精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题

临澧一中2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． 2. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】依题建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求出即得. 【详解】如图以的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为轴正方向建立平面直角坐标系. 设每个网格边长为1，则易得， 由可得， 解得，故. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合，然后按照集合交集的运算求解. 【详解】, ，因为， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 根据正弦函数的周期性，当时，函数值重复出现， 所以，所以. 4. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】切线与直线垂直，则切线斜率为， ，则，由已知. 5. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， . 6. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合拉格朗日中值定理，可得，再根据导数的几何意义，可得，只需求的最大值即可. 【详解】由题意，函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得， 又由， 可得， 所以，根据导数的几何意义知， 又由， 所以， 因为，且，所以， 令，，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故当时，有最大值， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 7. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据蜜蜂爬行规则推导得出方法数的递推公式，再通过枚举前几项归纳出恒等式，最后用数学归纳法证明恒等式成立并代入计算得出结果. 【详解】要到达第号蜂房，蜜蜂只能从相邻的左侧两个蜂房过来：即要么从号蜂房直接爬到， 要么从号蜂房直接爬到，因此方法数满足递推式： .​ 从出发，到的方法数记为； 枚举得：，，，…… 由，，，， 可归纳得到恒等式： ，可用数学归纳法证明： （1）当时，成立， （2）假设时，成立， 则当时， ， 即当时等式成立. 综上，对，成立. 令，代入得： . 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得，再依次判断选项即可． 【详解】， 对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，在复平面内对应的点，则点在第四象限，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 10. 某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（ ） A. 多面体的体积为 B. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 球离球托底面的最小距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由立体几何的相关知识逐项分析判断即可. 【详解】因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成， 所以连接、和得几何体， 因此构建一个底面边长为2，高为的正三棱柱， 取、和的中点分别为、和， 则几何体就是题意中的几何体，如图： 这个儿何体的上底面是边长为1的正三角形， 下底面是边长为2的正三角形，高为. 因为铜球的体积为，所以由球的体积公式得铜球的半径. 对于A，因为由几何体的构成知： 多面体的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积， 即，因此A正确； 对于B，因为经过三个顶点的球的截面圆就是正的外接圆， 所以若边长为1的正三角形的外接圆半径为，则 ，解得. 因此经过三个顶点的球的截面圆的面积为，所以B不正确； 对于C，取的中点，连接，则由几何体的构成知： 且，因此四边形是平行四边形， 所以，因此就是异面直线与所成的角. 连接，在中，，， 因此 . 即异面直线与所成的角的余弦值为，所以C正确； 对于D，由B知：经过三个顶点的球的截面圆的半径. 所以铜球的球心到截面的距离为， 因此球离球托底面的最小距离为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 13. 已知是实数，若，则的值为_____________ 【答案】 【解析】 【详解】，可得， 所以, 所以. 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 【答案】215 【解析】 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2） 由（1）知椭圆方程为． 联立，解得或， 因为点在第一象限内，所以， 设直线的方程为． 由， 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）椭圆由短轴的端点、离心率求出，得到椭圆的方程； （2）要证与x轴围成等腰三角形，转化证明两直线斜率之和为0，设出直线，和椭圆联立，利用韦达定理代入化简分子等于0. 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由离心率，得， 由短轴的一个端点为，得， 因为，所以，所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 略. 17. 已知数列中，，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1） 由已知可得：即 所以是以为首项，1为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用等差数列的定义即可求证； （2）由（1）得，进而得，求导得，即，最后利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：所以， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②有： ， 所以. 18. 设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值； （3）若点O为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及已知条件，结合两角和的正弦公式，展开化简即可求出角A的大小； （2）由向量的中线公式，结合基本不等式即可求出三角形面积的最大值； （3）由已知条件可推知为三角形的外心，再根据三角恒等变换，结合锐角三角形的条件即可求出取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理及，得， 因为， 所以，即， 又，所以，所以， 而，所以. 【小问2详解】 因为D是中点，所以， 所以， 所以，即， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，即面积的最大值为. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，，即， 所以O为的外心，所以，， 由锐角三角形可知，则， 所以. 19. 设集合，，．从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，．定义随机变量： （1）若，求的分布列； （2）求； （3）若随机变量，证明：． 【答案】（1） 的分布列为： （2） （3） 由于随机变量，所以，， 因此， 由（2）可知，由于，所以， 要证明，即证明，即需证， ①先证明： 令， 当时，；当时，， 令函数，则，当时，，所以在时单调递增且， 所以随着的增大，也逐渐增大， 因此对于，有，即； ②再证明： 由于，且，对任意都成立， 所以； 综上所述，，即． 【解析】 【分析】（1）根据题意，先计算总取法数，再依次统计符合，，的取法数即可求解； （2）根据题意，先计算总取法数，再依次计算符合，，的取法数即可求解； （3）根据题意，分别得出，，两式相减得出，再分别证明和即可求解. 【小问1详解】 当时，集合，从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，， 总的取法数为， 分别是，，，，，，，，，， 由于随机变量 当时，即且，满足的组合只有，所以； 当时，即且，满足的组合只有，，，所以； 当时，； 所以，当时，随机变量的分布列为： 【小问2详解】 对于一般的，从集合中一次取出个不同的数， 总取法数为， 当时，即且，所以且， 令，由于，且，则, 从个数选出个不同的数的方法数为，因此满足条件的组合数为， 所以； 当时，即且，所以是三个连续的整数，即， 可以取，共种选择，所以； 当时，； 因此，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 6. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（   ） A. B. C. D. 7. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 10. 某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（ ） A. 多面体的体积为 B. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 球离球托底面的最小距离为 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知是实数，若，则的值为_____________ 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 17. 已知数列中，，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 18. 设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上中线的长度为，求面积的最大值； （3）若点O为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 19. 设集合，，．从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，．定义随机变量： （1）若，求的分布列； （2）求； （3）若随机变量，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $