精品解析：湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期实验班数学周测（11.25）

黄梅一中高二实验班数学周测 2025.11.25 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 2. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 3. 某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 160 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 5. 已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 6. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 7. “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. 8. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题化为函数与函数恰有两个交点，利用导数的几何应用求临界情况下的切线方程，应用导数研究的性质，画出大致图象，数形结合确定参数范围. 【详解】令，即， 依题意，函数与函数恰有两个交点， 所以，令或，解得或，而，， 所以在，处的切线方程分别为，， 当，则，即在上单调递增， 当，则，即在上单调递减， 所以函数的大致图象如下： 由图知，的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 存在，使得为曲线的对称轴 C. 当时，是的极小值点 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极值，结合三次函数的图象特征判断A；利用轴对称的定义列式推理判断B；利用导数求出极小值点判断C；利用中心对称的意义列式计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 因此函数的图象与轴有3个交点，即有三个零点，A正确； 对于B，假设存在，使得为的对称轴，即存在使得， 即，整理得， 显然此等式对一切实数不恒成立，因此不存在，使得为的对称轴，B错误； 对于C，当时，由，得或；由，得， 函数在处取得极小值，C正确； 对于D，， ，当，即时，， 此时，即，则存在使得是的对称中心，D正确. 故选：ACD 10. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为， 令，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为（，）， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，令，得到， 所以选项D正确. 故选：ACD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题定义可得双纽线方程.对于A，可分别用替换原方程的验证方程是否不变即可；对于B，可根据求出的范围；对于C，将双纽线方程分离出一个,再求另一侧的最大值；对于D，联立直线与双纽线方程，使其仅有唯一解即可. 【详解】根据双纽线的定义可得，,整理化简得： . 对于A：分别用替换原方程的,方程不变，故A正确； 对于B：对化成关于的一元二次方程得， ，舍去负根，得：. ,两边平方后化简， 得,解得, 即,故B正确. 对于C：易知当最大时，必不在坐标原点，因此可写为： ,当时取到等号， 因此,即双纽线上任意一点到原点的距离都不超过，故C正确. 对于D：直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点， 联立与双纽线方程,整理得： ,解得或. 要使方程只有唯一解，则,解得或,故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 展开式中的常数项是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 已知函数定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算即可. 【详解】由函数定义，转化为给，安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给取个自变量，则对应个自变量，有种， 给取个自变量，则对应个自变量，有种， 给取个自变量，则对应个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有 种不同的对应方式， 故答案为：. 14. 已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知任意的，恒成立，即恒成立，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】因为函数在区间单调递增， 则对任意的，恒成立，即恒成立， 令，，则， 由可得，得， 由可得，得， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，故当时，. 所以，故实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1）144；（2）140；（3）378 【解析】 【分析】（1）先将2名女生捆绑在一起，然后先排两端，再全排即可； （2）用总的选法减去男生甲与女生乙都没有参加的选法即可； （3）分是否含0讨论即可得解. 【详解】（1）将2名女生排成一排有种排法， 再从4名男生中选2名男生排在两端，有种排法， 最后，将2名女生看成一个元素和剩余2名男生全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，总的排法有种. （2）10名同学中选取4人，共有种选法， 男生甲与女生乙都未参加的选法有种选法， 所以男生甲与女生乙至少有1人参加的选法有种选法. （3）不含0时：可以组成没有重复数字的四位数有个； 含0时：第一步，偶数的取法有种，奇数的取法有种，共种； 第二步，从不为0的3个数字中选择1个排在首位，其余3个数字全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，共有个 所以，一共可以组成个没有重复数字的四位数. 16. 已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. （1）求值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； （2）若，求除以7所得的余数； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1），； （2）6； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二项式系数列式求出，进而求出古典概率. （2）将目标式化成，再利用二项式定理进而展开式，进而求出余数. （3）求出展开式的通项，再构造不等式求出系数最大的项. 【小问1详解】 展开式末三项的二项式系数分别为， 则，即，整理得， 而为正整数，因此，集合， 从集合中任取一个元素的试验有11个样本点， 满足不等式的事件有一个样本点5，所以所求概率为. 【小问2详解】 当时， ， 所以除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6. 【小问3详解】 由（1）知，展开式通项为， 设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得， 所以展开式系数最大的项为或. 17. 已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）先求出平面与平面法向量，再利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）先设，其中，得出向量的坐标，得到平面的一个法向量，再利用空间向量法可得线面角的正弦是关于的式子，结合值域计算即可求解. 【小问1详解】 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，、， 所以， 所以，所以． 【小问2详解】 设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 假设存在点，使得，其中， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 设，即， 当即时，取最大值； 因为，所以，所以． 18. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可； （2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线. 【小问1详解】 连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆. 【小问2详解】 由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 则 . 【小问3详解】 设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上. 19. 已知函数，，设函数. （1）当时，求的极值点； （2）证明：当时，； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）的极小值点是，无极大值点 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用导数法求解； （2）由（1）知当时，存在唯一的，使得，为极小值点，则由证明； （3）设，转化为恒成立和恒成立求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 因为，均为增函数，所以单调递增，所以当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以函数的极小值点是，无极大值点； 【小问2详解】 ，由（1）可知，当时，单调递增， 取且，则，取且，则， 所以存在唯一的，使得，即， 所以, ； 【小问3详解】 因，得到，所以， 当时，，显然成立. 设，则恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，不符题意. 同理，恒成立，即， 设，则，所以， ，令，解得或. 当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，，所以符合题意，所以. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅一中高二实验班数学周测 2025.11.25 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中系数为（ ） A. B. C 160 D. 80 5. 已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 存在，使得为曲线的对称轴 C. 当时，是的极小值点 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 10. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 展开式中的常数项是___________． 13. 已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个. 14. 已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为________． 四、解答题 15. （1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 16. 已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. （1）求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； （2）若，求除以7所得的余数； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 18. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 19 已知函数，，设函数. （1）当时，求的极值点； （2）证明：当时，； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $