3.2双曲线 题型分类训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《双曲线》核心题型分类训练 题型一：双曲线的定义 题型二：双曲线的标准方程 题型三：双曲线中的焦点三角形 题型四：求双曲线的轨迹方程 题型五：双曲线的焦点和焦距 题型六：双曲线的渐近线 题型七：求双曲线的离心率或取值范围 题型八：双曲线中的定点、定值、定直线问题 题型一：双曲线的定义 1．已知P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，若|PF2|＝15，则|PF1|＝（　B　） A．31 B．27 C．3或27 D．3 【解析】 由双曲线，可得a＝6，故||PF2|﹣|PF1||＝12，则||PF1|﹣15|＝12，即|PF1|＝3或|PF1|＝27，又，则|PF1|＞|F1F2|﹣|PF2|＝20﹣15＝5，故|PF1|＝27．故选：B． 2．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 当||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|时，动点M的轨迹才是双曲线，故充分性不成立；“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，且满足||PF1|﹣|PF2||为定值|，故必要性成立，综上所述，“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件． 3．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　B　） A．4 B．2 C．3 D．1 【解析】 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则双曲线的实半轴长为a＝2，延长F2N交直线MF1于点H，如图所示，由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，又O是F1F2中点，所以． 4．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则的值为（　B　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】 双曲线，故a＝1，c＝2，b，|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，故2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4c＝8 ①，根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2 ②，由①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3，|F1F2|＝4，故，即PF2⊥F1F2，故． 5．已知双曲线左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF2|＝7，则|PF1|＝ 　　 ．13 【解析】 由双曲线可得a＝3，c5，所以当P在左支上时|PF2|≥a+c＝8，当P在右支上时|PF2|≥c﹣a＝2，因为|PF2|＝7，所以P在右支上，所以|PF1|＝|PF2|+2a＝7+6＝13． 6．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与双曲线C的上支交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF2的周长为 　　 ．12 【解析】 由题意知，a2＝4，即a＝2，由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a＝4，因为|AF1|+|BF1|＝|AB|＝2，所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|＝（|AF1|+4）+（|BF1|+4）+|AB|＝2|AB|+8＝12． 7．焦点为（0，﹣2），（0，2）且经过点的双曲线方程为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 由题意得，可设双曲线的标准方程为，c＝2，所以a2+b2＝4①， 因为双曲线过点，所以，化简为②，联立①②，得，解得a2＝2，b2＝2，所以双曲线方程为． 8．“m＞﹣1”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 根据题意，当m＝2时，2m﹣3＝1且1+m＝3，方程方程表示椭圆，反之，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解可得：﹣1＜m，必有m＞﹣1成立，故“m＞﹣1”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件． 9．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线C的标准方程为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，实轴长为，虚轴长为，则，解得m＝2，故双曲线C的标准方程为． 10．（多选）已知曲线C的方程为，则（　AD　） A．若曲线C表示圆，则m＝1 B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2 C．若曲线C表示双曲线，则m＞2 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0 【解析】 若曲线表示圆，则有m＝2﹣m＞0，解得m＝1，故A正确；若曲线表示椭圆，则有，解得0＜m＜2且m≠1，故B错误；若曲线表示双曲线，则有m（2﹣m）＜0，解得m＜0或m＞2，故C错误；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得m＜0，故D正确． 11．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（　ACD　） A．C可能表示圆 B．C可能表示焦点在y轴上的双曲线 C．若C表示双曲线，则 D．若C表示焦点在x轴上的椭圆，则C的焦距的取值范围为（0，2） 【解析】 当时，，曲线C的方程为：，表示圆，故A正确；由，得sinα＞0，所以C不可能表示焦点在y轴上的双曲线，故B错误；若C表示双曲线，因为sinα＞0，所以必有cosα＜0，又，则，故C正确；若C表示焦点在x轴上的椭圆，则有sinα＞cosα＞0，故tanα＞1，进而得，所以，则，所以C的焦距，故D正确． 12．若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为　　 ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 【解析】 由已知得，（m﹣1）（m+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞1，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）． 13．已知双曲线的焦点在x轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为　　 ． 【解析】 已知双曲线的焦点在x轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则a＝2，b＝3，则双曲线的标准方程为． 14．点P为双曲线上的点，F1、F2为左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是 　　 ． 【解析】 由题意得F2（5，0），F1（﹣5，0），且||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，由余弦定理得，∴|PF1|•|PF2|＝64，∴△F1PF2的面积 15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若|F1A|＝2，则△AF2B的周长为 　　 ．4 【解析】 由题可得：，即|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|，△AF2B的周长为：|AF2|+|BF2|+|AB|＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝2|AF1|＝4． 16．已知双曲线C：x2﹣y2＝2的左右焦点为F1，F2，点P为双曲线C上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的周长是　　 ． 【解析】 由双曲线可得，c＝2，|F1F2|＝4，由点P在双曲线C上，得，由PF1⊥PF2，得，，因此，所以△PF1F2的周长是． 题型四：求双曲线的轨迹方程 17．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　D　） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上 【解析】 由x2+y2﹣8x+12＝0，得（x﹣4）2+y2＝4，画出圆x2+y2＝1与（x﹣4）2+y2＝4的图象如图所示，设圆P的半径为r，∵圆P与圆O和圆M都外切，∴|PM|＝r+2，|PO|＝r+1，则|PM|﹣|PO|＝1＜4，∴P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上 18．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（　A　） A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 【解析】 如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|＝4＝2a，a＝2，而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点c＝2而在双曲线中c＞a所以把后三个关于双曲线的答案全部排除， 19．已知点B（0，4），C（0，﹣4），动点A满足，则A的轨迹方程为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 因为，所以A的轨迹为双曲线，且焦点在y轴上，设该双曲线的方程为，则，c＝4，．所以A的轨迹方程为． 20．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，当a＝3和5时，P点的轨迹为（　C　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线一支和一条射线 D．双曲线一支和一条直线 【解析】 当a＝3时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|，依照双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线的一支，当a＝5时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝10＝|F1F2|，P点的轨迹是一条射线，综上，P点的轨迹是双曲线一支和一条射线 题型五：双曲线的焦点和焦距 21．若双曲线的焦距为6，则m＝（　D　） A．5 B．3 C．﹣2 D．﹣1 【解析】 双曲线的焦距为6，依题意可得2m（m﹣6）＞0，解得m＞6或m＜0， 故答案只有在C、D中选择，由于双曲线的焦距为6，经验证得到m＝﹣1． 22．若双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，则实数t等于（　C　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 已知双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，则，解得t＝4． 23．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（　B　） A． B． C．（1，﹣1） D．（3，﹣3） 【解析】 由双曲线可知：c2＝n+1，且焦点在x轴上，由题意和椭圆方程可得：c2＝m﹣2，m＞2，即n+1＝m﹣2，可得，所以直线mx+ny＝l必过定点． 24．双曲线的一个焦点为（0，2），则a＝（　A　） A． B． C．3 D． 【解析】 因为双曲线的一个焦点为（0，2），所以c2＝a2+1＝4，所以． 25．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则m的值为（　A　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【解析】 由表示双曲线，则m＞0，其焦点坐标为，易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为（±2，0），若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则与（±2，0）重合，即． 26．已知双曲线C：1的右焦点为F2，点P在C的右支上，且Q（2，），则|PQ|+|PF2|的最小值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 对于双曲线，其中a2＝ 3，b2＝1，根据c2＝a2+b2，可得c＝ ，右焦点F2（2，0），根据双曲线定义，对于双曲线上任意一点P，有，因此，为了使最小，需使|PQ|+|PF1|最小，根据三角形两边之和大于第三边的性质，当P、Q、F1三点共线时，|PQ|+|PF1|取得最小值，最小值为|QF1|，根据两点间距离公式|QF1|＝ ，因此|PQ|+|PF2|的最小值为． 27．（多选）已知双曲线C，则（　ACD　） A．C的实轴长为6 B．C的渐近线方程为 C．C的焦点坐标为（±4，0） D．C的焦点到其渐近线的距离为 【解析 已知双曲线C，根据双曲线定义，a＝3，，故C的实轴长为6，故A正确；由有解得C的渐近线方程为，故B错误；c2＝a2+b2＝9+7＝16，故c＝4，易得C的焦点坐标为（±4，0），故C；由对称性，不妨取焦点（4，0）到渐近线的距离为，故D正确． 28．（多选）关于双曲线1与双曲线，下列说法正确的是（　BD　） A．它们的实轴相等 B．它们的渐近线相同 C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等 【解析】 双曲线1的实轴长为，渐近线为y＝±，离心率为，焦距为， 双曲线的实轴长为4，渐近线为y＝±，离心率为，焦距为 29．双曲线的渐近线方程是（　C　） A． B． C． D． 【解析】 由已知，，，且双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为． 30．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，若C的焦距为3，C上点P满足PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝4，则双曲线的渐近线方程为（　D　） A．y＝±2x B． C． D． 【解析】 设双曲线方程为1（a＞0，b＞0），∵C的焦距为3，∴c，∵C上点P满足PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝4，∴，（|PF1|﹣|PF2|）2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝9﹣2×4＝1，2a＝||PF1|﹣|PF2||＝1，∴a，∴b，双曲线C的渐近线方程为yxx． 31．已知双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段PF的垂直平分线，则C的渐近线方程为（　B　） A． B． C．y＝±2x D．y＝±3x 【解析】 如图所示，设双曲线C的左焦点为F′，原点为O，线段PF与C的另一条渐近线交于点Q，则由题意可得OP＝OF＝OF′所以，所以渐近线的斜率为，则双曲线C的渐近线方程为． 32．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，由双曲线定义知||PF2|﹣|PF1||＝2a，∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a，∵，|F1F2|＝2c，∴，即，化简得7a2＝4c2，又c2＝a2+b2，∴，解得，∴双曲线C的渐近线方程为． 33．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2两条渐近线的夹角大小为（　B　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【解析】 ∵双曲线C2的离心率，椭圆C1的离心率，由C1与C2的离心率之积为，可得，∴，∴，∴设双曲线渐近线的倾斜角为θ，则，即渐近线的倾斜角分别为60°和120°，又两条直线夹角α的范围为：0°≤α≤90°，∴双曲线C2两条渐近线的夹角大小为120°﹣60°＝60°． 34．已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cos∠MF1N，则C的渐近线方程为（　B　） A． B．y＝±2x C． D． 【解析】 如图所示，易知点M，N关于x轴对称，不妨设M在一象限，令∠MF1F2＝α，则，所以，，所以，则或（舍），联立，即，又F1（﹣c，0），则，即，所以渐近线方程为y＝±2x． 35．已知双曲线C：的一条渐近线为，则m＝　　 ．5 【解析】 因为双曲线C：，所以其一条渐近线方程为，即，由题意，则，解得m＝5． 36．已知O为坐标原点，双曲线的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的渐近线方程为　　 ． 【解析】 由题意，A（0，﹣a），F（0，c），双曲线的渐近线为，设点P在上，则，故，所以，则，所以，所以，所以，所以C的渐近线方程为 37．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，若△PF1F2的内切圆的圆心为Q（xQ，a）且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为 __________　 ．y 【解析】 如图所示，设P（xp，yp），依题意可得a﹣yp+3a＝0，则yP＝4a，由等面积可得，化简得|PF1|+|PF2|＝6c，又PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a，因为F1（﹣c，0），点P在双曲线的右支上，所以，则，解得xP＝3a，所以P的坐标为（3a，4a）， 代入双曲线方程中，得，解得，所以渐近线方程为y＝±x． 题型七：求双曲线的离心率或取值范围 38．已知焦点在y轴上的双曲线的离心率，则m＝（　C　） A．1 B． C．﹣4 D．1或﹣4 【解析】 由于的焦点在y轴上，因此其标准方程为因此a2＝m2﹣4，b2＝﹣3m，因此解得m＜﹣2．又由于双曲线的离心率，因此．又因为c2＝a2+b2，因此a2＝b2，即m2﹣4＝﹣3m，即（m﹣1）（m+4）＝0，解得m＝﹣4或m＝1（舍去）． 39．若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 由双曲线的标准方程，，，得，故该双曲线的焦距为． 40．双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是其渐近线上的一点，若PF1⊥PF2，PF1PF2，则该双曲线的离心率为（　B　） A． B．2 C．1 D．4 【解析】 设双曲线焦距为2c，因为PF1⊥PF2，O为F1F2中点，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，不妨设点P在渐近线yx上，则由|OP|＝c，以及c2＝a2+b2，可得P（a，b），又|PF1||PF2|，所以∠PF2F1＝60°，所以△OPF2为正三角形，则c＝2a，双曲线的离心率为2． 41．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为，且，若双曲线C2的离心率为，则椭圆C1的离心率为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 设椭圆的半焦距为c，则双曲线的半焦距也为c，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在C1中，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a1，在C2中，|PF1|﹣|PF2|＝m﹣n＝2a2，以m＝a1+a2，n＝a1﹣a2， 由于P在第一象限，且，则PQ过线段F1F2的中点O，由对称性得，点Q为曲线C1和C2在第三象限的交点，所以四边形PF1QF2为平行四边形，因为，所以，在△F1PF2中，由余弦定理得，，化简得﹣mn＝m2+n2﹣4c2，即4c2，则，即，由于双曲线C2的离心率，即，所以解得，即椭圆的离心率为． 42．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为（　C　） A． B． C．2 D． 【解析】 双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，如图所示，根据双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，由于|AB|＝|AF1|，|AB|＝|AF2|+|BF2|，则|AF2|+|BF2|＝|AF1|，所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a．设∠F1F2B＝θ，由题可得，则，在△BF1F2中，由余弦定理，可得，整理得2c2﹣ac﹣6a2＝0，即2e2﹣e﹣6＝0，因e＞1，则可得e＝2． 43．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且F2关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，PF1为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（　B　） A． B．2 C． D． 【解答】 如图所示，由于以P为圆心，PF1为半径的圆过原点，则|OF2|＝|OP|＝|PF1|＝c， 设PF2与渐近线的交点为M，则M为PF2的中点，且PF2⊥OM，则点F2（c，0）到直线bx﹣ay＝0的距离，可得，又因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，则|PF1|＝2|OM|＝2a，即c＝2a，所以双曲线的离心率为． 44．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线PF1的距离为，则双曲线C的离心率为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 因为以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P，所以PF1⊥PF2，取PF1的中点M，如图所示，连接OM，因为O为F1F2的中点，所以OM∥PF2，且，故OM⊥PF1，|OM|即为坐标原点O到直线PF1的距离，则，所以|PF2|＝2|OM|＝3a，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，所以|PF1|＝a，又|F1F2|＝2c，由勾股定理得，故a2+9a2＝4c2，解得，故离心率为． 45．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（　C　） A． B． C．2 D． 【解析】 根据题意可知，A（﹣a，0），F（c，0），双曲线的渐近线方程为，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，如图所示，设点P在直线上，即点P在直线bx﹣ay＝0上，则，在直角△POF中，|PF|＝b，|OF|＝c，所以，故，在△PAO中，cos∠POA，所以，所以，故椭圆C的离心率． 46．已知双曲线，双曲线右支上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1x2﹣y1y2＞0恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（　B　） A． B． C． D． 【解析】 双曲线，双曲线右支上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1x2﹣y1y2＞0恒成立 ∴，即，由双曲线性质可知，，∴，又恒成立，∴，∴，∴， ∴双曲线离心率的取值范围是（1，]． 47．设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　A　） A． B． C． D． 【解析】 双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，设双曲线的左焦点F1，如图所示,由双曲线的对称性可知，四边形AFBF1为平行四边形，又，则FA⊥FB，∴平行四边形AFBF1为矩形，故|AB|＝|FF1|＝2c，设|AF1|＝n，|AF|＝m，则|BF|＝n，在Rt△ABF中，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，∴2mn＝4c2﹣4a2＝4b2，则mn＝2b2，∴，令，得，又由|FB|＜|FA|≤3|FB|，得，∵对勾函数在（1，3]上单调递增，∴，∴，即， 则，故，∴，∴双曲线离心率的取值范围是． 48．已知双曲线C的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，若|AF1|+|BF1|＝4|F1F2|，则双曲线C离心率的取值范围是（　B　） A． B． C． D． 【解析】 由已知，设|AF1|≥|BF1|，且|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+BF2|）＝4a，又|AF2|+|BF2|＝|AB|，则|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，又|AF1|+|BF1|＝4|F1F2|＝8c，则|AB|＝8c﹣4a，当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|，所以8c﹣4a，即2c2﹣8ac+2a2≤0，即e2﹣4e+1≤0，得2e≤2，又双曲线的离心率大于1，则1＜e≤2．即双曲线离心率的范围为（1，2]． 49．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　B　） A． B． C． D． 【解析】 由已知，设|AF1|≥|BF1|，且|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+BF2|）＝4a，又|AF2|+|BF2|＝|AB|，则|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，又|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|＝6c，则|AB|＝6c﹣4a，当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|，所以，即2c2﹣6ac+2a2≤0，即2e2﹣6e+2≤0，得，又双曲线的离心率大于1，则1． 50．已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2.经过F2且倾斜角为的直线与Γ交于第一象限的点A，延长AF2至B，使|AB|＝|AF1|．若△BF1F2的面积是，则双曲线的离心率为 　　 ．3 【解析】 因为双曲线的方程为，所以b2＝9﹣a2，，此时F1（﹣3，0），F2（3，0），设B（xB，yB），yB＜0，若△BF1F2的面积是，此时， 解得，易知直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，因为点B在直线AB上，所以，得xB＝2，即，此时，解得a＝1，则双曲线的离心率． 51．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点Q、在第三象限交于点P，若|F1Q|≥3|PF1|，则该双曲线的离心率的取值范围是　　 ． 【解析】 如图所示，已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点Q、在第三象限交于点P，根据圆与双曲线的对称性可知P，O，Q三点共线，则四边形F1PF2Q为矩形，设|PF1|＝m＝|QF2|，所以|QF1|＝m+2a，则，所以，即． ，不得复制发布日期：2025/12/17 12:09:36；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：214 题型八：双曲线中的定点、定值、定直线问题 52.已知双曲线的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，． （1）求C的方程； （2）过P作直线x＝1的垂线，垂足为N． （i）证明：直线QN过定点； （ii）求△OQN面积的最小值． 【解析】 （1）由题设，则，由l⊥x轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以a2＝b2＝2，则所求方程为； （2）（i）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则N（1，y1），由l斜率不为0，设l：x＝my+2，联立双曲线并整理得（m2﹣1）y2+4my+2＝0，则m2﹣1≠0，Δ＝8m2+8＞0，所以，，由x2≠1，直线，根据双曲线的对称性，直线NQ所过定点必在x轴上，令y＝0，则，因为x2＝my2+2，所以，而，则x，所以NQ过定点M（，0）；由，由（i），，可得0≤m2＜1，令t＝m2﹣1∈[﹣1，0），则，由，故，当t＝﹣1时取等号．综上，SΔOQN的最小值为． 53.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 【解析】 （1）设E的半焦距为c（c＞0）．由题意知P在E的右支上，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，∴a＝3，∵，∴，∴，∴E的方程为； （2）证明：依题意，设直线l的方程为 x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程，得消去x并整理，得（4m2﹣3）y2+16my﹣20＝0，∴4m2﹣3≠0，且Δ＝（16m）2﹣4×（﹣20）×（4m2﹣3）＞0，解得，且，∴，y1y2，由题意知，B'（x2，﹣y2），∴．直线AB'的方程为y﹣y1（x﹣x1），令y＝0，得，∴直线AB'恒过点． 54.在直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点M满足|MF1|＝|MF2|+2，记动点M的轨迹为C． （1）求C的标准方程； （2）设直线MF2与C的另一个交点为N，证明：为定值． 【解析】 （1）由|MF1|＝|MF2|+2，得|MF1|﹣|MF2|＝2，|F1F2|＝4＞|MF1|﹣|MF2|，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以F1、F2为左右焦点的双曲线的右支，且|MF1|﹣|MF2|＝2a，则a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以C的方程为； （2）证明：如图所示，设MN方程为x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，则Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＝36m2+36＞0，，，又x1＝my1+2，x2＝my2+2，由两点距离公式得，，所以 ，即证 55.动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，记动点T的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点F的直线l′（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点A（﹣2，0）的直线AP和AQ，与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF和NF的斜率分别为k1和k2，证明：k1•k2为定值． 【解析】 （1）因为动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，设点T（x，y），所以，化简整理得3x2+4y2＝12，所以曲线C的方程为． （2）证明：设直线PQ的方程为x＝ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由， 消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，显然Δ＝36t2+36（3t2+4）＞0，则，直线AP的方程为，则，同理，则，所以k1•k2为定值﹣1． 56.已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为A1，A2，过点T（3，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线MN的斜率为1，求弦长MN； （3）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值． 【解析】 （1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即，由a2+1＝5，得a＝2，所以双曲线的方程为； （2）依题意，直线MN的方程为y＝x﹣3，联立，即3x2﹣24x+40＝0 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+x2＝8，x1x2， 所以弦长.； （3）证明：依题意，设直线的方程为x＝my+3，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，即（m2﹣4）y2+6my+5＝0，则Δ＝36m2﹣4（m2﹣4）×5＞0，且，，即﹣5（y1+y2）＝6my1y2，而A1（﹣2，0），A2（2，0），所以为定值． 57.已知P，Q是双曲线上两个不同的点，O为坐标原点，点． （1）若点A在Γ上，求Γ的渐近线方程． （2）当O，P，Q，A四点共线时，，点B（2，0）． （i）求Γ的方程； （ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在x轴上，M，N分别为Γ的左、右顶点，直线PM与QN交于点D，证明：动点D在一条定直线上． 【解析】 （1）因为点在双曲线上，所以．又因为a＞0，所以．故Γ的渐近线方程为． （2）（i）当O，P，Q，A四点共线时，则直线OA的方程为，由得． 因为a＞0，所以，所以，解得a2＝1，故Γ的方程为x2﹣y2＝1． （ii）证明：因为P，Q两点均不在x轴上，所以直线PQ的斜率不为0，则可设直线PQ的方程为x＝my+2．由得（m2﹣1）y2+4my+3＝0，则m2﹣1≠0，Δ＝16m2﹣12（m2﹣1）＝4m2+12＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．直线，直线，由得，解得，故动点D在定直线上． 58.已知A1，A2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，F1，F2分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线C上异于顶点的任意两点，当MN经过原点O时，直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线l：x＝my+4（m∈R），交双曲线C的左、右两支于D，E两点． ①求m的取值范围； ②设直线A1D与直线A2E交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【解析】 （1）因为|A1A2|＝4＝2a，所以a＝2，设M（x0，y0），此时N（﹣x0，﹣y0），又A1（﹣2，0）， 所以直线A1M的斜率，直线A1N的斜率，因为直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4，所以，即，因为由，所以，解得b＝4，则双曲线C的方程为； （2）①因为双曲线C的方程为，渐近线方程为y＝±2x，易知直线l的斜率存在且斜率k，因为直线l与双曲线有两个交点，所以，解得或； ②证明：设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，消去x并整理得（4m2﹣1）y2+32my+48＝0，由①知4m2﹣1≠0且Δ＝（32m）2﹣4（4m2﹣1）•48＝256m2+192＞0，由韦达定理得，，两式相除得，即，因为A1（﹣2，0），A2（2，0），所以直线A1D的方程为，即，同理得直线A2E的方程，联立，解得，即，所以，解得x＝1．综上所述，直线A1D与直线A2E的交点Q在定直线x＝1上． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《双曲线》核心题型分类训练 题型一：双曲线的定义 题型二：双曲线的标准方程 题型三：双曲线中的焦点三角形 题型四：求双曲线的轨迹方程 题型五：双曲线的焦点和焦距 题型六：双曲线的渐近线 题型七：求双曲线的离心率或取值范围 题型八：双曲线中的定点、定值、定直线问题 题型一：双曲线的定义 1．已知P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，若|PF2|＝15，则|PF1|＝（　　） A．31 B．27 C．3或27 D．3 2．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　　） A．4 B．2 C．3 D．1 4．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．已知双曲线左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF2|＝7，则|PF1|＝ 　 　 ． 6．已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与双曲线C的上支交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF2的周长为 　 　 ． 题型二：双曲线的标准方程 7．焦点为（0，﹣2），（0，2）且经过点的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 8．“m＞﹣1”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知曲线C的方程为，则（　　） A．若曲线C表示圆，则m＝1 B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2 C．若曲线C表示双曲线，则m＞2 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0 11．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（　　） A．C可能表示圆 B．C可能表示焦点在y轴上的双曲线 C．若C表示双曲线，则 D．若C表示焦点在x轴上的椭圆，则C的焦距的取值范围为（0，2） 12．若曲线表示双曲线，则实数m的取值范围为　 　 ． 13．已知双曲线的焦点在x轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为　 　 ． 题型三：双曲线中的焦点三角形 14．点P为双曲线上的点，F1、F2为左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是 　 　 ． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若|F1A|＝2，则△AF2B的周长为 　 　 ． 16．已知双曲线C：x2﹣y2＝2的左右焦点为F1，F2，点P为双曲线C上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的周长是　 　 ． 题型四：求双曲线的轨迹方程 17．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上 18．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（　　） A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 19．已知点B（0，4），C（0，﹣4），动点A满足，则A的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 20．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，当a＝3和5时，P点的轨迹为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线一支和一条射线 D．双曲线一支和一条直线 题型五：双曲线的焦点和焦距 21．若双曲线的焦距为6，则m＝（　　） A．5 B．3 C．﹣2 D．﹣1 22．若双曲线的方程为，其焦点在x轴上，焦距为4，则实数t等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 23．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线mx+ny＝1必过定点（　　） A． B． C．（1，﹣1） D．（3，﹣3） 24．双曲线的一个焦点为（0，2），则a＝（　　） A． B． C．3 D． 25．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 26．已知双曲线C：1的右焦点为F2，点P在C的右支上，且Q（2，），则|PQ|+|PF2|的最小值为（　　） A． B． C． D． 27．（多选）已知双曲线C，则（　　） A．C的实轴长为6 B．C的渐近线方程为 C．C的焦点坐标为（±4，0） D．C的焦点到其渐近线的距离为 28．（多选）关于双曲线1与双曲线，下列说法正确的是（　　） A．它们的实轴相等 B．它们的渐近线相同 C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等 题型六：双曲线的渐近线 29．双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 30．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，若C的焦距为3，C上点P满足PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝4，则双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±2x B． C． D． 31．已知双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段PF的垂直平分线，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C．y＝±2x D．y＝±3x 32．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 33．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2两条渐近线的夹角大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 34．已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cos∠MF1N，则C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±2x C． D． 35．已知双曲线C：的一条渐近线为，则m＝　 　 ． 36．已知O为坐标原点，双曲线的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的渐近线方程为　 　 ． 37．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，若△PF1F2的内切圆的圆心为Q（xQ，a）且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为　 　 ． 题型七：求双曲线的离心率或取值范围 38．已知焦点在y轴上的双曲线的离心率，则m＝（　　） A．1 B． C．﹣4 D．1或﹣4 39．若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（　　） A． B． C． D． 40．双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是其渐近线上的一点，若PF1⊥PF2，PF1PF2，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．1 D．4 41．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为，且，若双曲线C2的离心率为，则椭圆C1的离心率为（　　） A． B． C． D． 42．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 43．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且F2关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，PF1为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 44．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线PF1的距离为，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 45．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 46．已知双曲线，双曲线右支上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1x2﹣y1y2＞0恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 47．设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 48．已知双曲线C的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，若|AF1|+|BF1|＝4|F1F2|，则双曲线C离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 49．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 50．已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2.经过F2且倾斜角为的直线与Γ交于第一象限的点A，延长AF2至B，使|AB|＝|AF1|．若△BF1F2的面积是，则双曲线的离心率为 　 　 ． 51．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点Q、在第三象限交于点P，若|F1Q|≥3|PF1|，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　 ． 题型八：双曲线中的定点、定值、定直线问题 52.已知双曲线的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，． （1）求C的方程； （2）过P作直线x＝1的垂线，垂足为N． （i）证明：直线QN过定点； （ii）求△OQN面积的最小值． 53.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 54.在直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点M满足|MF1|＝|MF2|+2，记动点M的轨迹为C． （1）求C的标准方程； （2）设直线MF2与C的另一个交点为N，证明：为定值． 55.动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，记动点T的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点F的直线l′（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点A（﹣2，0）的直线AP和AQ，与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF和NF的斜率分别为k1和k2，证明：k1•k2为定值． 56.已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为A1，A2，过点T（3，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线MN的斜率为1，求弦长MN； （3）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值． 57.已知P，Q是双曲线上两个不同的点，O为坐标原点，点． （1）若点A在Γ上，求Γ的渐近线方程． （2）当O，P，Q，A四点共线时，，点B（2，0）． （i）求Γ的方程； （ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在x轴上，M，N分别为Γ的左、右顶点，直线PM与QN交于点D，证明：动点D在一条定直线上． 58.已知A1，A2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，F1，F2分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线C上异于顶点的任意两点，当MN经过原点O时，直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线l：x＝my+4（m∈R），交双曲线C的左、右两支于D，E两点． ①求m的取值范围； ②设直线A1D与直线A2E交于点Q，求证：点Q在定直线上． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $