上海市上海外国语大学附属浦东外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

上海外国语大学附属浦东外国语学校2025学年第一学期高二年级数学期中 2025.11 一、填空题（共54分，其中1-6每题4分，7-12每题5分） 1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为______． 2.底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 3.在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 4.设常数，若的二项展开式中的系数为144，则______． 5.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则______． 6.在长方体中，，，为的中点，则直线与平面的距离为______． 7.在三棱锥中，平面，，若点均在球的表面上，且，则球的表面积为______．（结果保留） 8.已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______． 9.将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为______． 10.如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为______． 11.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体．现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有______种． 12.设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 二、选择题（共18分，其中13-14每题4分，15-16每题5分） 13.的展开式中系数最大的项为（ ） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 14.在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干同时下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种 A.72 B.36 C.12 D.6 15.如图，在三棱锥中，“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 16.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得；②的面积最小值为； 其中（ ） A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 三、解答题（共78分） 17.（本题14分）已知（是正整数） （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数； （2）设，当时，求的值． 18.（本题14分）已知空间四点，，，． （1）求以为邻边的平行四边形的面积； （2）若点在平面上，求的值． 19.（本题14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的大小． 20.（本题18分）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． （1）四位数共有多少个？ （2）偶数共有多少个？ （3）比2026大的数有多少个？ 21.（本题18分）如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． （1）如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，． ①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； （2）当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体．现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有______种． 【答案】 【解析】（1）使用3种形状风铃，只能同，同，同， 此时共有种挂法； （2）使用4种形状风铃，此时有两种情况： ①同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上，则全排列有种， ②不同，同：此时共有种，综上，共有种． 故答案为：72． 二、选择题 13.B； 14.C； 15.D； 16.B 15.如图，在三棱锥中，“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【答案】D 【解析】设分别是中点，连接， 若，则，可得， 所以， 即， 所以， 即，所以，即，故充分性成立；若，则 所以，即，故必要性成立； 故＂＂是＂＂的充要条件．故选：D． 16.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得；②的面积最小值为； 其中（ ） A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 【答案】D 【解析】对于①：因为平面，所以，同理， 若在线段上，设，所以， 又, 若，则，解得， 所以存在唯一点使得；若在直线上，且在点左侧，设， 则,所以， 又, 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又,由， 得，舍去，①正确； 对于②：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图， 正方体棱长为2，则， 设，则， 所以 设到直线的距离为， 则 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，②错误。故选D. 三、解答题 17.（1）84 （2）166650 18.（1） （2） 19.（1）证明略 （2） 20.用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． （1）四位数共有多少个？ （2）偶数共有多少个？ （3）比2026大的数有多少个？ 【答案】（1）300 （2）156 （3）237 【解析】（1）先从中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为300. （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）。 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）。 所以共有个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6,7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1,5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1,5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）。 21.如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． （1）如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，． ①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； （2）当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 【答案】（1）① ②（2）见解析 【解析】（1）由题意得：①因为 ②由①可知 则 因为点是点在面上的投影，所以平面，所以 故当时，的最大值为． （2）证明：过射线上一点在面作交于点， 在面内作交于点，连接， 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 两式相减得：, 则， 两边同除以，得 学科网（北京）股份有限公司 $