精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高三上学期11月期中调研数学试题

郑州外国语学校2025-2026学年上期高三调研4考试试卷 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. B. C. D. 4. “”是函数的最小正周期为的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4051 7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 9 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知定义在上的函数满足：对于任意的，都有，且当时，，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. 在上单调递增 D. 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则的值__________. 13. 设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为__________. 14. 曲线与在有唯一交点，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 16. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 17. 已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （1）证明数列为等比数列并求其通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 19. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年上期高三调研4考试试卷 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质可得. 【详解】由有意义，则,即. 所以，， 所以. 故选：A. 2. 已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】由可得，即， 所以, 因为均为单位向量，所以. 所以， 而， 故， 故选：C. 3. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得． 考点：函数模型的应用． 4. “”是函数的最小正周期为的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则为常数函数，无最小正周期， 若，则根据，则或， 所以“”是函数的最小正周期为的充分而不必要条件. 故选：A 5. 已知函数是偶函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 6. 已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4051 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又. 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出点为的重心，然后延长交于点，结合几何性质可得、、三点共线则得，再结合基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】由题可设，，，， 则，，， 因，解得，，则为重心， 延长交于点，则点为的中点，如图所示， 则，由， 又因、、三点共线，所以可得， 所以， 当且仅当，即取等号，故D正确. 故选：D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，， ，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， （当且仅当时取等号），， 即（当且仅当时取等号），，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的性质及三角函数值逐一分析选项即可. 【详解】已知， 则， 的虚部为，A选项错误； ，，B选项正确； ，C选项错误； z在复平面内对应的点为，D选项正确. 故选：BD 10. 已知定义在上的函数满足：对于任意的，都有，且当时，，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. 在上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】赋值法可判断AB；利用单调性的定义可判断C；利用已知可得，再由累加法以及等差数列的前项和公式可判断D. 【详解】对于A，令，得，可得，故A错； 对于B，令，则， 令，则，故B对； 对于C，任取，且， 则， 因为，故，故， 故在上单调递增，故C对； 对于D，令，故， 所以， 又符合上式，故, 故，故D错. 故选：BC. 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用数列放缩的知识对每一个选项的上界和下界进行逐一证明即可. 【详解】对于A：证明下界：当时，有， 故 ，下界得证； 当时，有， 同理可得，，上界得证. 故A正确； 对于B：，下界得证； 当时，有 ，即. 故，上界得证. 故B正确； 对于C：，，， ，， ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则的值__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，，再由求解即可. 【详解】由，结合正弦定理边化角可得： ， 由，可得：， 由，，可得：， 显然，（若，则，都是钝角，不符合题意） 又， 所以， 解得：， 故答案为：3 13. 设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求得，结合对勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】由题意可得， 所以， 令，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且，， ， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 14. 曲线与在有唯一交点，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】借助图象可发现将向上平移2个单位，曲线与在有唯一交点. 【详解】因为，则， 曲线与图象有5个交点，如图， 若想让曲线与在有唯一交点， 则需将向上平移2个单位，如图， 所以. 故答案为：2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 【答案】，或. 【解析】 【分析】根据偶函数确定的值，根据对称中心确定的表达式，根据单调性确定的取值范围，结合表达式和取值范围确定的值. 【详解】由是偶函数可得，即：. 所以 对任意都成立，且，所以得. 依题设，所以解得， 由的图象关于点M对称，得. 取，得，所以 又因为，得 所以 当时，在区间上是减函数； 时，在区间上是减函数； 时，在区间上不是单调函数； 综上，或. 16. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，进而由角平分线的性质得出； （2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积． 【详解】解：（1）中，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得 又因为为的角平分线，所以； （2）中，，， 所以 从而 由正弦定理可得 而 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正余弦定理解三角形，由三角形面积公式得出四边形的面积. 17. 已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （1）证明数列为等比数列并求其通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求导根据得到，从而得到，再利用等比数列的定义证明即可； （2）首先根据题意得到，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 . 由，得，解得为整数， 从而. ， 又, 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，， ， ， ， ， . 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 19. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为， 结合偶函数性质可知：. （3）证明：由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值； （2）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明； （3）由（2）可得：，分和两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 下取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则， 可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $