5.4.3 正切函数的性质与图象-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

　 第五章 单元学习十四　三角函数的图象与性质 5.4.3　正切函数的性质与图象 学习目标 1. 了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2. 能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题，培养直观想象和数学运算的核心素养. 任务一　正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1 任务二　正切函数的图象 2 任务三　正切函数的单调性与值域 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　正切函数的定义域、周期性与奇偶性 返回 (阅读教材P209－210，完成探究问题1) 问题1．你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？ 提示：tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α. 问题导思 新知构建 正切函数 y＝tan x 定义域 ______________________________ 最小正周期 ____ 奇偶性 ________ π 奇函数 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求正切函数周期 的公式为：T＝. 微提醒 (1)函数f(x)＝tan 是 A.周期为π的奇函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数 典例1 由正切函数的性质知，f(x)的最小正周期T＝＝2π.因为f(x)的定义域关 于原点对称，且f(－x)＝tan＝－tan ＝－f(x)，故f(x)为奇函数.所 以f(x)是周期为2π的奇函数.故选B. √ (2)函数f(x)＝tan(πx－)的定义域为__________________. 令πx－≠kπ＋，k∈Z，可得x≠k＋，k∈Z，故函数f(x)的定义域为. 规律方法 1.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期. 2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系. 对点练1．(1)已知函数f(x)＝tan 2x，则下列结论正确的是 A.f(x)是最小正周期为的偶函数 B.f(x)是最小正周期为2π的偶函数 C.f(x)是最小正周期为的奇函数 D.f(x)是最小正周期为2π的奇函数 f(x)的最小正周期T＝.令2x≠kπ＋，k∈Z，则x≠，k∈Z，所以 函数的定义域为，关于原点对称.又f(－x)＝ tan(－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数.故选C. √ (2)若f(x)＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期为1，则f的值为______. 因为f(x)＝tan ωx的最小正周期T＝1，所以T＝＝1，则ω＝π，所以f(x)＝tan πx.故f＝tan＝. (3)函数y＝的定义域为________________________________. 由题意，tan≥0，所以kπ≤2x＋＜kπ＋，k∈Z，所以－≤x＜，k∈Z，所以函数y＝的定义域为. 返回 任务二　正切函数的图象 返回 (阅读教材P210－211，完成探究问题2) 问题2．如何画出函数y＝tan x的图象？ 提示：如图所示，先画出y＝tan x，x∈内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、向右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线. 问题导思 1.正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做______曲线，对称中心为________________. 2.正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线x＝______________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 新知构建 正切 ， k∈Z ＋kπ，k∈Z (1)画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝.(2)正切函数只有对称中心，没有对称轴. 微提醒 (1)与函数y＝tan(2x＋)的图象不相交的一条直线是 A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 典例2 √ 由2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠，k∈Z，当k＝0时，x≠，所以与函数y＝tan(2x＋)的图象不相交的一条直线是x＝.故选B. (2)(多选)下列坐标所表示的点是函数y＝tan(2x－)的图象的对称中心的是 A.(，0) B.(，0) C.(－，0) D.(，0) √ √ √ 令2x－＝，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数图象的对称中心为(，0)，k∈Z.当k＝0时，为(，0)，当k＝－2时，为(－，0)，当k＝1时，为(，0).故选ACD. 规律方法 　　正切函数的对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键. 对点练2．(1)已知函数f(x)＝tan(3x＋φ)(｜φ｜≤)的图象关于点(－，0)中心对称，则φ＝______. － 由题意得－＋φ＝，k∈Z，所以φ＝，k∈Z.因为｜φ｜≤，所以φ＝－. (2)直线y＝a与函数y＝tan x的图象的相邻两个交点的距离是___. π 直线y＝a与y＝tan x的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数y＝tan x的一个周期.因为函数y＝tan x的最小正周期为π， 所以直线y＝a与函数y＝tan x的图象的相邻两个交点的距离是π. 返回 任务三　正切函数的单调性与值域 返回 (阅读教材P211－212，完成探究问题3) 问题3．你能根据y＝tan x的图象说出函数y＝tan x的单调性和值域吗？ 提示：y＝tan x的单调递增区间为(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，值域为R. 问题导思 1.单调性：正切函数在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都________. 2.值域：正切函数的值域是__________. 新知构建 单调递增 实数集R 正切函数在定义域上不是增函数.正切函数在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增，但是不能说在定义域上是增函数. 微提醒 角度1　比较大小 (1)已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan 114°，b＝tan 172°，c＝tan 287°，则下列不等关系中正确的是 A.f(c)＞f(b)＞f(a) B.f(c)＞f(a)＞f(b) C.f(b)＞f(c)＞f(a) D.f(b)＞f(a)＞f(c) 典例3 √ 因为a＝tan 114°＝tan(180°－66°)＝－tan 66°，b＝tan 172°＝tan(180°－8°)＝－tan 8°，c＝tan 287°＝tan(360°－73°)＝－tan 73°，又因为f(x)为偶函数，所以f(a)＝f(tan 66°)，f(b)＝f(tan 8°)，f(c)＝f(tan 73°).而0°＜8°＜66°＜73°＜90°，所以tan 8°＜tan 66°＜tan 73°.又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(b)＞f(a)＞f(c).故选D. (2)下列不等式中正确的是 A.tan ＞tan B.tan 4＜tan 3 C.tan 215°＞tan 32 D.tan＜tan √ 对于A，tan ＜0＜tan ，故A错误；对于B，tan 4＝tan(4－π)，tan 3＝tan(3－π).因为－＜3－π＜4－π＜，所以tan(4－π)＞tan(3－π)，即tan 4＞tan 3，故B错误；对于C，tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，而0°＜32°＜35°＜90°，所以tan 32°＜tan 35°，即tan 32°＜tan 215°，故C正确；对于D，tan ＝tan＝－tan ，tan＝tan＝－tan ，因为tan ＜tan ，所以－tan ＞－tan ，所以tan ＞tan，故D错误.故选C. 规律方法 利用正切函数的单调性比较大小的方法 　　运用正切函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内，再利用单调性比较函数值的大小. 对点练3．(1)已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，下列大小关系正确的是 A.a＞b＞c B.a＜b＜c C.b＞a＞c D.b＜a＜c 因为tan 2＝tan(－π＋2)，tan 3＝tan(－π＋3)，tan 5＝tan(－2π＋5)，－＜－2π＋5＜－π＋2＜－π＋3＜0，所以tan(－π＋3)＞tan(－π＋2)＞tan(－2π＋5)，所以tan 3＞tan 2＞tan 5，即b＞a＞c.故选C. √ (2)下列各式中正确的是 A.tan 1＞－tan 2 B.tan 735°＞tan 800° C.tan ＞tan D.tan ＞tan √ 对于A，由0＜1＜，＜2＜，结合正切函数y＝tan x的性质，可得0＜tan 1＜tan ＝，tan 2＜0，且tan 2＜tan ＝－，则－tan 2＞，所以tan 1＜－tan 2，故A错误；对于B，由tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°，结合正切函数y＝tan x的单调性可得tan 15°＜tan 80°，即tan 735°＜tan 800°，故B错误；对于C，因为正切函数y＝tan x在上单调递增，且＜π，所以tan ＞tan ，故C正确；对于D，tan ＝tan＝tan ，结合正切函数的单调性可得tan ＜tan ，即tan ＜tan ，故D错误.故选C. 角度2　求单调区间 (链教材P212例6)求函数y＝3tan的单调区间. 解：令kπ－x－＜kπ＋(k∈Z)，得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z). 所以函数y＝3tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间. 典例4 规律方法 求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数，A≠0，ω≠0)的单调区间的方法 1.ω＞0时，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ，k∈Z，求x的取值范围. 2.ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 对点练4．求函数y＝tan的单调区间. 解：y＝tan＝－tan. 由－＋kπ＜2x－＋kπ，k∈Z，得－＜x＜，k∈Z. 所以函数的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间. 课堂小结 任务再现 (1)正切函数图象的画法.(2)正切函数的性质 方法提炼 整体代换法、换元法 误区警示 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z) 返回 随堂评价 返回 1.函数f(x)＝tan＋tan是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 √ 函数定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f(x)，所以函数是奇函数.故选A. 2.tan(－40°)，tan 38°，tan 56°的大小关系是 A.tan(－40°)＞tan 38°＞tan 56° B.tan 56°＞tan 38°＞tan(－40°) C.tan 38°＞tan(－40°)＞tan 56° D.tan 56°＞tan(－40°)＞tan 38° √ 由诱导公式可得tan(－40°)＝－tan 40°＜0，因为函数y＝tan x在(0，)上单调递增，所以0＜tan 38°＜tan 56°.故tan 56°＞tan 38°＞tan(－40°).故选B. 3.已知函数y＝tan图象上相邻两个对称中心的距离为π，则ω＝______. 由已知得＝π，所以T＝2π，所以＝2π，所以ω＝±. ± 4.(双空题)函数y＝tan的定义域为__________________________， 单调递增区间是_________________________. 由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠3k＋，k∈Z，故定义域为.由－＋kπ＜x＋＋kπ，k∈Z，得－＋3k＜x＜＋3k，k∈Z，故单调递增区间为，k∈Z. 　，k∈Z 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝的定义域为 A.［kπ－，kπ＋)(k∈Z) B.［kπ－，kπ＋)(k∈Z) C.［kπ－，kπ－)(k∈Z) D.［kπ－，＋∞)(k∈Z) 由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈［kπ－，kπ＋)(k∈Z).故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝2tan的图象的对称中心是 A. B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z √ 函数f(x)＝2tan中，令2x－＝，k∈Z ，解得x＝，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称中心为，k∈ Z.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝tan在一个周期内的图象是 √ 当x＝π时，tan＝0，排除C、D，又x－≠kπ＋，得x≠2kπ＋，k∈Z，所以排除B.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在(0，π)内，使tan x＞－成立的x的取值范围为 A.(，) B.(0，)∪(，π) C.(0，)∪(，) D.(0，) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出y＝tan x(0＜x＜π)的大致图象和直线y＝－，如图所示. 由图象可得不等式的解集为∪.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列结论正确的是 A.tan ＞tan B.tan ＞tan C.tan＞tan D.tan＞tan √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为0＜，且函数y＝tan x在(0，)上单调递增，所以tan ＞tan ，故A正确；对于B，tan ＜0＜tan ，故B不正确；对于C，tan＝tan＝tan ，tan＝tan＝tan .又0＜，函数y＝tan x在(0，)上单调递增，所以tan ＜tan ，即tan＜tan，故C不正确；对于D，tan＝tan＝tan ，tan＝tan(－＋3π)＝tan.又－＜－，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan ＞tan，即tan＞tan，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列对函数f(x)＝tan的描述正确的有 A.定义域为，周期为2 B.单调区间为，k∈Z C.图象的对称中心为，k∈ Z D.若在定义域内，对任意x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，都有＞f， 则｜a－b｜的最大值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠2k＋，k∈Z，T＝＝2，则f(x)的定义域为，周期为2，故A正确；对于B，令＋kπ＜x＋＜kπ＋，k∈Z，得＋2k＜x＜＋2k，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故B正确；对于C，令x＋＝，k∈Z，得x＝k－，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z，故C错误；对于D，令t1＝x1＋，t2＝x2＋，则t1，t2∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＞f，所以＞ tan［＋］，则＞tan 恒成立，记 (t1，tan t1)，(t2，tan t2)，对应的点分 别为A，B，C，线段AB的中点为D，如图所示，显然， 由梯形的中位线定理可得yD＝，所以上述不等式可转化为yD＞yC恒成立，结合y＝tan t的图象可知t1，t2所在的最大区间为(kπ，＋kπ)，k∈Z，所以⊆，k∈Z，则｜a－b｜≤，即｜a－b｜≤1，所以｜a－b｜的最大值为1，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是_____. 由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又因为ω＞0，所以ω＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数y＝tan，x∈的值域为__________. 由0＜x≤，得，所以tan ＜tan≤tan ，则1＜tan.所以所求函数的值域为(1，]. (1，] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若tan≤1，则x的取值范围是_____________________________. 由题意可得－＋kπ＜2x－＋kπ，k∈Z，解得－＜x≤，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)画出函数y＝2tan在[0，2π]上的简图. 解：令x－＝＋kπ，k∈Z， 可得x＝＋2kπ，k∈Z， 又x∈[0，2π]，所以直线x＝是该函数图象的一条渐近线. 当x＝0时，y＝2tan＝－2； 当x＝时，y＝2tan 0＝0； 当x＝π时，y＝2tan ＝2； 当x＝2π时，y＝2tan ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 描点(0，－2)，，(π，2)，(2π，－2)， 画虚线x＝，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.下列图形分别是①y＝｜tan x｜；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan ｜x｜在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ √ y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)＝5tan(2x＋φ)，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递增区间可以是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)＝5tan(2x＋φ)，其函数图象的一个对称中心是，所以＋φ＝，φ＝－.又φ∈，所以φ＝，f(x)＝5tan.令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜，k∈Z，故函数的增区间为，k∈Z.令k＝0，结合选项可知D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.函数y＝tan2x－4tan x＋1的值域为______________. 设tan x＝t，因为≤x≤，所以1≤t≤，所以y＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3.所以函数y＝t2－4t＋1在[1，]上为减函数，所以当t＝1，即x＝时，ymax＝－2；当t＝，即x＝时，ymin＝4－4.故所求值域为[4－4，－2]. [4－4，－2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知函数f(x)＝a－tan 2x在上的最大值为7，最小值为3，求ab的值. 解：因为x∈［－，b］，所以b＞－，2x∈，所以2b＜，即b＜，所以b∈. 因为y＝tan x在上单调递增， 所以f(x)＝a－tan 2x在上单调递减. 又函数f(x)在上的最大值为7， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 最小值为3，所以 则a＝4，tan 2b＝. 因为2b∈，所以2b＝，所以b＝， 所以ab＝4×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)函数y＝tan x＋sin x－｜tan x－sin x｜在区间内的图象是 √ 当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x，且－2＜y＜0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称. (1)求f(x)的单调区间； 解：函数f(x)的最小正周期T＝，即＝， 又因为ω＞0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0＜φ＜，所以φ＝， 故f(x)＝tan. 令－＋kπ＜2x＋＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜2x＜＋kπ，k∈Z， 即－＜x＜，k∈Z. 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 解：由(1)知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤2x＋＋kπ，k∈Z， 即－≤x≤，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第五章 三角函数 返回 $