专题3.5最基本的图形——点和线（知识点总结+10大题型+解题技巧）易错重难点培优讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

本讲义聚焦“点和线”核心知识点，从直线射线线段的表示与辨析切入，逐步延伸至两点确定一条直线、两点之间线段最短等基本事实应用，再到线段比较、中点模型、分类讨论、动点问题及规律探究，构建从基础到培优的递进式学习支架。 资料以生活实例（如手电筒光线、河道改直）培养数学眼光，通过解题技巧拆解（如表示判断三步法、设参法）发展数学思维，结合分层例题与变式题设计，助力课中教学突破难点，课后学生可自主查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

3.5最基本的图形——点和线 【题型1】图形语言互译：直线、射线、线段的表示与辨析 1.核心知识点总结 直线：无端点，向两端无限延伸，表示为直线(或)、直线，字母无顺序。 射线：1个端点，向一端无限延伸，表示为射线(端点在前，射线上任一点在后)，端点字母不可颠倒。 线段：2个端点，不可延伸，表示为线段(或)、线段，字母无顺序。 三者关系：射线、线段是直线的一部分，直线和射线不可度量，线段可度量。 2.高频考点梳理 判断直线、射线、线段的表示方法正误。 根据文字描述画出对应图形(如“画射线交直线于点”)。 辨析同一图形的不同表示形式(如直线与直线是否为同一直线)。 3.易错点警示 混淆射线端点顺序：射线与射线是不同射线，端点和延伸方向均不同。 错误表述“延长直线”“度量射线长度”，直线无需延长，射线不可度量。 线段延长线方向混淆：延长线段(向端延伸)与反向延长线段(向端延伸)不同。 4.解题技巧拆解 表示判断三步法：一看图形类型(直/射/线)，二找端点个数，三验字母顺序(射线需端点在前)。 作图规范：直线画两端延伸线，射线画一端延伸线，线段不画延伸线，交点标注清晰。 【例题1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，理解线段、射线、直线的概念是解决问题的关键． 根据直线、射线、线段的定义即可得到结论． 【详解】解：A、紧绷的琴弦可以看成线段，不符合题意； B、人行横道线可以看成线段，不符合题意； C、手电筒发出的光线可以看成射线，符合题意； D、正方体的棱长可以看成线段，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，解题的关键是明确同一条射线需满足端点相同且延伸方向一致． 根据射线的端点和延伸方向，判断各选项射线与射线的端点、方向是否一致． 【详解】解：A、射线的端点是B，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； B、射线的端点是A，延伸方向与射线一致，此选项符合题意； C、射线的端点是B，与射线的端点不同，此选项不符合题意； D、射线的端点是C，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 【答案】B 【分析】本题考查直线和射线的延伸特点及它们在同一平面内的位置关系，熟练掌握直线没有端点可以向两端无限延伸、射线有一个端点，只能向另一端无限延伸是解题的关键．直线可向两端无限延伸，射线以点C为端点，沿方向无限延伸，所以这两条线一定不相交． 【详解】解：根据分析可知，这两条线一定不相交， 故选：B． 【变式题1-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，过两点有且只有一条直线，比较简单。由题意根据直线、射线和线段的概念利用排除法即可求解． 【详解】解：①经过两点，有且只有一条直线，故①说法正确，符合题意； ②经过两点，能画两条射线，故②说法不正确，不符合题意； ③过两点只能画一条线段，故③说法正确，符合题意； ④经过两点只能画两条射线，故④说法正确，符合题意； 其中正确的有①③④，有个， 故选： C． 【题型2】基本事实应用：两点确定一条直线的实际场景 1.核心知识点总结 基本事实：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 适用场景：需固定直线、确定唯一路径的实际问题。 2.高频考点梳理 解释生活现象(如木条固定需2枚钉子)。 判断符合该事实的场景(如平板弹墨线、建筑工人砌墙属于，会场摆茶杯不属于)。 结合作图确定直线条数(如过平面内点的直线条数讨论)。 3.易错点警示 混淆“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”的应用场景。 忽略“不共线三点”的直线条数计算(易误算为3条，实际1条或3条)。 4.解题技巧拆解 场景匹配法：凡涉及“固定直线”“确定唯一路径”均用该事实，涉及“最短距离”用另一事实。 直线条数计算：先判断点是否共线，共线时1条，不共线时按计算(为点数)。 【例题2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【分析】考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 根据几何基本事实“两点确定一条直线”，固定木条需要至少两个点以防止移动和旋转． 【详解】解：∵两点确定一条直线， ∴固定一根横放的木条至少需要2枚钉子， 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 【答案】A 【分析】本题考查对“两点之间，线段最短”这一几何公理的理解．根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可． 【详解】解：∵“两点之间，线段最短”指连接两点的所有线中，线段长度最短． A、将弯曲小路改直，使路径成为线段，缩短路程，符合公理． B、用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． C、垂直测量跳远成绩，是利用垂线段最短，但不是两点之间的线段． D、拉参照线砌墙，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． ∴正确答案是A． 故选：A． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③固定挂钩架，体现了基本事实“两点确定一条直线”； 所以，在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有个， 故选：D． 【题型3】最短路径求解：两点之间线段最短的灵活运用 1.核心知识点总结 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。 两点间距离：连接两点的线段的长度(注意：距离是数值，不是线段本身)。 2.高频考点梳理 解释生活现象(如导航选最短路线、弯曲河道改直)。 求平面内两点间最短路径(如居民小区到驿站的最短路线)。 结合图形比较路径长度(如剪掉部分银杏叶后周长变小的原因)。 3.易错点警示 误将“线段”等同于“距离”(正确表述：线段的长度是、两点间的距离)。 立体图形中未展开直接求最短路径(需先化“曲”为“直”，再用该事实)。 4.解题技巧拆解 平面问题：直接连接两点，线段即为最短路径。 立体问题：先展开立体图形(如长方体侧面)，再连接两点求线段长度。 【例题3】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是 ．         【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 根据线段的性质，即可解答． 【详解】解：如图，从地到地有，，三条道路，人们通常会选择距离最短的道路，这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式题3-1】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 【变式题3-2】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 【变式题3-3】．（24-25七年级上·湖南永州·期末）下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．建筑工人砌墙 C．墙上固定木条 D．弯曲河道改直 【答案】D 【分析】本题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点．直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：A、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； B、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； C、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； D、选项中的现象可用“两点之间线段最短”来解释，故符合题意； 故选：D． 【题型4】线段长短比较：度量法与叠合法的实操与判断 1.核心知识点总结 度量法：用刻度尺测量线段长度，比较数值大小。 叠合法：使两条线段有一个端点重合，另一个端点在同一直线上，根据位置判断长短。 2.高频考点梳理 用圆规进行叠合比较。 根据叠合结果填空(点在线段上则，重合则)。 结合尺规作图比较线段大小。 3.易错点警示 叠合时未保证“同方向”(需使两条线段在重合端点后沿同一方向延伸)。 圆规使用不当：截取线段时未固定半径，导致测量误差。 4.解题技巧拆解 叠合法步骤：①重合端点；②对齐延伸方向；③观察另一个端点位置(在线段上/延长线上/重合)。 度量法注意：刻度尺零刻度线对齐端点，读数正视刻度。 【例题4】．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了线段大小的比较方法，熟练掌握“叠合法”判断两条线段的长短关系是解题的关键． 根据题干信息判断即可得出答案． 【详解】解：∵小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上， ∴线段的长度大于线段的长度． 故选：B ． 【变式题4-2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：______ （填“”、“”或“”）； ②若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段的中点，点N是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①=；② (3)的长为6或10 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的和差，比较线段的长短，（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）分类讨论，点N是靠近点B或者点C的三等分点，据此利用线段和差求解即可． 【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：． ②∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵点M为中点， ∴， 当点N是靠近点B的三等分点时， 则， ∴； 当点N是靠近点C的三等分点时， 则， ∴； 综上，的长为6或10． 【变式题4-3】．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3) ，由，，则点与的距离大于点与的距离； ． 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． （）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （）根据要求画出图形； （）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如上图，即为所求； （3）解： ，依据：由，，则点与的距离大于点与的距离； ， 故答案为：，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 【题型5】中点模型计算：单中点与双中点的线段推理(提升) 1.核心知识点总结 中点定义：把线段分成两条相等线段的点，若是中点，则或。 双中点模型：若、分别是、中点，则(与点位置无关)。 2.高频考点梳理 已知中点求线段长度。 双中点模型的直接应用(如、是、中点，，求)。 结合延长线的中点计算(如延长到，是中点，求)。 3.易错点警示 未确认点在直线上即误用中点性质(如点满足，但不一定是中点，可能在线外)。 双中点模型中忽略“点在线段延长线上”的情况(仍满足)。 4.解题技巧拆解 画图标注法：先画出线段，标注已知条件和中点，再推导线段关系。 公式速用：双中点模型直接套用，单中点问题用“倍长中点线段”转化。 【例题5】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）先根据，得出的长，再根据点C是线段的中点，求得的长，再根据得，再根据，得出，即可得出结论； （2）根据，得，再根据得，，最后由可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由“折中点”的定义判断即可． （2）根据题意可得，当点在上和点在上两种情况分别进行分析即可． 【详解】（1）解：∵是折线的“折中点”，且， ∴点在线段上． 故答案为：． （2）解： 为线段的中点，，     ， 当点在上时，如图所示： ， ， ； 当点在上时，如图所示： ， ， ； 综上分析可知：的长度为或． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差． 根据的周长和四边形的周长相等得到，根据点是的中点，得到，根据得到，最后将，代入求解即可． 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了线段的中点与长度计算，解题的关键是利用中点性质求出相关线段长度． （1）先求的长度，再由是中点求； （2）先求的长度，再由求． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵是的中点， ∴． 答：的长度为． （2）解：∵是的中点， ∴． 由（1）知， ∴． 答：的长度为． 【题型6】等分点拓展：三等分点、四等分点的综合运算(提升) 1.核心知识点总结 三等分点：把线段分成3条相等线段的点，若、是三等分点，则。 四等分点：把线段分成4条相等线段的点，同理有。 2.高频考点梳理 已知等分点求线段长度。 结合中点与等分点的混合计算(如是中点，是三等分点，求)。 含等分点的线段和差运算(如，，是四等分点，求)。 3.易错点警示 混淆“等分点”的个数：等分点有个(如三等分点2个，四等分点3个)。 未明确等分点位置(如“的三等分点”可能靠近或靠近)。 4.解题技巧拆解 设参法：设最短线段为，根据等分关系表示其他线段，再代入条件求解。 分段标注：按等分点将线段分段，逐一标注各段长度，再求目标线段。 【例题6】．（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式题6-1】．（2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 【变式题6-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 【题型7】分类讨论思想：直线上点的位置不确定问题(提升) 1.核心知识点总结 直线上点的位置：点可能在线段上、线段延长线上、线段反向延长线上。 分类依据：根据点与线段端点的相对位置分情况讨论。 2.高频考点梳理 已知，，求长度。 直线上四点的线段条数讨论(如、、、四点可画1条、4条或6条直线)。 含参数的点位置问题(如点在直线上，，求)。 3.易错点警示 漏解“点在线段延长线”的情况(如求时只考虑在线段上，忽略反向延长线)。 四点共线与不共线的分类遗漏(易误算为只有6条直线)。 4.解题技巧拆解 分类步骤：①确定线段两端点；②按“点在线段上、延长线、反向延长线”分情况画图；③分别计算各情况结果。 验证法：所有情况均需满足线段长度为正数，排除无效解。 【例题7】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）直线上有A、B、C三点，线段，M是的中点，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：点C在点B的右侧或点C在点B的左侧，根据线段和差与线段中点的定义求解． 本题考查了线段的中点，线段和差计算，分类思想的应用，熟练掌握中点是解题的关键． 【详解】解：当点C在点B右侧时，， 由M是的中点， ； 当点C在点B左侧时，， 由M是的中点， ； 故答案为：或． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析， (2)或 【分析】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段的和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画图即可，再根据线段之间的和差关系进行计算即可； （2）分两种情况，即点D在点B的左侧或右侧，根据图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解： 如图， 因为，， 所以， 所以； （2）解：由于， 当点D在点B的左侧时，， 当点D在点B的右侧时，， 所以或． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 【题型8】线段和差倍分：含参数的线段关系探究(培优) 1.核心知识点总结 线段和差：(在延长线)，(在上)。 倍分关系：(为正数)，常用设参法求解。 2.高频考点梳理 已知，，求与的数量关系。 含参数的线段比例问题(如，、是、中点，求)。 动态线段的和差倍分(如线段在线段上运动，求的定值)。 3.易错点警示 比例关系转化错误(如，误设，，未加参数)。 忽略“线段延长线”中的和差符号(如反向延长时，而非)。 4.解题技巧拆解 设参法：设最短线段为，根据比例表示其他线段，再代入条件求解。 整体代入：将线段和差视为整体(如，转化为)。 【例题8】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)；见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解：如图所示： 设，根据题意得， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 【变式题8-1】．（17-18七年级上·湖北武汉·期末）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 【变式题8-2】．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【变式题8-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【题型9】动点问题突破：数轴上的线段动态变化(培优) 1.核心知识点总结 动点表示：设运动时间为秒，速度为，用含的代数式表示动点位置。 线段长度：数轴上两点、，则。 2.高频考点梳理 动点相遇问题(如从出发，从出发，求相遇时的值)。 动点与中点结合(如运动时，是中点，求的定值)。 含速度参数的线段变化(如、分别以、运动，求时的)。 3.易错点警示 未考虑动点运动方向(如射线上运动，可能向或方向)。 忽略动点运动的终点(如到达点后停止运动，需限制的范围)。 绝对值处理错误(数轴上线段长度未加绝对值导致符号错误)。 4.解题技巧拆解 三步法：①设动点位置(如表示的数为)；②表示目标线段长度(如)；③列方程求解(分情况讨论绝对值)。 数形结合：画出数轴，标注动点初始位置和运动方向，直观分析线段变化。 【例题9】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 【答案】(1)；20； (2)10或50； (3)． 【分析】本题考查多项式和数轴，多项式的概念，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． （1）由题意直接求解即可； （2）注意分情况讨论，①当点C在之间时，②当点C在B右侧时，分别计算的长，可得结论； （3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示得数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和点F表示的数． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ， ∴， ∵二次项系数为b， ∴； 故答案为：，20； （2）解：分两种情况： ①当点C在之间时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当点C在B右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上可知，点C在数轴上对应的数n的值为10或50； （3）由题意得，点G表示的数为，点H表示的数为， ∵， ∴点G在线段之间， ∵D为中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是中点， ∴点F表示的数为：． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 【答案】(1)①，4；②见解析；③ (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴、列代数式，理解“分割值”的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据非负数的性质即可得解； ②在数轴上找到、4两个点即可； ③先求出AB和AC，再根据“分割值”的定义得解即可； （2）根据题意设设点P速度为，点Q速度为，运动时间为，则，进而用含m的式子表示出，即可得到的长，再根据“分割值”的定义即可得解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； ②点A和点B如图所示， ③， ∵C点表示的数为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设点P速度为，点Q速度为， 设运动时间为，则， ∴，即， ∴， ∴（点P的运动路程） ， ∴． 【题型10】规律探究：点线计数与线段条数规律(培优) 1.核心知识点总结 线段计数公式：直线上有个点，线段总条数为。 直线计数规律：平面内个点(无三点共线)，直线总条数为；有点共线时，减少条。 2.高频考点梳理 直线上个点的线段条数。 车站车票问题(如个站点需准备多少种不同车票)。 射线计数规律(如以为端点的条射线，第个点在某射线上)。 3.易错点警示 车票问题混淆“单程”与“往返”(车票是有向的，线段是无向的，需乘)。 射线计数忽略“延伸方向”(如直线上个点，射线条数为)。 4.解题技巧拆解 公式记忆：线段条数，车票数线段条数。 递推法：从、、时的条数推导规律，验证公式正确性。 周期法：射线计数中，按端点分组找周期(如条射线为一个周期，余，对应第条射线）。 【例题10】．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【分析】（）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据（）、（）的结果找到规律即可求解； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题，据此即可求解；②根据火车往返是双向的，结合票价数量解答即可求解； 本题考查了线段的定义及其应用，找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 【变式题10-1】．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【变式题10-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)； (2)①15场；②132元 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． （1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分， 所以需要安排种车票． 【变式题10-3】．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河北邢台·期中）如图，将挂衣钩固定在墙上，最少需要钉子的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线的基本性质，灵活运用“两点确定一条直线”的原理是解题的关键．根据“两点确定一条直线”的性质，可知用个钉子即可固定挂衣钩所在的直线，进而得出最少需要的钉子个数． 【详解】解：根据几何原理“两点确定一条直线”，用个钉子可以将挂衣钩所在的直线固定在墙上，确保其稳定，因此最少需要个钉子． 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 4．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）点P在线段上，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求线段的比，根据点P在线段上且，可设和的长度，进而求出与的比值． 【详解】解：∵， ∴设，， 则， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 【答案】 点 线 点动成线 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体是解答本题的关键． 根据点、线、面的几何关系，雨滴视为点，雨视为线解答即可． 【详解】雨滴是单个实体，从数学角度可抽象为点；许多雨滴密集下落形成雨，其形态类似线，这说明了点动成线的几何变换． 故答案为：点；线；点动成线． 7．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）已知点A，B在数轴上，且位于原点两侧，点A表示的数为，点A，B之间的距离为3，点C到点A与点B的距离相等，则点C表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算， 首先根据点A和点B位于原点两侧且点A表示的数为，以及点A、B之间的距离为3，求出点B表示的数为1，然后根据点C到点A和点B的距离相等，得出点C是点A和点B的中点，计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点A与点B位于原点两侧，且点A、B之间的距离为3， ∴点B表示的数为1， 又∵点C到点A与点B的距离相等， ∴点C是点A和点B的中点， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）线段上有两点C，D，且，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段的和差， 根据线段比例关系，先求出和的长度，再求出，确定点D的位置后计算． 【详解】解：设，则，根据题意，得 ， 解得． 故． ∵． ∴． 故答案为：10． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，如果的中点和的中点的距离是24．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的性质，解题的关键是设未知数表示各线段长度，利用中点求出对应的线段表达式，列方程求解． 设，，，根据中点性质得，，由求出，进而计算得解． 【详解】解：设，，， ∵M是的中点， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∵点A、B、C、D顺次排列， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 答：线段的长度为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段中点的性质与线段长度的计算，解题的关键是利用中点性质求出相关线段的长度． 根据线段中点的定义求出、、的长度，再通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】解：因为是的中点，， 所以， 又因为， 所以， 因为是的中点，所以， 则． 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，C (2)形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是 【分析】本题考查点，线，面，体，求圆柱体的体积和表面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据面动成体，进行作答即可； （2）根据圆柱体的体积公式和表面积公式进行计算即可。 【详解】（1）解：由题意，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故选C。 （2）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为： 表面积为： 答：形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的和差倍分，解题的关键是利用尺规多次截取已知线段构造倍数与差的关系． 作射线，在射线上依次截取3段等于的线段得的线段；从的线段上截取一段等于的线段，剩余部分即为． 【详解】解：①作射线； ②在射线上顺次截取，，，则； ③在线段上截取； 线段即为所求的线段． 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的定义，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． 根据线段中点的定义，可得：，再根据，求得，然后即可求解； 【详解】解：∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上找原点，线段的和差计算等知识点． （1）以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点，此时即可得到； （2）以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点．首先确定点在点左侧，由得到，而，则，即可作图． 【详解】（1）解：如图，原点即为所求，以为圆心，长为半径画弧，在点右侧交数轴于点，则点即为原点； （2）解：如图，原点即为所求，以为圆心，为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点即为原点． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查题作图的知识，需要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟练使用基本工具． （1）连接、并向两方无限延长即可得到直线、的交点； （2）连接、可得线段、，交点处标点； （3）连接，并且以为端点向方向延长． 【详解】（1）解：如图：直线、直线即为所求； （2）如图：线段、线段即为所求； （3）如图：射线即为所求． 16．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5最基本的图形——点和线 【题型1】图形语言互译：直线、射线、线段的表示与辨析 1.核心知识点总结 直线：无端点，向两端无限延伸，表示为直线(或)、直线，字母无顺序。 射线：1个端点，向一端无限延伸，表示为射线(端点在前，射线上任一点在后)，端点字母不可颠倒。 线段：2个端点，不可延伸，表示为线段(或)、线段，字母无顺序。 三者关系：射线、线段是直线的一部分，直线和射线不可度量，线段可度量。 2.高频考点梳理 判断直线、射线、线段的表示方法正误。 根据文字描述画出对应图形(如“画射线交直线于点”)。 辨析同一图形的不同表示形式(如直线与直线是否为同一直线)。 3.易错点警示 混淆射线端点顺序：射线与射线是不同射线，端点和延伸方向均不同。 错误表述“延长直线”“度量射线长度”，直线无需延长，射线不可度量。 线段延长线方向混淆：延长线段(向端延伸)与反向延长线段(向端延伸)不同。 4.解题技巧拆解 表示判断三步法：一看图形类型(直/射/线)，二找端点个数，三验字母顺序(射线需端点在前)。 作图规范：直线画两端延伸线，射线画一端延伸线，线段不画延伸线，交点标注清晰。 【例题1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 【变式题1-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【变式题1-2】．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 【变式题1-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】基本事实应用：两点确定一条直线的实际场景 1.核心知识点总结 基本事实：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 适用场景：需固定直线、确定唯一路径的实际问题。 2.高频考点梳理 解释生活现象(如木条固定需2枚钉子)。 判断符合该事实的场景(如平板弹墨线、建筑工人砌墙属于，会场摆茶杯不属于)。 结合作图确定直线条数(如过平面内点的直线条数讨论)。 3.易错点警示 混淆“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”的应用场景。 忽略“不共线三点”的直线条数计算(易误算为3条，实际1条或3条)。 4.解题技巧拆解 场景匹配法：凡涉及“固定直线”“确定唯一路径”均用该事实，涉及“最短距离”用另一事实。 直线条数计算：先判断点是否共线，共线时1条，不共线时按计算(为点数)。 【例题2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【变式题2-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 【变式题2-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3】最短路径求解：两点之间线段最短的灵活运用 1.核心知识点总结 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。 两点间距离：连接两点的线段的长度(注意：距离是数值，不是线段本身)。 2.高频考点梳理 解释生活现象(如导航选最短路线、弯曲河道改直)。 求平面内两点间最短路径(如居民小区到驿站的最短路线)。 结合图形比较路径长度(如剪掉部分银杏叶后周长变小的原因)。 3.易错点警示 误将“线段”等同于“距离”(正确表述：线段的长度是、两点间的距离)。 立体图形中未展开直接求最短路径(需先化“曲”为“直”，再用该事实)。 4.解题技巧拆解 平面问题：直接连接两点，线段即为最短路径。 立体问题：先展开立体图形(如长方体侧面)，再连接两点求线段长度。 【例题3】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是 ．         【变式题3-1】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式题3-2】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【变式题3-3】．（24-25七年级上·湖南永州·期末）下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．建筑工人砌墙 C．墙上固定木条 D．弯曲河道改直 【题型4】线段长短比较：度量法与叠合法的实操与判断 1.核心知识点总结 度量法：用刻度尺测量线段长度，比较数值大小。 叠合法：使两条线段有一个端点重合，另一个端点在同一直线上，根据位置判断长短。 2.高频考点梳理 用圆规进行叠合比较。 根据叠合结果填空(点在线段上则，重合则)。 结合尺规作图比较线段大小。 3.易错点警示 叠合时未保证“同方向”(需使两条线段在重合端点后沿同一方向延伸)。 圆规使用不当：截取线段时未固定半径，导致测量误差。 4.解题技巧拆解 叠合法步骤：①重合端点；②对齐延伸方向；③观察另一个端点位置(在线段上/延长线上/重合)。 度量法注意：刻度尺零刻度线对齐端点，读数正视刻度。 【例题4】．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【变式题4-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式题4-2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)若． ①比较线段的长短：______ （填“”、“”或“”）； ②若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段的中点，点N是线段的三等分点，求线段的长度． 【变式题4-3】．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 【题型5】中点模型计算：单中点与双中点的线段推理(提升) 1.核心知识点总结 中点定义：把线段分成两条相等线段的点，若是中点，则或。 双中点模型：若、分别是、中点，则(与点位置无关)。 2.高频考点梳理 已知中点求线段长度。 双中点模型的直接应用(如、是、中点，，求)。 结合延长线的中点计算(如延长到，是中点，求)。 3.易错点警示 未确认点在直线上即误用中点性质(如点满足，但不一定是中点，可能在线外)。 双中点模型中忽略“点在线段延长线上”的情况(仍满足)。 4.解题技巧拆解 画图标注法：先画出线段，标注已知条件和中点，再推导线段关系。 公式速用：双中点模型直接套用，单中点问题用“倍长中点线段”转化。 【例题5】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【题型6】等分点拓展：三等分点、四等分点的综合运算(提升) 1.核心知识点总结 三等分点：把线段分成3条相等线段的点，若、是三等分点，则。 四等分点：把线段分成4条相等线段的点，同理有。 2.高频考点梳理 已知等分点求线段长度。 结合中点与等分点的混合计算(如是中点，是三等分点，求)。 含等分点的线段和差运算(如，，是四等分点，求)。 3.易错点警示 混淆“等分点”的个数：等分点有个(如三等分点2个，四等分点3个)。 未明确等分点位置(如“的三等分点”可能靠近或靠近)。 4.解题技巧拆解 设参法：设最短线段为，根据等分关系表示其他线段，再代入条件求解。 分段标注：按等分点将线段分段，逐一标注各段长度，再求目标线段。 【例题6】．（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【变式题6-1】．（2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【题型7】分类讨论思想：直线上点的位置不确定问题(提升) 1.核心知识点总结 直线上点的位置：点可能在线段上、线段延长线上、线段反向延长线上。 分类依据：根据点与线段端点的相对位置分情况讨论。 2.高频考点梳理 已知，，求长度。 直线上四点的线段条数讨论(如、、、四点可画1条、4条或6条直线)。 含参数的点位置问题(如点在直线上，，求)。 3.易错点警示 漏解“点在线段延长线”的情况(如求时只考虑在线段上，忽略反向延长线)。 四点共线与不共线的分类遗漏(易误算为只有6条直线)。 4.解题技巧拆解 分类步骤：①确定线段两端点；②按“点在线段上、延长线、反向延长线”分情况画图；③分别计算各情况结果。 验证法：所有情况均需满足线段长度为正数，排除无效解。 【例题7】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）直线上有A、B、C三点，线段，M是的中点，则 ． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【题型8】线段和差倍分：含参数的线段关系探究(培优) 1.核心知识点总结 线段和差：(在延长线)，(在上)。 倍分关系：(为正数)，常用设参法求解。 2.高频考点梳理 已知，，求与的数量关系。 含参数的线段比例问题(如，、是、中点，求)。 动态线段的和差倍分(如线段在线段上运动，求的定值)。 3.易错点警示 比例关系转化错误(如，误设，，未加参数)。 忽略“线段延长线”中的和差符号(如反向延长时，而非)。 4.解题技巧拆解 设参法：设最短线段为，根据比例表示其他线段，再代入条件求解。 整体代入：将线段和差视为整体(如，转化为)。 【例题8】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【变式题8-1】．（17-18七年级上·湖北武汉·期末）如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【变式题8-2】．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【题型9】动点问题突破：数轴上的线段动态变化(培优) 1.核心知识点总结 动点表示：设运动时间为秒，速度为，用含的代数式表示动点位置。 线段长度：数轴上两点、，则。 2.高频考点梳理 动点相遇问题(如从出发，从出发，求相遇时的值)。 动点与中点结合(如运动时，是中点，求的定值)。 含速度参数的线段变化(如、分别以、运动，求时的)。 3.易错点警示 未考虑动点运动方向(如射线上运动，可能向或方向)。 忽略动点运动的终点(如到达点后停止运动，需限制的范围)。 绝对值处理错误(数轴上线段长度未加绝对值导致符号错误)。 4.解题技巧拆解 三步法：①设动点位置(如表示的数为)；②表示目标线段长度(如)；③列方程求解(分情况讨论绝对值)。 数形结合：画出数轴，标注动点初始位置和运动方向，直观分析线段变化。 【例题9】．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 【变式题9-2】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图1，点C是线段上一点，若（），我们称m为点C在线段上的“分割值”，记为． 例如：点C在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足． ①求出________；________； ②请在图2的数轴上画出A、B两点． ③C为数轴上一个动点，从A点向终点B匀速运动．若C点表示的数为，则________． (2)如图3，在四边形中，，，，，点P，Q同时从点B出发向终点C匀速运动，点P沿折线运动，点Q沿线段运动．设点P，Q的速度分别为x和y且满足，若，当点P运动到线段上时，求的值．（用含有m的代数式表示） 【题型10】规律探究：点线计数与线段条数规律(培优) 1.核心知识点总结 线段计数公式：直线上有个点，线段总条数为。 直线计数规律：平面内个点(无三点共线)，直线总条数为；有点共线时，减少条。 2.高频考点梳理 直线上个点的线段条数。 车站车票问题(如个站点需准备多少种不同车票)。 射线计数规律(如以为端点的条射线，第个点在某射线上)。 3.易错点警示 车票问题混淆“单程”与“往返”(车票是有向的，线段是无向的，需乘)。 射线计数忽略“延伸方向”(如直线上个点，射线条数为)。 4.解题技巧拆解 公式记忆：线段条数，车票数线段条数。 递推法：从、、时的条数推导规律，验证公式正确性。 周期法：射线计数中，按端点分组找周期(如条射线为一个周期，余，对应第条射线）。 【例题10】．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【变式题10-1】．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【变式题10-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【变式题10-3】．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·河北邢台·期中）如图，将挂衣钩固定在墙上，最少需要钉子的个数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 4．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）点P在线段上，，则等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 7．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）已知点A，B在数轴上，且位于原点两侧，点A表示的数为，点A，B之间的距离为3，点C到点A与点B的距离相等，则点C表示的数是 ． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）线段上有两点C，D，且，，，则的长为 ． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，如果的中点和的中点的距离是24．那么 ． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是线段上的一点，且，和分别是和的中点，已知，，则线段的长度为 ． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，b，c，请利用刻度尺或圆规完成下列画图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，若，在数轴上画出原点O的位置； (2)如图②，若，在数轴上画出原点O的位置． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图． (1)画直线、交于点E； (2)画线段、交于点F； (3)画射线． 16．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $