专题20 一次函数的应用（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

null 专题20 一次函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 知识点02 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 例题：（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解为 ． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【题型2 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【变式训练】 1.（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 3.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【题型4 一次函数的应用之分配方案问题】 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元． (1)写出总运费元与之间的关系式； (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【题型5 一次函数的应用之最大利润问题】 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【题型6 一次函数的应用之行程问题】 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【题型7 一次函数的应用之几何问题】 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 一、单选题 1．（2025年甘肃省初中学业水平考试数学仿真预测试卷（一））若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（   ） A．摩托车的平均速度是 B．自行车比摩托车早出发2小时 C． D． 5．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小智和小能从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小智比小能先出发，且速度保持不变，小能出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为，小智和小能行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，有以下说法：①小智比小能先出发15秒；②小能提速后的速度为；③；④从小能出发至送餐结束，小能和小智最远相距． 正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 8．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 9．（2025八年级下·河南·专题练习）电子体重秤原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示，当可变电阻为90欧时，对应测重人的质量为 千克． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 三、解答题 11．（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h（单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间t（分钟）的变化图象． (1)放入的长方体的高度为______； (2)求该容器注满水所用的时间． 13．（2025·陕西榆林·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折． 该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ 14．（2025·陕西咸阳·三模）烧烤作为一种古老而普遍的烹饪方式，随着社会的发展和技术的进步，烧烤逐渐从原始的生存技能转变为人类文化和社会生活的重要组成部分．某烧烤店的烤串有肉串和素菜串两类，肉串和素菜串的成本价和销售价如下表所示： 种类 肉串 素菜串 成本价（元/串） 3 1.1 销售价（元/串） 4 1.5 已知该烧烤店每天准备肉串和素菜串共6000串，且这些烤串每天都能销售完．设该烧烤店每天准备肉串串，每天销售这两类烤串所得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)该烧烤店发现肉串比素菜串受欢迎，所以某天烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润． 15．（2025·浙江·模拟预测）小明组装了两辆智能机器车进行场地测试，场地内M，N两点相距，甲、乙两车先后从M出发沿相同路线驶向N．设甲车出发行走时间为x（分），两车行走路程y（米）关于x的函数图象如图1所示，两车相距s（米）关于x（分）的函数图象如图2所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求点C的坐标，并解释该点的实际意义； (3)当x为多少时，两车相距n米？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 一次函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 知识点02 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 例题：（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一元一次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，直线过点， ∴方程的解为； 故答案为： 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【题型2 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 2.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 3.（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式训练】 1.（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 2.（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 3.（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 【题型4 一次函数的应用之分配方案问题】 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元． (1)写出总运费元与之间的关系式； (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少 【答案】(1)； (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设C城运往A乡的化肥为x吨，表示出A城运往D乡的化肥为吨，B城运往C乡的化肥为吨，B城运往D乡的化肥为吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围即可. （2）利用（1）中求得的关系式，根据一次函数的增减性解答即可. 【详解】（1）解：设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映与之间的函数关系为 化简，得 （2）， ， 随的增大而增大， 当时， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【答案】(1)， (2)学校选择方案一购买的劳动工具较多 【知识点】正比例函数的性质、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）按方案一购买：根据付款总金额劳动工具单价件数运费即可得；按方案二购买：根据付款总金额劳动工具单价件数即可得； （2）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)， (2)当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数应用题的择优方案选取问题，解题的关键是求出两种方案的解析式分类讨论． （1）根据两家旅行社的活动列式即可得到答案； （2）令，，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ，； （2）解：①当时，， 解得：， 当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的； ②当时，， 解得：； 当（为整数）时，乙旅行社更优惠； ③当时，， 解得：， 当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 【题型5 一次函数的应用之最大利润问题】 例题：（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式训练】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 2.（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 3.（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 【题型6 一次函数的应用之行程问题】 例题：（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 【变式训练】 1.（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 2.（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 3.（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 【题型7 一次函数的应用之几何问题】 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 一、单选题 1．（2025年甘肃省初中学业水平考试数学仿真预测试卷（一））若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先求出，，根据一次函数的图象不经过第四象限，得出，，结合，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ，， ， 函数值随的值增大而增大， 函数图象不经过第四象限， ， ，， ， ， ， 解得（负值已舍去）， 的值为4． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（   ） A．摩托车的平均速度是 B．自行车比摩托车早出发2小时 C． D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发2小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：， 解得：， 则，故此项符合题意； D．由上可知，故此项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小智和小能从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小智比小能先出发，且速度保持不变，小能出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为，小智和小能行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，有以下说法：①小智比小能先出发15秒；②小能提速后的速度为；③；④从小能出发至送餐结束，小能和小智最远相距． 正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断①②③；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图象即可判断④． 【详解】解：结合图象可知，小智比小能早出发15秒，故①正确； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小能提速前的速度是厘米/秒， ∵小能出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小能提速后速度为，故②正确； 故提速后小能行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小智的速度为厘米/秒 ∴秒，故③正确； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小智和小能之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小智和小能之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小智和小能之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小智和小能之间距离最大值为厘米． 综上所述，从小智出发直至送餐结束，小智和小能之间距离的最大值为150厘米，故选项④错误． 故正确的有①②③，共3个， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 【答案】/ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用．理解题意，根据题意直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 8．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 【答案】9 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，先根据表格中的数据求出水温T与时间t的关系式为，把代入求出t即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，当时间增大温度升高，因此水温T是时间t的一次函数， ∴设水温T与时间t的关系式为： ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴水温达到的时间是． 故答案为9． 9．（2025八年级下·河南·专题练习）电子体重秤原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示，当可变电阻为90欧时，对应测重人的质量为 千克． 【答案】75 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解． 【详解】解：把和代入得： ，解得， ∴， 当为90欧时，， 解得：， 故答案为：75． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 【答案】 3 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可求出答案． 【详解】解：∵P在上时，的面积S随t的增大而增大， ∴根据点可以得到，， ∴，即， ∴， 当P在上时，S不变， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 三、解答题 11．（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h（单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． 【答案】(1)水持续滴入时间每增加，水位高度会增加， (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用； （1）设出函数解析式，再根据表格中的数据利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：水持续滴入时间每增加，水位高度会增加， 设h关于t的函数解析式为，由可得， 将代入中， 得， 解得， ∴h与t的解析式为； （2）解：将代入中， 解得， ∵， ∴每个相邻时刻线之间的距离为． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间t（分钟）的变化图象． (1)放入的长方体的高度为______； (2)求该容器注满水所用的时间． 【答案】(1)20 (2)21分钟 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，函数图象，利用待定系数法求函数表达式及从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据图象，当时，水面到达长方体的上表面，根据长方体的高度容器高度此时水面的高度计算即可； （2）利用待定系数法求出所在直线对应的函数，当时解方程求出对应的即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，水面到达长方体的上表面， 长方体的高度为， 故答案为：20； （2）解：设所在直线与的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 当该容器注满水时，， 即， 解得， 该容器注满水所用的时间为21分钟． 13．（2025·陕西榆林·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折． 该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)（，且x为整数）； (2)在A超市购买更划算 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于100盒和大于100盒两种情况表示出关于x的函数关系式； （2）将分别代入和求解比较即可． 【详解】（1）根据题意得，（，且x为整数）， 当且x为整数时，， 当时，且x为整数，， 与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）． 与x之间的函数关系式为： （2）当时，． 而， ∴该单位在A超市购买更划算． 14．（2025·陕西咸阳·三模）烧烤作为一种古老而普遍的烹饪方式，随着社会的发展和技术的进步，烧烤逐渐从原始的生存技能转变为人类文化和社会生活的重要组成部分．某烧烤店的烤串有肉串和素菜串两类，肉串和素菜串的成本价和销售价如下表所示： 种类 肉串 素菜串 成本价（元/串） 3 1.1 销售价（元/串） 4 1.5 已知该烧烤店每天准备肉串和素菜串共6000串，且这些烤串每天都能销售完．设该烧烤店每天准备肉串串，每天销售这两类烤串所得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)该烧烤店发现肉串比素菜串受欢迎，所以某天烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润． 【答案】(1) (2)5100元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据总利润等于肉串和素菜串的利润之和，列出关系式即可； （2）根据烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求出的值，代入（1）中的解析式，进行计算即可． 【详解】（1）解：． 与之间的函数关系式为． （2）由题意可得，， 解得， 当时，． 该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润为5100元． 15．（2025·浙江·模拟预测）小明组装了两辆智能机器车进行场地测试，场地内M，N两点相距，甲、乙两车先后从M出发沿相同路线驶向N．设甲车出发行走时间为x（分），两车行走路程y（米）关于x的函数图象如图1所示，两车相距s（米）关于x（分）的函数图象如图2所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求点C的坐标，并解释该点的实际意义； (3)当x为多少时，两车相距n米？ 【答案】(1)的函数表达式为； (2)，该点的实际意义是甲车出发分被乙车追上； (3)当或或时，两车相距40米． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）求出甲车的速度为80米/分，从而可得，再用待定系数法可得的函数表达式； （2）由（1）得，该点的实际意义是甲车出发分被乙车追上； （3）先求得，由图1得，当时，乙车达到N地，求得，当时，甲车距N地米，再求得和的函数表达式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图1得，甲车的速度为（米/分）， 由图2得，甲车出发分被乙车追上， 此时甲车行驶的路程为（米）， ∴， 设解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：由（1）得， ∴该点的实际意义是甲车出发分被乙车追上； （3）解：∵甲车的速度为米/分， ∴， 由图1得，当时，乙车达到N地， 则， 此时，甲车距N地（米）， ∴， 图2中，同理，的函数表达式为； 的函数表达式为； 当时，或， ∴或 ∴当或或时，两车相距40米． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$