过点作，证明，可得结论； （）如图中，先求出，进而可得，根据（）可证．即可得出结论； （）分种情形∶当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别讨论求出的度数，可得结论． 【详解】（1）解：如图中，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得． （3）解：①当时，如图， ∴ ∴， ∵，点，，三点共线，， ∴，，即，解得； ②当时，过点作，如图， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴， 当时，情况不存在； ④当时，同②； ⑤当时，同①； ⑥当时，如图， 此，即，解得； ⑦当时，如图， ∵ ∴， ∴，即， 解得； ⑧当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ⑨当时，此情况不存在． 综上所述，的值为或或或或． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)图①中，即；图②中，；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得，再利用平行线的性质即可得到结论； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图③，延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【答案】(1)64 (2) (3)18或90 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）依据题意，过C作，又因为，从而，可得，又由，，最后可得，进而得解； （2）依据题意，平分，求出，根据角平分线的性质，平行线的性质，求解； （3）分情况讨论，列出关于t的式子，进行求解． 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 2．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， 平分， 设，，， 如图： ∵为直角，即， ∴， ∵O为直线上一点， ∴， ∴， ，， ∵ ∴，故①错误； ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， 即与互为补角，故③正确； ∵，，， ∴， 即，故④正确； 正确的有②③④； 故选：D． 二、多选题 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在正方体中，与棱平行且相等的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题考查正方体中棱的平行与相等关系，解题关键是结合正方体的结构特征，判断棱的位置关系与长度关系． 先明确正方体棱的平行、相等性质，再结合的位置，找出与之方向相同、长度相等的棱． 【详解】在正方体中： 棱是上底面的一条边，其方向与长度由正方体的棱长决定． 棱：位于下底面，与平行且长度均为正方体棱长； 棱：位于上底面，与平行且长度相等； 棱：位于下底面，与平行且长度相等． 故选：AB． 7．（20-21七年级下·四川德阳·月考）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与它平行 B．在同一平面内，不同的两条直线只有一个交点 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】BC 【分析】本题考查了直线和直线的位置关系，根据平面内直线的位置关系及垂线性质逐一分析选项，找出错误的说法． 【详解】A． 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与它平行．此说法正确，符合平行公理． B． 在同一平面内，不同的两条直线只有一个交点．此说法错误，因为同一平面内两条直线不同的可能相交（一个交点）或平行（无交点），因此并非“只有”一个交点． C． 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．此说法错误，正确表述应为“在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”．若未限定平面内，在空间中有无数条这样的直线． D． 经过两点有且只有一条直线．此说法正确，符合直线公理． 综上，选项B和C均错误， 故选：BC． 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，，下面结论中，其中说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题考查了余角和补角，垂直的定义，是基础题，根据垂直的定义和同角的余角 相等分别计算，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； 不一定等于，故A错误； ，故C正确； ，故D正确； 综上所述，说法正确的是BCD． 故选：BCD． 9．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，已知，下列条件中能判断的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故A符合题意； ，不能判断，故B不符合题意； ，不能判断，故C不符合题意； 当时，则：， ∴；故D符合题意； 故选AD． 10．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，下列推理正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、若，则，，不能得到，原推理错误，不符合题意； D、若，则，正确，符合题意； 故选ABD． 三、解答题 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分． 若，求和的度数； 【答案】， 【分析】本题考查余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，根据角平分线的定义求出的度数即可；先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：平分，且， ，，三点共线， ， 平分， ， ，． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？ 【答案】与是直线AB，CE被直线AD所截而形成的内错角；与是直线AD，BC被直线EC所截而形成的同旁内角． 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系． 【详解】解：与是直线，被直线所截而形成的内错角；与是直线，被直线所截而形成的同旁内角． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，准确识别同位角、内错角、同旁内角是关键，弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 13．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 14．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)如图，过点作，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查几何中角度的计算，有关角平分线的计算，垂线的定义，掌握其概念是解决此题关键． （1）根据角平分的定义和对顶角相等可得答案； （2）根据垂直的定义得，然后由角的和差关系可得答案． 【详解】（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相交线和平行线 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.相交线相关 知识点 定义/性质 关键结论 邻补角 有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 邻补角之和为 对顶角 有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 对顶角相等 垂线 两条直线相交成直角时，互相垂直，其中一条是另一条的垂线 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 距离是数值，不是线段本身 2.平行线相关 知识点 定义/性质 关键结论 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线 同一平面内，两直线位置关系只有相交和平行 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 三线八角 两条直线被第三条直线所截形成的角 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型） 平行线判定 1.同位角相等，两直线平行； 2.内错角相等，两直线平行； 3.同旁内角互补，两直线平行； 4.垂直于同一直线的两条直线平行 由角的关系推导线的平行 平行线性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补 由线的平行推导角的关系 二、重难点突破 1.重点内容 对顶角、邻补角的识别与角度计算，是相交线问题的基础。 平行线的判定与性质，是全章核心，贯穿各类题型。 垂线的性质与点到直线的距离，是几何计算和实际应用的关键。 2.难点突破 复杂图形中“三线八角”的识别：可通过标记截线和被截线，剥离无关线条，聚焦核心图形。 平行线判定与性质的综合运用：牢记“判定是由角推线，性质是由线推角”，结合辅助线（如过拐点作平行线）解决复杂问题。 实际情境题建模：将生活中的平行、垂直关系转化为几何图形，运用相关性质求解。 三、高频易错点警示 易错点 错误表现 规避方法 对顶角与邻补角混淆 误将有公共边但不互补的角当作邻补角，或忽略对顶角“两边反向延长”的条件 识别时同时验证位置关系和数量关系（邻补角和为，对顶角两边反向） 垂线性质应用错误 认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直，或误将斜线段长度当作点到直线的距离 明确垂线性质限定“同一平面内”，点到直线距离是垂线段的长度 平行线定义理解偏差 忽略“同一平面内”，认为空间中不相交的直线是平行线 牢记平行线定义的前提条件，区分平面与空间中的直线关系 判定与性质混淆 已知两直线平行却用判定定理推角，或已知角的关系用性质定理推平行 先明确已知条件是“线平行”还是“角关系”，再选择对应定理 复杂图形角推导错误 混淆不同直线形成的同位角、内错角，或遗漏辅助线构建的角关系 拆分复杂图形为基础模型，分步推导，标注关键角 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】对顶角与邻补角的识别与计算 1.核心知识点总结 对顶角相等，邻补角之和为。 两条直线相交，可利用对顶角和邻补角的性质建立角度等量关系。 2.高频考点梳理 直接计算对顶角、邻补角的度数。 结合角平分线、平角性质综合求解。 3.易错点警示 漏数对顶角的对数（n条直线相交于一点，对顶角有对）。 误将邻补角当作对顶角计算，忽略“和为”的特征。 4.解题技巧拆解 标记相交直线的交点，明确对顶角和邻补角的对应关系。 利用方程思想，设未知数表示未知角，结合性质列方程求解。 【例题1】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（   ） A．对顶角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 D．若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图：直线、相交于点O，平分，，，求：的度数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 【题型2】垂线的性质与点到直线的距离 1.核心知识点总结 垂线段最短，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 点到直线的距离是垂线段的长度，需通过作垂线确定。 2.高频考点梳理 利用垂线性质求角度（如直角三角形中角度计算）。 实际情境中最短路径问题（如引水、修路等）。 3.易错点警示 混淆“垂线”与“垂线段”（垂线是直线，垂线段是线段）。 计算点到直线距离时，未作垂线直接用线段长度代替。 4.解题技巧拆解 遇到最短路径问题，优先考虑“垂线段最短”。 求点到直线距离时，先作出垂线段，再计算其长度。 【例题2】.（22-23七年级上·全国·期中）如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式题2-2】.（17-18七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型3】平行线的判定 1.核心知识点总结 判定定理：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行。 辅助判定：平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行。 2.高频考点梳理 利用已知角的关系（相等或互补）判定两直线平行。 结合角平分线、对顶角等性质推导判定条件。 3.易错点警示 误用判定定理（如用同旁内角相等判定平行）。 未找准对应的“三线八角”模型，导致判定依据错误。 4.解题技巧拆解 先找到与判定相关的角，明确其类型（同位角、内错角等）。 若角的关系不直接，通过对顶角、邻补角转化为所需角的关系。 【例题3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【变式题3-3】.（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 【题型4】平行线的性质求角度 1.核心知识点总结 性质定理：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补。 2.高频考点梳理 已知两直线平行，求未知角的度数。 结合角平分线、直角三角形等知识综合计算。 3.易错点警示 未确认两直线平行，直接套用性质定理。 忽略图形中隐藏的角关系（如对顶角、邻补角）。 4.解题技巧拆解 标记已知平行的直线和相关的角，明确角的转化路径。 复杂图形中，通过作辅助线（如延长线）构建可利用性质的模型。 【例题4】.（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【能力提升篇】 【题型5】平行线在实际生活中的应用 1.核心知识点总结 将生活情境转化为几何图形，识别其中的平行、垂直关系。 运用平行线的性质与判定、垂线的性质解决实际问题。 2.高频考点梳理 建筑施工（如砌墙、修路）中的平行判定。 光的反射、物体投影中的角度计算。 路线规划中的最短路径问题。 3.易错点警示 无法将实际情境抽象为几何模型，找不到对应的知识点。 忽略实际情境中的约束条件（如地形、光线方向）。 4.解题技巧拆解 提取情境中的关键元素（如直线、角度、距离），画出简化的几何图形。 明确问题所求（如最短距离、角度大小），对应选择平行线或垂线的性质。 【例题5】.（2025·山西·一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【变式题5-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【题型6】平行线与折叠综合 1.核心知识点总结 折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应线段相等。 平行线的性质与判定，结合折叠产生的相等角进行推导。 2.高频考点梳理 长方形、正方形等图形折叠后，利用平行线性质求未知角。 折叠与平行线结合，判断线段或角的关系。 3.易错点警示 忽略折叠后对应的角相等，导致角关系推导错误。 未结合平行线性质，孤立分析折叠图形。 4.解题技巧拆解 标记折叠前后的对应点、对应角，明确相等关系。 利用平行线性质将分散的角集中到同一三角形或平角中求解。 【例题6】.（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【拓展培优篇】 【题型7】角平分线与平行线综合 1.核心知识点总结 角平分线的性质：角平分线将角分成两个相等的角。 平行线的性质与判定，结合角平分线推导角的关系。 2.高频考点梳理 角平分线与平行线结合，证明角相等或线段相等。 求复杂图形中特定角的度数（如平分线夹角）。 3.易错点警示 未利用平行线性质转化角，导致无法关联角平分线的作用。 混淆角平分线的对应角，导致角度计算错误。 4.解题技巧拆解 标记角平分线分成的相等角，利用平行线性质将角转移到同一位置。 设未知数表示角的度数，结合平行线性质和角平分线性质列方程。 【例题7】.（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（16-17八年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，已知，平分，，．求：的度数． 【变式题7-2】.（20-21七年级上·甘肃天水·期末）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点． (1)如图1，若，则=______； (2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明． ③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______． 【题型8】平行线的判定与性质探究 1.核心知识点总结 给定部分条件，补充条件使两直线平行；或探究两直线平行时角的关系。 运用平行线的判定与性质进行逆向推理。 2.高频考点梳理 补充一个条件，使已知直线平行（开放条件）。 探究平行线中角的和差、倍数关系（开放结论）。 3.易错点警示 补充的条件与已知条件矛盾，或无法推出直线平行。 探究结论时，遗漏特殊情况，导致结论不完整。 4.解题技巧拆解 逆向思考：若需判定平行，思考需要哪些角关系（同位角相等、内错角相等或同旁内角互补），再结合已知条件补充。 多举例验证：探究结论时，通过多个具体图形验证，确保结论的普遍性。 【例题8】.（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小北将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点N，M分别在直线上，直线，直线与分别相交于点G，H，，且． 【探索发现】（1）填空：如图，过点P作， ∵， ∴ ， ∴ ，，    ．．．．．． ∴ （填“”“”或“”）． 【操作探究】（2）的平分线交直线于点O． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小北将三角板沿直线左右移动，并保持（点N不与点G重合），在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·广东深圳·期末）根据以下素材， 探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，一副三角尺为我们观察世界提供 一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图 1 是一副三角尺， ， ， ， ． 问题解决 任务图        任务 1 如图 2，将两个三角尺如图摆放，使点 与点 重合，点 在 上， 与 相交于点 ，则 _____度．（提示：过点 作 ） 任务 2 如图 3，将三角尺 的直角顶点放在直线 上，使 ，三角尺 的顶点 在直线 上， 与 相交于 ，则 与 有怎样的数量关系？ 说明理由． 任务 3 将三角尺 固定不动，改变三角尺 的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点 重合， 当点 在直线 的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出 角度所 有可能的值（如图 4 提供了其中一种情况）：_____ 【变式题8-3】.（23-24七年级下·福建龙岩·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______． 任务2 如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于，则与有怎样的数量关系？说明理由． 任务3 将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点、重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出角度所有可能的值（如图4提供了其中一种情况）． 【题型9】动态几何中的平行线问题 1.核心知识点总结 直线旋转、点移动等动态过程中，平行线的判定与性质的灵活运用。 结合方程思想、分类讨论思想求解变量（如时间、角度）。 2.高频考点梳理 射线旋转过程中，判断两直线平行的时间节点。 点在平行线间移动时，角度或线段长度的变化规律。 3.易错点警示 遗漏动态过程中的不同情况，未进行分类讨论。 未建立变量与角度、线段长度的关系，无法列方程求解。 4.解题技巧拆解 明确动态元素的运动规律（如旋转速度、移动方向），设变量表示关键量。 分情况讨论两直线平行的条件，结合平行线的判定列出方程，求解后验证合理性。 【例题9】.（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·重庆万州·月考）直线，将一副三角板中的两块直角三角形如图放置，在直线上，在上，在同一直线上，，，，． (1)若三角形如图摆放时，此时与重合，求； (2)先固定三角形的位置不变，将三角形沿方向平移，使得点正好落在上，与直线交于点，作 的角平分线交的延长线于点，如果，求的度数（用含α的代数式表示）． (3)将（）中的三角形固定，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，旋转时间为，当的某条边与的一条边平行时，请直接写出的值 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 二、多选题 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在正方体中，与棱平行且相等的棱是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21七年级下·四川德阳·月考）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与它平行 B．在同一平面内，不同的两条直线只有一个交点 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过两点有且只有一条直线 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，，下面结论中，其中说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，已知，下列条件中能判断的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，下列推理正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 11．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分． 若，求和的度数； 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？ 13．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 14．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)如图，过点作，垂足为，求的度数． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $