精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线的斜率，再由即可求解. 【详解】由，所以， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：A. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 4. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解. 【详解】由题意，圆心，半径， 故圆C方程. 故选：B 5. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为． 故选：A 7. 已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 8. 已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假. 【详解】以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线，则（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，变形得到直线方程为，得到方程组，求出直线恒过点；B选项，根据直线所过定点，得到点到直线的最大距离为，求出答案；C选项，变形得到直线的斜率不等于；D选项，得到直线与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到最值. 【详解】A选项，变形得到， 令，解得，故直线恒过点，A正确； B选项，由于直线恒过点， 故点到直线的最大距离为，B正确； C选项，当时，此时直线的斜率为， 由于，故，C错误； D选项，当时，，， 中令得，令得， 故直线与坐标轴所围成的三角形面积为， 因为，所以当时，所围成的三角形面积最小，最小值为4，D正确. 故选：ABD 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 详解】曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可. 【详解】根据题意，延长交于点，连接，如下所示： 在△中，容易知：； 同理，， 满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知： ，解得，即点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 圆与圆的公切线共有__________条 【答案】4 【解析】 【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线. 【详解】由， 所以该圆的圆心坐标为，半径为2， ， 所以该圆的圆心坐标为，半径为1， 所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3， 因为，所以两圆的位置关系是外离， 故两圆的公切线共有4条. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 （1），， ，故。 （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值。 【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 16. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【小问1详解】 因为，所以边上高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． 【小问2详解】 因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，. 设平面的一个法向量为， 又，，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）知，，. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：由（1）知平面的一个法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 又， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. 【小问1详解】 易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； 【小问2详解】 联立方程组，解得， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 19. 已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点的轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出点，结合斜率乘积计算即可得； （2）（i）结合圆的切线的性质可得取最小值时有最大值，计算即可得；（ii）设出点坐标后表示出直线、，即可通过计算表示出、坐标，结合圆的对称性分直线斜率存在与斜率不存在计算即可得. 【小问1详解】 设点，则有. 化简得； 【小问2详解】 （i）记为，则，因为为锐角，即求最大值， 即求最大值，又，故只需取最小值即可， 则当时，最小，此时取，则， 所以的最大值为； （ii）设，，， 则，， 联立，则， 则，即，故， 联立，则， 则，即，故， 即，， 由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时， 即，得，即，此时直线过点； 当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得， 又，故，即，故此时直线过点； 综上所述直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A ； B. 当是靠近三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 10. 已知直线，则（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 13. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________. 14. 圆与圆的公切线共有__________条 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 16. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 18. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径圆的方程． 19. 已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. （1）求点轨迹方程. （2）若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $