专题22.3 勾股定理 （13大题型+能力提升） 同步培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，从直角三角形性质（斜边大于直角边、垂线段最短）切入，构建勾股定理（直角边平方和等于斜边平方）、逆定理（三边关系判定直角三角形）、勾股数（正整数解）的知识链条，辅以解三角形、折叠问题等题型，形成从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于题型多元，含勾股树、弦图证明等，通过“赵爽弦图”培养推理能力，折叠问题发展空间观念，实际应用题提升应用意识。课中助力分层教学，课后综合练习帮助查漏补缺，强化数学思维与问题解决能力。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题22.3 勾股定理 知识点一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说，垂线段最短。 知识点二、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言：如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式：， （2）应用：，， 知识点三、 勾股定理的逆定理 1.定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 知识点四、勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 知识点五、勾股定理逆定理的应用 1.判定三角形是否直角三角形； 2.构造判断直角三角形，求三角形的边长、角度、面积 3.实际应用。 题型01：用勾股定理解三角形 【例1】1、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的中线长为_______; 2、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的高为______; 3、直角三角形两条直角边的比为3:4，斜边长为10，则这个直角三角形的面积为______. 4、直角三角形的两条边长为3、4，则第三边长为__________. 【例2】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高. 【例3】中，．若边上的高，求三角形底边BC． 【例4】如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 【例5】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【例6】在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【例7】在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型02：勾股树问题 【例8】在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【例9】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【例11】如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例12】如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型03：勾股定理的证明方法 【例13】在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【例14】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例15】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【例16】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型04：与弦图有关的计算 【例17】如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是 ． 【例18】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【例19】如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 题型05：利用勾股定理解决折叠问题 【例20】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【例21】如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【例22】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 题型06：利用勾股定理证明线段的平方关系 【例23】如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【例24】如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【例25】如图，在中，． (1)求证：；(2)当，，时，求的值． 【例26】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 题型07：由勾股定理逆定理判定直角三角形 【例27】下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，， 【例28】三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【例29】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【例30】已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【例31】将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A．B． C．D． 题型08：勾股数 【例32】下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 【例33】下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【例34】满足方程的正整数、、，我们称它们为勾股数． （1）已知，，，请证明、、是一组勾股数； （2）求有一个数是16的一组勾股数． 【例35】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 题型09：勾股定理在格点中的应用 【例36】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例37】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【例38】如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例39】如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【例40】如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个  A． B． C． D． 【例41】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）． 题型10：利用勾股定理逆定理培求长度、角度、面积 【例42】若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 　　cm． 【例43】如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 【例44】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【例45】如图，在四边形中，．    (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【例46】如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 题型11：利用勾股定理的逆定理证明 【例47】如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 【例48】如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 【例49】在中，，为内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图①，当，时，求的度数． (2)如图②，当时，求的度数． 题型12：勾股定理逆定理的实际应用 【例50】城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【例51】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【例52】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数；(2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 题型13：综合提升 【例53】综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【例54】 【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 一、选择题 1.下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．，2， B．4，5，6 C．6，8，10 D．3，4，4 2.在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3.在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．  B．  C．   D．   6.如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 2、 填空题 7.已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为_____ 8.如图，在中，于点，若，则的长为_____ 9.如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为______ 10.在中，，若，，则的长是______ 11.如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 12.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则_____ 13.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为 ． 14.已知的三边、、满足，则的面积为 ． 15.如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 16.如图所示，已知，，，则的长为 ． 17.如图，在四边形中，，，，，则的度数为______ 18.如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 19.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 20.如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21.如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证：. （2）若，，，直接写出线段的长． 22.【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 23.如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 24.如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 25.学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题22.3 勾股定理 知识点一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说，垂线段最短。 知识点二、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言：如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式：， （2）应用：，， 知识点三、勾股定理的逆定理 1.定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 知识点四、勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 ①倍数型勾股数： ②奇数规律：满足的三个正整数。（为奇数） 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… ③偶数规律：满足的三个正整数。（为偶数） 知识点五、勾股定理逆定理的应用 1.判定三角形是否直角三角形； 2.构造判断直角三角形，求三角形的边长、角度、面积 3.实际应用。 题型01：用勾股定理解三角形 【例1】1、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的中线长为_______; 2、直角三角形的两条直角边的长为6和8，则斜边上的高为______; 3、直角三角形两条直角边的比为3:4，斜边长为10，则这个直角三角形的面积为______. 4、直角三角形的两条边长为3、4，则第三边长为__________. 解答方法：注意分类讨论（1）3、4均为直角边，根据勾股定理求斜边； （2）3为直角边、4为斜边，然后根据勾股定理求第三边. 讲解时借助定理“在直角三角形中，斜边大于直角边.”帮助学生理解; (3)提醒学生看清已知条件，不要看到3和4就想5. 答案：（1）5;（2）; （3）24.（4）5或； 【例2】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高. 解答方法：先根据勾股定理求出第三边，然后利用等积法求出斜边上的高. 解答：第三边长为：13或119 ；斜边上的高为：或. 【例3】中，．若边上的高，求三角形底边BC． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理，二次根式的混合运算，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当是锐角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； ②如图2，当是钝角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【例4】如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：，腰上的高，∴， 是等腰三角形的底边，，设，则， 在中，，即，解得，∴， ∴的面积是．故答案为：． 【例5】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【例6】在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 【例7】在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 题型02：勾股树问题 【例8】在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 【例9】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 【例10】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出． 由勾股定理得出，求出，进而求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 【例11】如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查图形类规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理，根据题意依次求出前几个正方形的面积，进而得到规律，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴； 故选D． 【例12】如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ，∵，∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵，∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴，∴，同理：，， ∵，∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得：，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个，故选：D． 题型03：勾股定理的证明方法 【例13】在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【详解】解：甲同学的方案：由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ，整理得，因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案：大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ，，， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理；故选：C． 【例14】如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面积是相等的验证了勾股定理．已知两个空洞中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由勾股定理可得，由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 【例15】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，根据面积相等的关系证明勾股定理．利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等即可得答案． 【详解】解：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ， ， 故选：C． 【例16】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 题型04：与弦图有关的计算与作图 【例17】如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是 ． 【答案】1 【详解】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形， ∴，，，∴， ∴正方形的边长为：，正方形的面积．故答案为：1． 【例18】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，设， 由题意得，，， ，，，，，故选： 【例19】如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据大正方形的面积和勾股定理可判断；根据小正方形的面积和四个直角三角形全等可判断；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可判断；利用完全平方公式先求得，进而可判断． 【详解】解：大正方形的面积是， 大正方形的边长是， 利用勾股定理可得， 故说法正确，符合题意； 小正方形面积为， 小正方形的边长是， 四个直角三角形全等， ， ， 故说法正确，符合题意； 根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， 即，化简得，  故说法正确，符合题意； ， ， ， ， 故说法不正确，不符合题意； 综上所述，说法正确的是． 故选：B ． 题型05：利用勾股定理解决折叠问题 【例20】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 【例21】如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． 【例22】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 题型06：利用勾股定理证明线段的平方关系 【例23】如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：连接． 因为，所以，所以，， 因为，所以．因为M为中点，所以， 所以． 【例24】如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【例25】如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【例26】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 题型07：由勾股定理逆定理判定直角三角形 【例27】下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理．若两条短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．据此依次判断即可． 【详解】解：A：∵，∴不能构成直角三角形； B：∵，∴不能构成直角三角形； C：∵，∴能构成直角三角形； D：∵，∴不能构成直角三角形． 故选：C 【例28】三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【例29】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B、设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（3k）2+（4k）2＝（5k）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C、由∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【例30】已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，进而可证明，则该三角形是直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 【例31】将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意；故选：C． 题型08：勾股数 【例32】下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 【例33】下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可． 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 【例34】满足方程的正整数、、，我们称它们为勾股数． （1）已知，，，请证明、、是一组勾股数； （2）求有一个数是16的一组勾股数． 【解答】解：（1）， ，，、、是一组勾股数． （2）若，则．可得，，或，，则，． 勾股数是63，16，65； 当，，，，，勾股数是20，12，16； 若，则，，，勾股数是16，34，30， 若，不存在，的值． 有一个数是16的一组勾股数是63，16，65或20，12，16或16，34，30． 【例35】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 题型09：勾股定理在格点中的应用 【例36】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【例37】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式．求出的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解即可．熟练利用面积法是解题的关键． 【详解】解：设点到线段的距离等于， ∵小正方形的边长为 ∴， ， ∵，即， ∴， ∴点到线段的距离为． 故选：D． 【例38】如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 【例39】如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，，∴，∴， 由题意得：，，， ∴，∴是直角三角形， ∵，∴，∴，∴．故选：A． 【例40】如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 【例41】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、、的线段，画三角形即可． （3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决． 题型10：利用勾股定理逆定理培求长度、角度、面积 【例42】若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为 　　cm． 【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【解答】解：∵52+122＝132， ∴此三角形是直角三角形， ∴它的最长边上的中线为． 故答案为：6.5． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【例43】如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 【答案】135° 【分析】由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数.设AB＝2x ，通过计算证明AC2+AD2=CD2，从而证得△ACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB的度数． 【详解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x, ∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2 又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2 ∴AC2= CD2-AD2 ∵AC2+AD2=CD2 ∴△ACD是直角三角形， ∴∠DAC=90°， ∴∠DAB=45°+90°=135°． 故答案是：135°. 【点睛】此题主要考查学生对逆定理的理解和运用能力，正确得出∠DAC=90°是解题关键． 【例44】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：连接，如图： ∵，，，∴， 又∵，∴， ∴，∴，故选：B． 【例45】如图，在四边形中，．    (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，再分别求出，，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理．证明为直角三角形是解题关键． 【例46】如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据勾股定理求出各边的长度即可得到周长，根据三角形面积公式即可求出四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案； （3）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，， ∴四边形的周长, 四边形的面积； （2）∵， ∴， ∴是直角三角形，， （3）如图，即为所求， ∵， ∴， ∴ 题型11：利用勾股定理的逆定理证明 【例47】如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】证明：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， ∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF． ∴BE=CE=2，CF=1，DF=3， 由勾股定理得， AE2=AB2+BE2=42+22=20， EF2=CE2+CF2=22+12=5， AF2=AD2+DF2=42+32=25， 又∵AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解决此题关键． 【例48】如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 【例49】在中，，为内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图①，当，时，求的度数． (2)如图②，当时，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：连接，由旋转得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴是直角三角形，∴， ∴，∴的度数为； （2）解：连接，由旋转得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是直角三角形，∴， ∴，∴的度数为． 题型12：勾股定理逆定理的实际应用 【例50】城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 【例51】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 【例52】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数；(2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1)(2)米 【详解】（1）解：，，，∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上，∴米， 在中，由勾股定理得，，解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 题型13：综合提升 【例53】综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 【例54】 【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）正方形的面积为8 【详解】解：（1），，是“变异直角三角形”，故答案为：是； （2）如图②，连接． ，， ，，． ，， ，，， 故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． （3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M． ，，， ，，， ，，， ，，，． E为线段上一点，，，， 以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， 分两种情况讨论：①当时，得，不符合题意，舍去； ②当时，． 综上所述，正方形的面积为8． 一、选择题 1.下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．，2， B．4，5，6 C．6，8，10 D．3，4，4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义即可求解判断，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，2，这三个数不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； B、，不是勾股数，故选项不符合题意； C、，是勾股数，故选项符合题意； D、不是勾股数，故选项不符合题意； 故选：C． 2.在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 3.在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 4．如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形面积得到、的平方，用勾股定理算出．在中，利用含角的直角三角形“角所对直角边是斜边的一半”，结合勾股定理求出另一直角边，最后用面积公式求解．本题主要考查勾股定理、含角的直角三角形性质及三角形面积公式，关键是利用勾股定理和特殊角性质，找到直角边之间的关系来计算面积． 【详解】解：∵正方形面积为， 正方形面积为， ∴ ， ． ∴在中，， ∴（边长为正，舍去负根）． ∵在中，，， ∴ ． ∵，即， ∴（边长为正，舍去负根）． ∴ ． 故选： ． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 6.如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 2、 填空题 7.已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为_____ 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 8.如图，在中，于点，若，则的长为_____ 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 9.如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为______ 【分析】本题考查了勾股定理．在及中分别将及的表示形式代入表示出和，在及中可分别表示出及，据此计算即可得出结果． 【详解】解： ． 10.在中，，若，，则的长是______ 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 11.如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b，根据正方形面积计算公式可得，则可得到，，进而得到，再根据正方形面积计算公式求解即可． 解：设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b， ∵图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 12.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则_____ 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方； 连接，构造直角三角形，利用勾股定理即可进行解答． 解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 13.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 14.已知的三边、、满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 15.如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 16.如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 17.如图，在四边形中，，，，，则的度数为______ 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 18.如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 19.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画出腰长为的等腰三角形即满足题意； （2）画出直角边长为和的直角三角形即可，直角三角形面积为． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： ． 20.如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由于点，，得，而，，可根据“”证明，得，，推导出，再证明，则； （2）由，，，勾股定理求得，，则，由勾股定理得，即可求解． 解：（1）证明：于点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 解：，，， DE=8，， ， ， ， 解得： 21.如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证：. （2）若，，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 解：（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 22.【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】（1）详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 解：（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 23.如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 24.如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ， ∴修建后的路线比原来的路线缩短了． 25.学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 1 学科网（北京）股份有限公司 $