精品解析：天津市五区县重点校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025~2026学年度第一学期期中重点校联考 高二数学 命题学校：杨村一中 芦台一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 2. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 3. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 4. 已知直线与圆交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值. 【详解】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，解得. 故选：A. 5. 如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（ ） A. 直线与直线平行 B. 直线与平面平行 C. 直线与底面所成角的正切值为 D. 平面与底面夹角的正弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线来判断线线平行，利用线向量与平面的法向量数量积为零来判断线面平行，利用空间向量法来求线面角和面面角来判断CD. 【详解】在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 对A，，则， 又因为不重合，所以，故A正确； 对B，由 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 由，则， 因为平面， 所以直线与平面平行，故B正确； 对C，，平面的法向量为， 则， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，即， 则，故C正确； 对D，由B知平面的法向量为，， 设平面与底面ABCD的夹角， 则， ，， 所以平面与底面的夹角的正弦值为，故D错误. 故选：D 6. 在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用切点可求和切线斜率为，从而可得切线方程求焦点，再利用，即可求椭圆方程. 【详解】 由过的直线与圆切于点可得：， 则，由此可得切线的斜率为， 即可得切线方程：，整理得：， 令，可得，即焦点， 所以即， 所以椭圆方程为， 故选：C. 7. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 8. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 11. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】联立，求出两条直线的交点坐标，设出与直线垂直的直线方程，将交点代入，求解. 【详解】联立，解得， 所以直线和的交点为， 设与直线垂直的直线为， 将代入得，解得， 所以直线的方程为， 故答案为： 12. 已知圆与圆相切，则实数的取值为_____. 【答案】16或-24 【解析】 【分析】先分别求出两圆的圆心坐标、半径，然后将已知条件等价转换为或，从而列不等式求解即可. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 由圆，可知， 半径，可知 两圆心之间的距离为, 因为圆与圆相切， 所以①，即，解得 ②，即，解得 则实数的取值为或. 故答案为：或. 13. 已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】直线的方程转化为 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则.即圆的半径为. 则圆的方程为 故答案为：. 14. 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 15. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： （3）已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. 【小问1详解】 由题意知点到直线的距离为圆C的半径， 由点到直线的距离公式可得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆相交与，两点，且， 利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 表示点到点的距离的平方， 又圆心C到点的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 最大值为， 所以的最小值为9，最大值为49， 即的取值范围是. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 【答案】（1） 方法一：取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面. 方法二：由已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 是的中点，所以，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 因，则，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，得，由线线垂直证明平面，再由线线垂直的性质证明平面；方法二：利用条件建系，写出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. （2）由（1）方法二建系，分别求出两平面的法向量，利用两向量夹角的计算公式计算即得； （3）方法一：由点到平面的距离的向量公式求出点到平面的距离，再求的面积，代入棱锥的体积公式计算即得；方法二：通过等体积转化计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）方法二建系，则，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 方法一：由（2）已知平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离， 又，，，， 所以. 方法二：由（1）知为点到面的距离，，， 故. 18. 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1. 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为为正方形， 所以， 因为，且，平面AND，平面BMC， 所以平面平面BMC， 又平面AND， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证. （2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，，即可求得BN长，根据勾股定理，可证，如图建系，求得各点坐标，即可坐标，进而可求得平面CDM的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案. （3）设点，即可求得E点坐标，进而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，， 所以在中，， 所以，又， 所以， 所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以， 则， 设平面CDM的法向量， 则，令，可得， 所以一条法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 假设存在点E，设点， 所以， 所以点，则， 设平面的法向量， 则，令，可得， 所以一条法向量， 因为平面， 所以即为平面的法向量， 所以， 即，解得或-1（舍）， 所以，则， 所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时 20. 已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，理由如下： 依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则， 而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中重点校联考 高二数学 命题学校：杨村一中 芦台一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 3. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线与圆交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（ ） A. 直线与直线平行 B. 直线与平面平行 C. 直线与底面所成角的正切值为 D. 平面与底面夹角的正弦值为 6. 在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知空间向量，，若，则_____. 11. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.则直线的方程为_____. 12. 已知圆与圆相切，则实数的取值为_____. 13. 已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为_____. 14. 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 15. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： （3）已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 18. 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 20. 已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $