精品解析：浙江省台金七校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：黄岩中学 审题学校：路桥中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，所以. 所以焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，且，所以，解得， 故选：B. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可． 【详解】抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为 ． 故选：B 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 7. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 8. 已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆上任意一点，可得出，可知在时取得最小值，结合二次函数的基本性质可得出，可得出，再结合可得出该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设椭圆上任意一点， 则， 由对称性可知：在时取得最小值， 又因为二次函数对称轴为， 所以，即，所以，又因为，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可. 【详解】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确. 故选：BD 10. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，，. 逐个代入选项化简与的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点，，. 当时，， . 故点的轨迹为除去两点的椭圆，A正确 ；当时，， 故点的轨迹为除去两点的双曲线，B正确； 当时，. ，即不含点， 轨迹是一条直线不含，C错误； 当时，则. 故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，底面半径为的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再加入体积为的水，使得水面高度增加，沿杯壁高度增加，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 水平面与圆柱底面所成的角为 D. 水面面积为cm2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由水面增加高度与杯壁增加高度得出水平面与圆柱底面所成的角，进而计算得椭圆长轴长，结合短轴长为底面直径，即可求出离心率，由割补法求出增加水的体积，再由柱体体积公式求出水面面积即可. 【详解】如图，为初始水面椭圆长轴，为上升后的水面椭圆长轴，为之间的垂线段，为平行于圆柱底面的圆的直径， 因为，则，则， 则，即水平面与圆柱底面所成的角为， 则， 则，， 将增加的部分沿着切开，再将含与的两部分拼凑，可得， 则，， 由以上可得A错误，BCD正确， 故选：BCD. 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以两平行线，之间的距离. 故答案为： 13. 把正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二面角的定义找出其平面角，由线面角的定义作辅助线，由几何法求解即可. 【详解】设正方形边长为1，取线段的中点，连接，则有， 又平面，所以平面， 则为二面角的平面角，即， 则， 取的中点，连接，， 则，， 又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， ， 故答案为：. 14. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法对条件表达式进行变形，得出其几何意义，再利用表达式与无关的条件得出解集的包含关系，进而得出实数的取值范围． 【详解】 令，表达式化为，表示数轴上点到点和点的距离之和， 当位于和之间，即或时，该距离之和为常数，否则会随着变化， 圆的圆心为，半径为1， 对于直线，圆心到直线的距离需满足，即，解得， 当，即时，要使完全包含于，需满足，即； 当，即时，与无包含关系，不合题意，舍去； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案； （2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.. 【小问1详解】 当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. 【小问2详解】 记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆的半径为2，则， 解得，所以. 16. 如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将，，用，，表示出来即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间夹角公式，代入求值即可. 【小问1详解】 如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得 ， ， ． 【小问2详解】 由题意，得，，， 又由（1）得，，， 所以， ， 所以， 设异面直线与所成角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 17. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为. （1）求抛物线的准线方程； （2）设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，进而求出准线方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理将的表达式求出来，进而可求得直线方程. 【小问1详解】 抛物线焦点为，准线为， 由题意得，故准线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得抛物线的方程为，焦点， 显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为， 代入抛物线方程整理得，， 设，则， ， ， 由，得，解得， ∴直线的方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：连接，因为在平面ABC内的射影为， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为菱形，故⊥， 因为D，E分别是线段，的中点，所以， 故⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥平面，⊥，又平行四边形为菱形，故⊥，又，从而得到线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，利用点到平面的距离向量公式求出答案； （3）设，求出，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，从而得到，换元后，得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为⊥，D是线段的中点， 所以由三线合一可得， 又，故为等边三角形， ， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为， 点到平面BDE的距离； 【小问3详解】 点F为线段上的动点（不包括端点），设， ，则，故，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又平面的一个法向量为， 故， 令， 则， 因为，故， ， 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）直线恒过定点；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率推出的关系式，再由题设求得和，借助于正弦定理求出，即得椭圆方程； （2）（i）设直线，将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，设直线的斜率为，计算得，再由可得，利用斜率公式，结合韦达定理，化简计算求得或，验证取舍后即得直线的方程，即可证得结论；（ii）根据（i）的结论可推得，令，结合韦达定理推得，由可得，进而求出的范围，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 如图，连接，因椭圆的离心率为，则，即， 在中，，则， 在中，，由正弦定理得， 解得故，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题知直线的斜率存在，且不为0，设直线， 联立，消去，可得， 依题意，，即， 设，则， 设直线的斜率为，因为，且， 则，即， 又因为，故， 即有，即（*）， 又，所以， 代入（*），可得， 化简得，解得或， 又位于轴的两侧，所以，解得， 所以，故直线的方程，故必过定点. （ii）由（i）已得直线过定点， 则，， 于是，令，则，由（i）可得， 由，解得， 再代入，可得， 化简得， 因为，所以，即：， 解得，即， 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：黄岩中学 审题学校：路桥中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C. 当时，点的轨迹为一条直线 D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线 11. 如图，底面半径为的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再加入体积为的水，使得水面高度增加，沿杯壁高度增加，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 水平面与圆柱底面所成的角为 D. 水面面积为cm2 非选择题部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________． 13. 把正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 14. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 16. 如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为. （1）求抛物线的准线方程； （2）设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若. （i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $