5.4二元一次方程与一次函数题型突破（六大题型） 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.4二元一次方程与一次函数题型突破2025-2026学年 北师大版八年级上册（六大题型） 题型一：二元一次方程（组）与一次函数的关系 1．以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ． 2．如图，两条直线，的交点坐标是 ，可以看作方程组 的解． 题型二：根据交点坐标求方程组的解 1.在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 2.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3.如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 5．一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 题型三：根据函数解析式联立方程组求交点坐标 1.若关于 的二元一次方程组 的解是 ，则直线与 的交点坐标是 ． 2．已知是一次函数与一次函数的交点，则点的坐标是 ． 3．已知，如图，直线与直线．    (1)写出两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，点B是一次函数的图象与正比例函数的图象的交点．    (1)求k的值； (2)求点B的坐标． 题型四：待定系数法求一次函数解析式 1.已知一次函数的图象过，两点，求这个一次函数的解析式． 2.已知一次函数的图象经过点和点．求该一次函数表达式； 3.已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 4.已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求一次函数的表达式； 题型五：求直线与坐标轴围成的三角形的面积 1．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 2．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 3．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 4．如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ． 5.如图，一次函数的图象与的图象交于点，与y轴交于点，的图象与y轴交于点B． (1)求a，n的值． (2)求的面积． 题型六：一次函数与二元一次方程的综合应用 1.某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定的重量，则需要购买行李票，行李票费用（元与行李重量（千克）之间函数关系的图象如图所示． （1）求与之间的函数关系． （2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？ 2．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 3.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数关系式； (2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 4．为丰富学生体育活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价八折出售； 乙：一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款，超过其一定金额的部分享受打折优惠． 设需要购买体育用品的原价总额为元，实际付款为元，其函数图象如图所示． 当时，在甲、乙两个专卖店购买商品实际付款相同． (1)当时，________． (2)当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，求与之间的函数关系式，并直接写出打几折出售． (3)当在甲、乙两个专卖店一次购买商品的原价总额相同，而实际付款相差20元时，直接写出的值． 5.为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题： (1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数关系式； (3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇． 【答案】 5.4二元一次方程与一次函数题型突破2025-2026学年 北师大版八年级上册（六大题型） 题型一：二元一次方程（组）与一次函数的关系 1．以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ． 【答案】 2．如图，两条直线，的交点坐标是 ，可以看作方程组 的解． 【答案】 （答案不唯一） 题型二：根据交点坐标求方程组的解 1.在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 5．一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 题型三：根据函数解析式联立方程组求交点坐标 1.若关于 的二元一次方程组 的解是 ，则直线与 的交点坐标是 ． 【答案】 2．已知是一次函数与一次函数的交点，则点的坐标是 ． 【答案】 3．已知，如图，直线与直线．    (1)写出两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 在中，当时，，即； （2）解：依题意，得：， 解得：； ∴点C的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，点B是一次函数的图象与正比例函数的图象的交点．    (1)求k的值； (2)求点B的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由（1）得：， 解方程组， 解得， 故点坐标是． 题型四：待定系数法求一次函数解析式 1.已知一次函数的图象过，两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：由题意，设所求的一次函数为， 图象过点和， ， ， 所求一次函数的解析式为 2.已知一次函数的图象经过点和点．求该一次函数表达式； 【答案】解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为：； 3.已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点不在该函数图象上． 4.已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求一次函数的表达式； 【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 把A（-1，-1）B（1，-3）代入y=kx+b 解得：k=-1，b=-2， ∴一次函数表达式为：y=-x-2 题型五：求直线与坐标轴围成的三角形的面积 1．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】 2．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 【答案】4 3．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 【答案】3 4．如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】 12 5.如图，一次函数的图象与的图象交于点，与y轴交于点，的图象与y轴交于点B． (1)求a，n的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，．(2)( 【详解】（1）解：把代入一次函数，得； ∴一次函数解析式为， ∵当时，， ∴P点坐标为，即． 把代入一次函数，得； ∴，． （2）解：把代入得， ∴， ∴， ∴； 题型六：一次函数与二元一次方程的综合应用 1.某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定的重量，则需要购买行李票，行李票费用（元与行李重量（千克）之间函数关系的图象如图所示． （1）求与之间的函数关系． （2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？ 【答案】解：（1）设一次函数， 当时，，当时，， 解之，得， 所求函数关系式为； （2）当时，，所以， 故旅客最多可免费携带行李． 2．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40． 【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，； （2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作 则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点 设机器工作时关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器工作时关于的函数解析式； （3）设机器加油过程中的关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式 油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： ①在机器加油过程中 当时，，解得 ②在机器工作过程中 当时，，解得 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40． 3.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数关系式； (2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 【答案】(1)； (2)当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样；当骑行时间小于时，选B品牌；当骑行时间大于时，选A品牌． 【详解】（1）解：设， 过代入得， ， 解得：， ， 关于x的函数解析式为； 设当时，， 将点，代入得， ， 解得， 当时，， ； （2）解：由图象知，当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样； 当骑行时间小于时，选B品牌： 当骑行时间大于时，选A品牌． 4．为丰富学生体育活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价八折出售； 乙：一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款，超过其一定金额的部分享受打折优惠． 设需要购买体育用品的原价总额为元，实际付款为元，其函数图象如图所示． 当时，在甲、乙两个专卖店购买商品实际付款相同． (1)当时，________． (2)当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，求与之间的函数关系式，并直接写出打几折出售． (3)当在甲、乙两个专卖店一次购买商品的原价总额相同，而实际付款相差20元时，直接写出的值． 【答案】(1)480 (2)，打七折出售 (3)100，400，800 【详解】（1）解：当时，． 故答案为：480． （2）解：根据题意，当时，对应乙图象上． 当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，设与之间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，与之间的函数关系式为，打七折出售． （3）根据题意，在乙专卖店一次购买商品没有打折优惠时，， 在乙专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为； 根据题意，在甲专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得或． 的值为100、400或800． 5.为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题： (1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数关系式； (3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇． 【答案】(1)30千米 (2) (3)小时 【详解】（1）解：电动车队的速度为， ， 答：邮政车到达乙地后，电动车距乙地30千米； （2）解：设线段对应的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得， 线段对应的函数关系式为； （3）解：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇， 根据题意得：， 解得， 答：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇． 学科网（北京）股份有限公司 $